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dans l'UE N1MI2011 ≪ Analyse 1 ≫ de la Licence de Mathématiques ments), la néphroıde ou ≪ pelote de laine ≫ (épicycloıde `a deux rebroussements) en http://www igt uni-stuttgart de/eiserm/enseignement/google-promenade pdf

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il est impossible d'analyser ici, avec les développements qui Limaçon de Pascal, conchoïde du cercle article de M Lainé, qui paraîtra ici prochainement

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Analyse 1 - MISMI, UE M1MI2011

Alain Yger

Institut de Math

ematiques, Universite Bordeaux 1, Talence 33405,

France

E-mail address:Alain.Yger@math.u-bordeaux1.fr

Version du 24 mars 2014.

R esume.Ce cours correspond a l'enseignement qui sera dispense en 2013-2014 dans l'UE N1MI2011 Analyse 1de la Licence de Mathematiques.Il s'appuie sur le programme de l'UE d'initiation a l'Analyse dispensee au Semestre 1. On poura trouver dans [Ymis] un polycopie complet de l'ancienne UEMathe- matiques de base , telle qu'elle etait dispensee en MISMI (2007-2008). Ce cours en reprend certains points. La redaction de ces notes doit enormement aux notes manuscrites redigees par Philippe Charpentier, avec qui j'ai en- seigne cette UE en 2011-2012. Les ouvrages collectifs [MatL1] (chapitre IV) et [MatToutenUn], partie IV (tous deux disponibles en plusieurs exemplaires a la BU, et que je vous invite vivement a consulter) m'ont aussi beaucoup inspire pour la redaction de ce polycopie; il faut signaler qu'ils contiennent une foule de tests ou d'exercices corriges. Destine a des etudiants envisageant de poursuivre soit dans un cursus Mathematiques (fondamentales ou appliquees, la distinc- tion est devenue aujourd'hui bien dicile a faire), soit dans un cursus Infor- matique ou Mathematique-Informatique, ce cours est accompagne ou illustre par une demarche algorithmique, avec des ponts, lorsqu'ils sont possibles, vers les applications, visant a placer, autant que faire se peut, les Mathematiques en situation. Les textes des exercices proposes par les charges de TD en

2011-2012 et 2012-2013 (Jean-Francois Aujol, Marc Arnaudon, Yuri Bilu, Mi-

chel Bonnefont, Patrick Fischer, Jean Gillibert, Karim Kellay, Stanislas Kupin, Pierre Mounoud, Fouad Zarouf), ont ete regroupes en Annexe A, ainsi que les corriges des deux devoirs surveilles 2011-2012 (en annexes respectivement B et C) et 2012-2013 (en annexes respectivement D et E). Le texte de DST 2012-

2013 gure en Annexe F. En toute n de ce polycopie, apres l'index, vous

trouverez aussi (aux titre d'annales) le texte et le corrige (merci a Philippe Charpentier) de l'examen nal (2011-2012). L'utilisation de sites (souvent in- teractifs) de ressources multimedia en ligne, en particulier le serveurWIMS(sous ce lien :https://wims.u-bordeaux1.fr/wims/) ou la plate-formeMoodle(sous laquelle vous pouvez vous logger depuis votreENTsur le site de Bordeaux 1 (cliquez ensuite sur l'ongletEspace Formationsur le bandeau), pourra s'averer egalement d'une grande utilite pour la pratiqueactive des exercices. Si- gnalons enn que divers chiers.mw(a ouvrir sous l'environnement du logiciel de calcul symboliqueMAPLEdisponible au CREMI ou a l'espace ALPHA) sont en ligne sur surhttp://www.math.u-bordeaux1.fr/yger/MAPLE-analyse1; il permettent ainsi, au l des seances de revisiterle cours de maniere a la fois illustree et interactive; une aide a la prise en main du logicielMAPLEest disponible sur ce m^eme lien.

