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Pascal Lainé

1

Ensembles-Applications

Exercice 1 :

Soit ݂ǣܫ՜ܬ

1. Donner des ensembles ܫ et ܬ

2. Donner des ensembles ܫ et ܬ

3. Donner des ensembles ܫ et ܬ

4. Donner des ensembles ܫ et ܬ

Allez à : Correction exercice 1 :

Exercice 2 :

Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives :

Allez à : Correction exercice 2 :

Exercice 3 :

Soit ؿܫԹ et ؿܬԹ, deux intervalles de Թ. Soit ݂ǣܫ՜ܬ

1. Montrer que ݂ est injective.

2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ

Allez à : Correction exercice 3 :

Exercice 4 :

1. ݂ est-elle injective ?

2. ݂ est-elle surjective ?

3. ݃ est-elle injective ?

4. ݃ est-elle surjective ?

Allez à : Correction exercice 4 :

Exercice 5 :

Soient

Où ܧ

Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ݂ל݃ et ݃ל

Allez à : Correction exercice 5 :

Exercice 6 :

Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ

Montrer que ݂ est surjective.

Pascal Lainé

2

Allez à : Correction exercice 6 :

Exercice 7 :

݂ǣԳ՜Գ définie pour tout ݊א

1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ

2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 7 :

Exercice 8 :

1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ

2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 8 :

Exercice 9 :

Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) ݂ est injective (ii) ݂ est surjective (iii) ݂ est bijective

Allez à : Correction exercice 9 :

Exercice 10 :

Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un

calcul ou un contre-exemple.

1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל

aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni

injective

Justifier.

euclidienne de ݈ par ݊ est une application.

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni

injective

Justifier.

4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ

Allez à : Correction exercice 10 :

Exercice 11 :

Montrer que :

Pascal Lainé

3 a. Montrer que ݂ est injective ? b. ݂ est-elle surjective ?

Allez à : Correction exercice 11 :

Exercice 12 :

Pour un entier ݊אԳ on désigne par ܫ

2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ௠՜ܫ

injective, surjective, bijective ?

Allez à : Correction exercice 12 :

Exercice 13 :

Soient ܨ, ܧ et ܩ trois ensemble et soient ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܩ

1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל

2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל

3. Que peut-on conclure sur ݃ל

4. Montrer que si ݃ל

5. Montrer que si ݃ל

6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ

suivants : a. ݃ל݂ൌܫ b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 13 :

Exercice 14 :

1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.

2. Montrer que toute section de ݂ est injective.

Une application ݎ, de ܻ dans ܺ, telle que ݎל݂ൌܫ

3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.

4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.

5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.

Allez à : Correction exercice 14 :

Exercice 15 :

Allez à : Correction exercice 15 :

Exercice 16 :

Pascal Lainé

4

Allez à : Correction exercice 16 :

Exercice 17 :

Soit ݂ǣܦ

1. Représenter ܦ

b. Montrer que ݂ est injective, on pourra se ramener au système du 2.a..

3. Est-ce que ݂ est surjective ?

Allez à : Correction exercice 17 :

CORRECTIONS

Correction exercice 1 :

Allez à : Exercice 1 :

Correction exercice 2 :

Une fonction est bijective si et

bijective.

݂ est bijective.

Pascal Lainé

5 ݃ est une bijection strictement croissante de Թ sur Թ, par conséquent pour tout ݕא unique ݔא On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation. Les seules bijections de ؿܧԹ sur ؿܨԹ ܧ est ܨ

Pour tout ݕאԹ il existe ݔא

Pour tout ݕא

autres ݕ

Le " ݔସ ݔ ».

Pour tout ݕ൐െଷ

య, ݕ admet deux antécédents, ݇ est ni surjective ni injective.

Pascal Lainé

6

Allez à : Exercice 2 :

Correction exercice 3 :

1.

Donc ݂ est injective.

Allez à : Exercice 3 :

Correction exercice 4 :

1.

Donc ݂

Donc pour tout ݌א

݂ est surjective.

3.

Donc ݃ est injective.

Alors

Ce qui équivaut à

Allez à : Exercice 4 :

Correction exercice 5 :

݂ est injective.

ͳ ݊ tel que ͳൌ-݊, ݂

injective. Pour tout ݕൌ݊אԳ ݔൌ-݊א que :

݃ est surjective.

