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COURS D"ECHANTILLONNAGE ET
ESTIMATIONS
Chapitre : EstimationLicence fondamentale en Sciences Economiques et GestionAnnée universitaire 2016-2017
F.P.Tétouan
COURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 1 PlanEstimation
1 :L"estimation ponctuelle2 :L"estimation par intervalleF.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 2
Estimation :Généralités sur l"estimation
Principe de l"estimation.
L"objectif de l"estimation est de donner une valeur approché à un paramètre (moyenne, variance, fréquence,...) d"une population à partir d"un échantillon, et ce avec une précision la plus élevée possible.Définition de l"estimation. L"estimation est l"évaluation d"un paramètre inconnude la population par une ou plusieurs valeurs possibles.Remarque : L"éstimation du paramétreest une varaible aléatoire^dont la distri- bution de probabilité s"appelle la distribution d"échantillonnage du pa- ramétreL"estimation ^admet donc une esperance mathématiqueE(^)et une va-rianceV(^).F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 3
Estimation :Généralités sur l"estimation
Types d"estimation
Quand on estimepar une valeur unique, on parled"estimation ponc- tuelle.Quand on estimepar tout un intervalle de valeurs, on parled"estimation par intervalle de confiance.Définition de l"estimateur Un estimateur d"un paramètred"une population est une fonction des valeurs X1;X2;:::;Xnobservées susceptibles de servie à estimer.On écrit :
T n=f(X1;X2;:::;Xn)On appelle estimation par intervalle de confiance au risquetout intervalle ^1;^2]tel que la probabilité que cette intervalle contienne la valeur du para- mètresoit égale à 1. C-à-d :P(2]^1;^2[) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 4
Estimation : Généralités sur l"estimationQualité d"un estimateur
Estimateur sans biais :
Soit Tnun estimateur de. On dit queTnest un estima- teur sans biais de, si on a :E(Tn) =Exemple :
Xest un estimateur sans biais de m; en effetE(X) =m.fest un estimateur sans biais de p; en effetE(f) =p.La varaince empirique calculée sur un échantillon de taille n donnée par :
S 2=P n i=1(xix)2n est un estimateur avec biais de la variance de la popula- tion2=P N s=1(xsm)2N , puisqueE(S2) = (n1n )2. où(n1n)le Biais.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 5
Estimation : Généralités sur l"estimationQualité d"un estimateur
Estimateur efficace :Tnest un estimateur efficace desi c"est un estimateur sans biais deet qui a une variance minimale parmi tous les estimateurs sans biais de. En effet : Soient1et2deux estimateurs sans biais et convergents d"un meme paramétre, le plus efficace est celui qui a la variance la plus faible car ses valeures sont en moyennes plus proches de la quantité estimée :V() =E[E()]2minimale
Ainsi, si nous constatons par exemple que :V(1)V(2), nous dirons alors que l"estimateur1est meilleur ou plus efficace que l"estimateur2car sa va- riance est plus fible. Cela traduit le fait que à prioi on a plus de chance d"ob- tenir, sur un échantillon aléatoire, une estimation proche deen considérantl"estimateur1.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 6
Estimation : Généralités sur l"estimationExemple :
Pour l"estimateur sans biais deXdu paramétre m, on constate que :V(X) =2n dans le cas d"un tirage avec remise (T.A.R);V(X) =2nNnN1dans le cas d"un tirage sans remise (T.S.R);
Nous dirons alors que l"estimateurXdans le cas d"un tirage sans remise est meilleur ou plus efficace que l"estimateurXdans le cas d"un tirage avec remise car sa variance est plus faible. En effit : (V(X)T:S:R)(V(X)T:A:R))(2nNnN1)T:S:R(2n
)T:A:RF.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 7Estimation :Généralités sur l"estimation
Qualité d"un estimateur
Estimateur de faible disperstion :
Estimateur convergent :
F.P.Tétouan
COURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 8Estimation :Généralités sur l"estimation
