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7Lois de probabilité

Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous la forme d"une "expérience type» puis d"analyser cette expérience en détail pour pouvoir déduire les principales caractéristiques de toutes les expériences aléatoires qui sont du même type. Letravailestfaituneseulefoismaisilsertàtouteslesexpériencessemblables. L"évaluation delaloideprobabilitéetdescaractéristiquesétanteffectuée, l"utilisateurn"aplusà"con-

struire" les probabilités mais simplement à identifier le modèle et à utiliser les résultats

connus sur le modèle. On s"intéressera ici à quelques lois qui sont très fréquentes dans

le domaine de la gestion.

Objectifs et compétences

L"étudiant sera en mesure de

calculer des probabilités sur la loi binomiale associer une expérience aléatoire à une loi binomiale calculer des probabilités sur la loi de Poisson associer une expérience aléatoire à une loi de Poisson calculer des probabilités sur la loi exponentielle associer une expérience aléatoire suit à loi exponentielle calculer des probabilités sur la loi normale utiliser les propriétés de la loi normale pour effectuer des calculs de probabilité

Loi binomiale

Considérons l"expérience qui consiste à répéternfois une expérience aléatoire de façon

indépendante telle que le résultat de chaque expérience est un succès ou un échec avec

une probabilité de succèsπ. On peut représenter cette expérience type par la figure

2 Chapter 7 Lois de probabilité

suivante : PosonsXla variable aléatoire qui donne le nombre total de succès sur lesntentatives. La variable aléatoireXsuit une loi Binomiale de paramètresnetπ, notéeBin(n,π).

Le support de cette variable aléatoire est

X={0,1,2,···n}

et la loi de probabilité est donnée par f(x) =?n x? x(1-π)n-xpourx= 0,1,2,...n où0< π <1et?n x? =n! x!(n-x)! Les principales caractéristiques numériques sont :

Moyenne :E(X) =nπ

Variance :V ar(X) =nπ(1-π)

Ecart type :?

nπ(1-π) Voici un graphique représentant quelques lois binomiales avec une même valeur den, (n= 20) et quelques valeurs deπ.

Lois binomiales

x fonction de probabilité

0 5 10 15 20

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Pi=0.1

Pi=0.25

Pi=0.5

Pi=0.75

Loi binomiale 3

Remarque 7.1Le cas particulier de la loi binomiale avec paramètren= 1etπest à la base de plusieurs modélisation. Il est aussi connu comme étant la loi deBernoulliou expérience de Bernoulli. La notion de succès et d"échec dans le cadre d"une loi binomiale est purement arbitraire. Ainsi, le fait qu"une nouvelle entreprise ne passe pas le cap de la première année peut être qualifié de succès si on s"intéresse au nombre de fermetures tout comme le fait

qu"un employé ne soit pas présent au travail une certaine journée peut être un succès si

on veut étudier le taux d"absentéisme. Exemple 7.1?On sait que la probabilité qu"une personne choisie au hasard travaille dans le domaine de l"administration ou de la comptabilité est de 1/6. Si on choisit au hasard 3 personnes, quelle est la probabilité d"avoir au moins 2 personnes sur 3 qui travaillent dans l"administration ou la comptabilité ? Solution :PosonsXla v.a. qui donne le nombre de personnes sur 3 qui travaillent dans l"administration ou la comptabilité,X≂Bin(3,1/6). On cherchePr(X≥2) :

Pr(X≥2) =f(2) +f(3)

=?3 2?? 1 6? 2?5 6? 3-2 +?3 3?? 16? 3?5 6? 0 =572+1216= 7.4074×10 -2 = 0.0741 Exemple 7.2?Dans une entreprise les ressources humaines font passer une entrevue préliminaire aux candidats et on sait par expérience que seulement 50% passent au travers de ce premier tri. Quelle est la probabilité que sur 5 candidats, il y en ait 4 ou plus qui passent la première entrevue ? Solution :PosonsXla v.a. qui donne le nombre de candidats sur 5 qui passent la première entrevue,X≂Bin(5,1/2)et on cherchePr(X≥4):

Pr(X≥4) =f(4) +f(5)

