Théorème 41 (la formule de Taylor-Laplace) Soit n ∈ N Soit f une fonction définie et de classe Cn+1 sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R ou C f(b) = n
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)+ o (x2n) (On peut aussi appliquer directement la formule de Taylor-Young à la fonction x ↦→ cos(x) en constatant que pour
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− x3 6 1 Page 2 2) Formule de Taylor-Young Théorème Si f est n fois dérivable en x0, f admet en x0 un développement limité d'ordre n, son développement
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Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas ex = x→0 1 + x + x2 2 + + xn n + o (xn) = x→0 n ∑
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Théorème 41 (la formule de Taylor-Laplace) Soit n ∈ N Soit f une fonction définie et de classe Cn+1 sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R ou C f(b) = n
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Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas Formule de Taylor-Young en 0 f(x) = x→0 n ∑ k=0 f(k) (0)
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5) Formules de Taylor On en déduit l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n pour les fonctions de classe Cn+1 : Théorème 26 (formule de Taylor-Laplace)
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Exercice no 2 (***) (Formule de Taylor-Lagrange) Soient a et b deux réels tels que a
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1 (α − 1)nα−1+ O ( 1 nα ) I B 2) Soit k ∈ N∗ La fonction f est de classe C3 sur ]0, +∞[ La formule de Taylor
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2 Pour les applications : séries enti`eres 1 Formule de Taylor avec reste intégral 1 1 Théor`eme Théor`eme 1 1 Soit f : [a, b] → IR une fonction de classe Cn+1
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La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715 , permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage
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