Objectifs
Dans ce qui suit, nous allons étudier trois cas particuliers. Il s"agit de l"estima-tion de :d"une proportionp,d"une moyennem=,d"une variance2.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 9
Estimation de la moyenne d"une population
Estimation ponctuelle
Etant donné une population de moyenne m, l"estimateur sans biais de m est donné par :X=1n n X i=1X iLa variance de cet estimateur est :V(X) =2n
où2est la variance de la populationF.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 10
Estimation de la moyenne d"une population
Remarque : On suppose que le tirage est non exhaustive dans tous les cas.Estimationparintervalledeconfiance:Casd"unepopulationnor-
maleEtant donné une population normale de moyennemet de variance2, c"est- à-dire la variable aléatoire concernéeXde la population suit la loi normaleN(m;).F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 11
Estimation de la moyenne d"une population
maleL"estimateur par intervalle de confiance de m consiste à déterminer les bornesx1etx2de l"intervalleI, pour lesquellesIa un niveau de confiance,appelé probabilité 1, de contenirm.est appelé risque d"erreur.Les bornesx1etx2sont telles que :
P(x1mx2) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 12
Estimation de la moyenne d"une population
maleCas d"écart type connu :P(x1mx2) =P(Xx2XmXx1) =1
P(Xx2pn
Xmpn Xx1pn ) =P(Xx2pnTXx1pn
) =1 ou :T=Xmpn
Donc :
T=Xmpn
,!N(0;1)F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 13
Estimation de la moyenne d"une population
maleSoitZ12 la valeur de la variable normaleN(0;1), appelé quartile, lue dans la table, c"est-à-dire : P(Z12 TZ12 ) =1On a:8 :P(Xx2pnTXx1pn
) =1; P(Z12 TZ12 ) =1;F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 14Estimation de la moyenne d"une population
maleAlors:8 >:Xx2pn =Z12 ;Xx1pn =Z12Donc :x1=XZ12
:pn etx2=X+Z12 :pnD"ou :
I c(m) = [XZ12 :pn ;X+Z12 :pn ]F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 15Estimation de la moyenne d"une population
maleCas d"écart type inconnu :Taille d"échantillon den<30 :Dans le cas où la variance est inconnue, on utilise la quasi-variance
comme estimation de la variance.L"intervalle de confiance de la moyenneIc(m)est définie comme suit :
P(x1mx2) =P(Xx2XmXx1) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 16
Estimation de la moyenne d"une population
maleP(Xx2^ Spn Xm^ Spn Xx1^ Spn ) =1 ou : S=rn n1V(X)CommeX,!N(m;)etest inconnue alors :
T=Xm^ Spn ,!Tn1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 17Estimation de la moyenne d"une population
maleSoitt12 la valeur de la variable Student à n-1 degré de liberté lue à partir de la table de , c"est-à-dire : P(t12 Tt12 ) =1On a:8 :P(t12 Tt12 ) =1;P(Xx2^
Spn TXx1^ Spn ) =1;F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 18Estimation de la moyenne d"une population
Estimation par intervalle de confiance
Alors:8
>:Xx2^ Spn =t12 ;Xx1^ Spn =t12Donc :x1=Xt12
Spn etx1=X+t12 SpnD"ou :
I c(m) =Ic= [Xt12 Spn ;X+t12 Spn ]F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 19Estimation de la moyenne d"une population
Estimation par intervalle de confiance
Cas d"une population de loi quelconque etn30 :L"intervalle de confiance de la moyenneIc(m)est définie comme suit :
P(x1mx2) =P(Xx2XmXx1) =1
P(Xx2pn
Xmpn Xx1pn ) =P(Xx2pnTXx1pn
) =1 ou :T=Xmpn
,!N(0;1)Donc :
I c(m) = [XZ12 :pn ;X+Z12 :pnRemarque :Siest inconnue alors on remplacepar^S.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 20
Estimation
Exemple 1 : Estimation d"une moyenne, dans le cas où la variance2est connueUne machine produit en grande série des objets de masse théorique 180g. On
admet que la variable aléatoire qui associe à un objet sa masse a pour ecart- type 0,92g. On préléve un échantillon de 100 objets et on mesure la masse de chacun, on obtient une moyenne de 179,93g. Déterminer un intervalle de confiance au seuil de risque de 1%, de la masse d"un objet.F.P.Tétouan
COURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 21Estimation
Exemple 1 : Estimation d"une moyenne, dans le cas où la variance2est connueSoitXi, la v.a qui renvoit la masse de l"objet i de l"échantillon. On cherche
un intervalle de confiance de=E(Xi)On sait qu"avec proba 1,X nupn X n+upn =0;01 donne unu=2;58 .(table de la loi normale centrée réduite)D"ou,179;932;580;92p100
179;93+2;580;92p100
i.e :A vecpr oba0,99 on a , 2[179;69;180;17].F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 22
Estimation
Exemple 2 :Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance2est inconnue.Le chiffre d"affaire mensuel d"une entreprise suit une loi normale de moyenne
et d"écart-typeinconnus. Sur les 12 derniers mois, on a observé une moyenne des chiffres d"affaires égale à 10 000 euros avec un écart-type de 2000 euros.Donner une estimation depar intervalle de confiance au niveau 0,98.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 23
Estimation
Exemple 2 :Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance2est inconnue.SoitXile chiffre d"affaire de l"entreprise le mois i.On sait queT=p11
S 12(X12)suit une loi de Student (11).A l"aide de la table de la loi de Student, on trouve :
t =t0;02'2;718tel que P(jTj 2;718) =0;98Donc,jp11 S 12(X12)j 2;718 avec proba=0;98
i.e :2[X122;718S12p11
;X12+2;718S12p11
]Avec :X12=10000 etS12=2000, on obtient :2[8360;9;11639;02];avec proba0;98F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 24
Estimation de la variance d"une population
Estimation ponctuelle
Etant donné un population de variance2On a :E(^S2) =2alors^S2=nn1S2=nn1P n i=1(xiX)2est unestimateur sans biais de 2.Cet estimateur est appelé quasi-variance. La variance de cet estimateur est :V(^S2) =2n14F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 25
Estimation de la variance d"une population
Estimation par intervalle de confiance
Soit une population normale de variance2. L"estimateur par intervalle de confiance de2consiste à déterminer les bornesx1etx2d"un inter-valle qui aun niveau de confiance, appelé probabilité 1, de contenir2.Les bornesx1etx2sont telles que :
P(x12x2) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 26
Estimation de la variance d"une population
Estimation par intervalle de confiance
Donc :
I c(2) =Ic= [1k 12 n X i=1(xiX)2;1k 2 n X i=1(xiX)2] ouk2 etk12 sont les quantiles d"ordre2 et 12de la loi2n1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 27
Estimation
Exemple 1 :
Au controle de la qualité d"un institut de beauté, on analyse le PH d"un certain parfum. On sait que ce facteur maintient un aspect normal de moyenne 2,8. Afin de connaitre sa variance, on effectue un prélèvement de 25 unités de ce parfum dont on mesure le PH.Pour certain échantillon, la valeur dePn
i=1(xim)2(ou m=2,8 ) est de 0,0625. B ^atir un intervalle de confaince qui permettra d"estimer la varaince du PH dece parfum avec un degré de certitude de 95%.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 28
Estimation
Exemple 1 :Solution
La moyenne de la population est connue :
m==2;8 ,P(xim)22,!2251=0;95)2
=0;025)12 =0;975,P(P(xim)22x2) =2
=0;025!x2=40;64P(P(xim)22x1) =12
=0;975!x1=13;12 Ic(2) = [0;062540;64;0;062513;12] = [0;0015;0;004]F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 29
Estimation
Exemple 2 :
La consomation d"essance en(L=100km)d"un certian modèle d"automobile est modèle. On obtient une moyenne d"échantillon de 8;7L=100kmet un écart-type corrigé d"échantillon de 0;09L=100km.Estimer la variance de la population parintervalle avec 90%F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 30
Estimation
Exemple 2 :
La moyenne est inconnue :
(n1)^S22,!2241=0;9)2
=0;05)12 =0;95P((n1)^S22x2) =2
=0;05!x2=36;42P((n1)^S22x1) =12
=0;95!x1=13;58I c(2) = [(n1)^S2x2;(n1)^S2x
1] Ic(2) = [24(0;09)236;42;24(0;09)213;85] = [0;0053;0;012]F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 31