=?5 4?? 1 2? 4?1 2? 1 +?5 5?? 12? 5 =316

4 Chapter 7 Lois de probabilité

Exemple 7.3Les données disponibles sur la survie des entreprises démontrent que les nouvelles entreprises du domaine des communications ont une probabilité de passer le cap des 2 ans de0.20. Si 10 entreprises se sont implantées, quelle est la probabilité d"avoir au moins 4 "survivantes» après 2 ans ? Solution :PosonsXla v.a. qui donne le nombre d"entreprises qui passent le cap des deux ans. C"est une v.a. de loiBin(10,0.2)et on cherchePr(X≥4). Or

Pr(X≥4) = 1-Pr(X <4) = 1-

3? x=0 fX(x) = 1- 3? x=0 ?10 x? (0.2) x(0.8)10-x = 1-.87913 =.12087 Exemple 7.4?Dans l"exemple précédant, si on sait qu"une entreprise en communi- cation qui passe le cap des 2 ans a une probabilité de2/3de devenir une grande entre- prise(plus de 50 employés), quelle est la probabilité d"obtenir 4 grandes entreprises en communication sur les 10 qui se sont implantées ? Solution:PosonsXlav.a. quidonnelenombred"entreprisessur10quisetransforment en une grande entreprise. C"est une v.a. de loiBin(10,π), oùπest la probabilité qu"une nouvelle entreprise en communication se transforme en une grande entreprise. Pour que la nouvelle entreprise devienne une grande entreprise, il faut qu"elle survive deux ans (disons l"événementA) et qu"elle se transforme en grande une entreprise (dis- ons l"événementB). Or

π= Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B|A)

1023=215puisque la probabilité de passer le cap des 2 ans est de 0.2 par le problème précédantet que la donnée du problème donnePr(B|A) = 2/3.

On a doncX≂Bin(10,

15)et on cherchePr(X≥4). Or

Pr(X≥4) = 1-Pr(X <4) = 1-

3? x=0 fX(x) = 1- 3? x=0 ?10 x?? 2 15? x?13 15? 10-x = 1-.96596 =.03404 Remarque 7.2Pour qu"une variable aléatoire suive une loi binomiale, il faut que le

nombre de répétitions de l"expérience soit fixé a priori. De plus, les expériences doivent

Loi binomiale 5

être indépendantes c"est-à-dire que le résultat d"une des expériences n"affecte en aucune

façon les autres. Considérons l"exemple d"une population de 120 entreprises d"un certain secteur et sup- posons que sur ce nombre il y en a 51 qui sont conformes à la norme ISO 9200. Une expérience aléatoire consiste à prendre 15 entreprises au hasard parmi les 120. On veut évaluer la probabilité qu"il y ait au moins 8 entreprises parmi les 15 qui sont conformes

à la norme ISO 9200. Même si on répète 15 fois l"expérience consistant à choisir une

entreprise, ce ne sont pas des expériences indépendantes : il n"y a que 120 entreprises et chaque fois qu"une entreprise est choisie à un tirage cela affecte la probabilité au tirage suivant. Exemple 7.5?Un transporteur aérien doit remplir un avion de 330 places. Il vend

340 billets en sachant qu"il y a une probabilité de 2.5% qu"un passager ne se présente

pas. Solution :PosonsXla v.a. qui donne le nombre de passagers qui se présenteront sur les 340 billets vendus. On aX≂Bin(340,0.975). Cela veut dire qu"en moyenne il y aura340?0.975 = 331.5passagers par vol. En moyenne il y aura 1.5 passagers qui n"auront pas de place. Comme passager on peut vouloir connaître la probabilité qu"il manque de place. Cela s"exprime parPr(X >330)et en utilisant la formule 1

Pr(X >330) =f(331) +f(332) +···+f(340)

=?340331? 0.975

331(0.025)340-331+···

= 0.65381 Exemple 7.6?Dans un programme universitaire il y a 30% des étudiants qui dé- passent le temps prévu pour terminer le programme et 10% qui terminent au moins une session avant la fin du temps prévu. On sait que 3% des étudiants qui dépassent le temps ont une cote générale "A", que 20% de ceux qui finissent exactement dans les temps ont cette cote et que ce taux devient 50% pour ceux qui finissent avant. Sur une cohorte de

15 étudiants dans le programme quelle est la probabilité qu"il y ait au moins 4 étudiants

avec la cote générale "A" ? Solution :Considérons la v.a.Xqui donne le nombre d"étudiants sur 15 qui auront la cote générale "A". C"est une v.a. qui admet une loi binomiale de paramètresn= 15et π:la probabilité qu"un étudiant au hasard obtienne cette cote. On cherchePr(X≥4). Pour utiliser la fonction de probabilité de la loi binomiale il faut déterminer la valeur du paramètreπ.