Table des matieres

Chapitre 1. Suites de nombres reels ou complexes1

1.1. Des fractions aux nombres reels1

1.2. Suites de nombres reels4

1.3. Operations surRet limites de suites de reels8

1.4. Propriete des

segments emboites, critere des suites adjacentes 11

1.5. Valeurs d'adherence, notions de limsup et liminf13

1.6. Comportement des suites de nombres reels non bornees17

1.7. Des suites de nombres reels aux suites de nombres complexes19

1.8. Suites et critere de Cauchy21

Chapitre 2. Fonctions continues et fonctions derivables25

2.1. Preliminaires : adherence et notion de limite25

2.2. Continuite d'une fonction en un point27

2.3. Continuite d'une fonction sur intervalle deR28

2.4. Derivabilite39

2.5. Derivations d'ordre superieur et formules de Taylor60

2.6. Developpements limites (DL) des fonctions en un point69

2.7. Applications geometriques des developpements limites78

Chapitre 3. Integration au sens de Riemann89

3.1. Fonctions en escalier sur un segment89

3.2. Integration des fonctions reelles bornees denies sur un segment92

3.3. Une classe de fonctions reelles integrables sur un segment95

3.4. Calcul approche de l'integrale des fonctions reelles continues97

3.5. Une seconde caracterisation des fonctions reglees reelles99

3.6. La classe des fonctions Riemann-integrables101

3.7. Criteres d'integrabilite par comparaison106

3.8. Integration Riemann et sommes de Darboux110

3.9. Integration-Riemann et formules de la moyenne116

3.10. Annexe : une preuve du critere d'integrabilite (Theoreme 3.1)123

Annexe A. Une liste d'exercices de TD

(2011-2012, 2012-2013)127 Annexe B. Annales 2011-2012, texte et corrige du DS 1, 1h30149 Annexe C. Annales 2011-2012, texte et corrige du DS 2, 1h30157 Annexe D. Annales 2012-2013, texte et corrige du DS 1, 1h30163 Annexe E. Annales 2012-2013, texte et corrige du DS 2, 1h30167 v viTABLE DES MATIERES Annexe F. Annales 2012-2013, texte et corrige du DS Terminal, 3h00173

Bibliographie181

Index183

CHAPITRE 1

Suites de nombres reels ou complexes

1.1. Des fractions aux nombres reels

Toute fraction positivea=b2Q+, aveca2Netb2N, admet undeveloppement decimal illimite (DDI): lapartie entierede ce developpement est un entier naturel E(a=b) =q(le quotient deaparbdans la division euclidiennea=bq+r, que l'on note aussi parfoisq= [a=b]), ditepartie entierede la fraction positivea=b; lesdecimalessuccessives sont des chires entre 0 et 9, generes de proche en proche suivant l'algorithme de division euclidienne. La suite des decimales est ainsi une ap- plication deNdansf0;:::;9g, on dit aussi unesuited'elements def0;:::9gindexee parN. On ecrit d

1=d(1); d2=d(2); d3=d(3);etc:;

et la suitek2N7!d(k) de decimales successives se note ainsi (dk)k1. L'expres- sion q+ 0;d1d2d3[] est ditedeveloppement decimal illimite (DDI)de la fraction positivea=b(la virgule est remplacee par un point dans la terminologie anglo-saxonne). Par exemple (1.1) 22
7 = 3;142857142857142857142857 [] (posez la division comme vous l'auriez fait au college). Une premiere observation s'impose ici. L'une des particularites de l'operation de division euclidienne iteree [ak:b] (a0=a,a1=abq, ...) conduisant au calcul des decimales de proche en proche (on le constate sur l'exemple (1.1)) est que le nombre de restespossibles a chaque etape est ni (car le reste dans la division euclidienne deak2Nparb2Nest un entier naturel entre 0 etb1). Or il est un principe clef en mathematiques, lie a la notion d'injectivite : si l'on dispose de Kboites vides et d'un nombre d'allumettes (a ranger dans les boites) strictement superieur aK, on mettra forcement deux allumettes dans la m^eme boite! Suivant ce principe, dans le processus de division conduisant a l'ecriture decimale d'une fractiona=b, on est donc certain qu'au bout d'un certain temps, le m^eme reste va apparaitre deux fois de suite, au quel cas la suite des decimales reproduira toujours le m^eme motif, et l'on pourra ecrire le DDI dea=bsous la forme (1.2)q; d1d2[]dkmotif motif motif[] =q; d1d2[]dkmotif oumotifest unmotcompose d'une suite de chires entre 0 et 9 et repete ensuite indeniment, ce que l'on exprime ici par la notationmotif Une seconde observation s'impose egalement. On remarque que, suivant pareil procede, il est impossible d'obtenir une suite de decimales (dk)k1se presentant 1

21. SUITES DE NOMBRES REELS OU COMPLEXES

sous la forme d

1; d2; d3;; dk;9;9;9;9;avecdk2 f0;:::;8g:

Si tel etait le cas, le nombrea=bs'ecrirait, en remontant les calculs : a b =q+d1 10 +d2 100
++dk 10 k+9 10 k+11 +1 10 +1 100
=q+d1 10 ++dk 10 k+1 11 10 9 10 k+1 =q+d1 10 ++(dk+ 1) 10quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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