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Dans un triangle, une médiane est la droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet Tracer un triangle ABC en utilisant les mêmes 

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Représentons par R le rayon du cercle circonscrit; par /', /•', 7J\ rm les rayons des cercles, dont le premier est inscrit et les autres exinscrits au triangle

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22 déc 2007 · Rappel : barycentre de trois points 2 Médianes, centre de gravité d'un triangle 3 Bissectrices 4 Hauteurs 5 Médiatrices 6 Triangle orthique

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Soit G le centre de gravité du triangle ABC B' A' C' C B A G On veut démontrer que : 0 = + + GC GB GA GA GB GC 

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Exemple simple : Des coordonnées barycentriques du centre de gravité G du triangle sont : G : (1,1,1) On note par ailleurs O le centre du cercle circonscrit du  

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NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUESGEORGESDOSTOR

Distancesducentredegravitéauxpoints

remarquablesdutriangle

Nouvelles annales de mathématiques 3

esérie, tome 2(1883), p. 368-370 © Nouvelles annales de mathématiques, 1883, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Nouvelles annales de mathématiques » implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

DISTANCES DU CENTRE DE GRAYITÉ AUX POINTS

REMARQUABLE

S D U

TRIANGLE

PA R M

GEORGE

S

DOSTOR

1 Nou s désigneron s pa r A B C le s troi s sommet s d'u n triangl e e t pa r a c le s longueur s de s côté s res pectivemen t opposé s ce s sommets Représentons par R le rayon du cercle circonscrit; pa r 7 J r m le s rayon s de s cercles don t l e premie r es t inscri t e t le s autre s exinscrit s a u triangle

Supposon

s qu e l a lettr e G soi t mis e a u centr e d e gra vit d u triangl e e t l a lettr e O a u centr e d u cercl e circon scrit

Porton

s le s lettre s I T F F au x centre s de s cercles l'u n inscri t e t le s autre s exinscrits Enfi n plaçon s l a lettr e H a u poin t d e concour s de s hauteurs 2 Le s distances du centre de gravité G aux trois sommets A 13 C on t pou r carré s respectifs comm e To n sait le s expression s G\ 2 6 2 9 GB 2 !(ac *9 (JU li donnent GA 2 -J GB 2 -t GC 2 i 2 -f b* H c2) 3 L a distance du centre de gravité G centre cercle circonscrit es t donné e pa r O n e n dédui t d e suit e l a distance du centre de gravité G au point de concours H 6?e hauteurs, don t l e carr es t ains i GH 4R 2 -(a 2

H-62-f-

C 2) .j 4 Enfi n o n trouv e facilemen t qu e l e carr d e la ds oite qui joint le centre de gravité G au centre I du cercle

Ann.de

Uathcmat

,3 e serie t II (Aoû t i883. ( 37" ) inscrit a pou r valeu r (h^ 4 9 Dan s cett e expression i l suffir a d e charge r l e sign e d e a e t d e remplace r r pa r pou r avoi r l a distanc e qu i correspon d a u centr e d u cercl e exinscrit oppos l'angl e A O n trouv e ains i que G? 2 l (bc ~-ca ab) -(a*-+- 6 2 -i-c" 4Rr' (il -(r a6 6 r (a 2 2 c 2 4Rr" (;i' 7/ 2 I ab bc - ca (a* H 2 _ u r 2 _ h 4 R r (]e s (juatr e dernière s

égalité

s donnen t o Toute s ce s formule s peuven t s'obteni r directemen t pa r l a

Géométri

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