Si ݊ est pair, il existe ݌א

Si ݊ est impaire, il existe ݌א

Pascal Lainé

7

Que ݊ soit paire ou impaire

Remarque :

Comme on le voit sur cet exemple, il ne suffit pas que ݃ל de ݂݂ଵǣܧ՜ܧ

Allez à : Exercice 5 :

Correction exercice 6 :

Allez à : Exercice 6 :

Correction exercice 7 :

݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ

Allez à : Exercice 7 :

Correction exercice 8 :

݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ Soit ݄ la fonction définie, pour tout ݌א

Allez à : Exercice 8 :

Correction exercice 9 :

On suppose que ݂ est injective, on va montrer que ݂ est surjective. pas injective.

Soit ݂௜ܨא ݁௝ܧא

݁௝భ്݁௝మ donc ݂

Pascal Lainé

8 On suppose que ݂ est surjective et on va montrer que ݂ est injective. -à-݂ ors ݂ pas surjective. ݊െͳ éléments et le second ݊ donc il existe un ݂௝ montre que ݂ surjective. montrer les trois équivalences.

Allez à : Exercice 9 :

Correction exercice 10 :

Cela montre que ݑלݒל

Car ݑ est injective

Car ݒ est injective

Car ݑ est injective

Finalement ݑלݒל

2. ͹ ݂

oduit de facteur premier entraine que ܽൌܽᇱ, ܾ

ܾᇱ et ܿൌܿ

Donc ݂ est injective et pas surjective.

Donc ߮

Donc ߮

Premier cas ܽ

Pascal Lainé

9 Si ܽൌ-, alors ܾܿൌെͳ, en particulier ܾ Ce sont les mêmes formules que dans le cas où ܽ

Allez à : Exercice 10 :

Correction exercice 11 :

1. 2.

Pascal Lainé

10

Cela montre que ଵ

Finalement

Ce qui montre que ݂ est injective.

b. Regardons si ͳא

Ce qui équivaut à

Mais ଵ

Allez à : Exercice 11 :

Correction exercice 12 :

1. Première méthode : raisonnons par récurrence

applications injectives de plus. applications injectives de plus.

Deuxième méthode :

2. ݂ǣܫ௠՜ܫ

tous distincts par conséquent ݉൑݊.

Remarque :

Supposons que ݂ est surjective.

plusieurs images), par conséquent ݊൑݉.

Pascal Lainé

11

Pour que ݂ soit bijective il faut (et il suffit) que ݂ soit injective et sujective, par conséquent il

faut que ݉൑݊ et que ݊൑݉, autrement dit il faut que ݉ൌ݊.

Remarque :

Allez à : Exercice 12 :

Correction exercice 13 :

Car ݃ est injective

Car ݂ est injective.

Donc ݃ל

2. Première méthode :

Pour tout ݖܩא il existe ݕܨא

Comme pour tout ݕܨא il existe ݔܧא surjective.

Remarque :

(b) Si on commence par écrire " pour tout ݕܨא il existe ݔܧא

Deuxième méthode :

que ݃ל

3. Si ݃ et ݂ sont bijectives alors elles sont injectives et ݃ל

alors elles sont surjectives et ݃ל݂ est surjective, on en déduit que ݃ל

Car ݃ל

5. Première méthode :

Pour tout ݖܩא, il existe ݔܧא tel que ݖൌ݃ל

Deuxième méthode :

Ce qui montre que ݃ est surjective.

6. a. ݃ל݂ൌܫ

Pascal Lainé

12

Remarque :

b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫ Par conséquent ݂ est bijective et ݂ିଵൌ݂.

Allez à : Exercice 13 :

Correction exercice 14 :

݂ est injective.

4. Pour tout ݔܺא

de ܺ valeur dans ܺ tous la même valeur).

Pour tout ݔܺא

ݎ est bien une rétraction de ݂.

Remarque :

5. Pour tout ݔܺא

Cela montre que ݎ est surjective.

Remarque :

Les rôles habituels de ݔ et ݕ

6.

Si ݂ admet une section alors ݂

Si ݂ admet une rétraction alors ݂

Par conséquent ݂ est bijective, on note ݂ିଵǣܻ՜ܺ

Comme ܫ݀௑ൌݎל

Comme ܫ݀௒ൌ݂ל

Allez à : Exercice 14 :

Correction exercice 15 :

2.

Pascal Lainé

13

Allez à : Exercice 15 :

Correction exercice 16 :

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