1Ce calcul peut se faire à la calculatrice mais il est plus simple et surtout plus rapide d"utiliser un logiciel

comme EXCEL.

6 Chapter 7 Lois de probabilité

Si on poseB

1:"un étudiant dépasse le temps prévu",B2:"un étudiant termine exacte-

ment dans les délais,B

3un étudiant dépasse le temps prévu etA:"obtient la cote A".

L"utilisation de la première règle de Bayes permet d"obtenirπ= 0.179. On a alors

Pr(X≥4) = 1-Pr(X <4)

= 1-(f(0) +f(1) +f(2) +f(3)) oùf(x) =? 15 x?0.179x(1-0.179)15-x.

L"application de la formule donne

f(0) = 15!

0!15!×0.1790×0.82115= 5.1898×10-2

f(1) =15!

1!14!×0.1791×0.82114= 0.16973

f(2) = 15!

2!13!×0.1792×0.82113= 0.25903

f(3) = 15!

3!12!×0.1793×0.82112= 0.24473

et ainsi la probabilité recherchée est

Pr(X≥4) = 0.27461

Loi de Poisson

La loi de Poisson ou modèle de Poisson permet la modélisation de l"observation d"un phénomènequiproduitdesévénementsàunrythmeconnu. Ons"intéresseàl"observation d"événements et on suppose

1. un seul événement arrive à la fois

2. le nombre d"événements se produisant ne dépend que du temps de l"observation

3. les événements sont indépendants

ConsidéronsXla v.a. qui donne le nombre d"événements observés dans une unité de temps. On a alors un phénomène de Poisson et la variable aléatoire qui donne le nombre

d"événements par unité de temps suit une loi de Poisson, notéeX≂P(λ), oùλest

le nombre moyen d"événements par unité de temps.

Loi de Poisson 7

Les valeurs possibles de la variable aléatoire sont S

X={0,1,2,...}

et la loi de probabilité est donnée par f

X(x) =e

-λλx x!pourx= 0,1,2,... oùeet la fonction exponentielle au point 1 :e?2,71828. Les principales caractéris- tiques numériques sont :

Moyenne :E(X) =λ

Variance :V ar(X) =λ

Ecart type :⎷

Voici la représentation graphique de la distribution de Poisson pour quelques valeurs de

Lois de Poisson

x fonction de probabilité

0 5 10 15 20

0.0 0.1 0.2 0.3

lambda=1 lambda=4 lambda=8 lambda=15 Exemple 7.7?Dans le ciel au mois d"août il y a en moyenne 1000 étoiles filantes dans l"espace d"une heure. Quelle est la probabilité d"en voir plus de 10 en 1 minute ? Solution: PosonsXla v.a. qui donne le nombre d"étoiles filantes en 1 min,X≂P(λ), oùλest le nombre moyen d"étoiles en 1 min. Puisque le monbre moyen est proportionnel au temps,

λ= 1000/60 = 16.667

On cherchePr(X >10). Or

= 1- 10? x=0 f(x) = 10? x=0 e-16.667(16.667)x x! = 1-e -16.667(16.667)0 0!+e -16.667(16.667)1

1!+···

= 1-5.7328×10 -2

Donc Pr(X >10) =.94267

8 Chapter 7 Lois de probabilité

Exemple 7.8?Dans une banque les clients arrivent à une fréquence moyenne de 10 par heure.

Quelle est la probabilité qu"il y ait plus de 2 clients en 10 min ?Solution: Si on suppose que les clients arrivent indépendamment les uns des autres

et que la moyenne est constante, la v.a.Xqui donne le nombre de clients en 10 min suit une loiP(λ), oùλest le nombre moyen en 10 min.,λ= 10

6010 =10

On cherchePr(X >2). On a

= 1-(f(0) +f(1) +f(2)) = 1-? e -10/6(10/6)0 0!+e -10/6(10/6)1 1!+e -10/6(10/6)2 2!? = 1-73 18e -5 3

D"oùPr(X >2) = 1-0.766 =.234.

Quelle est la probabilité qu"il n"y ait aucun client dans une période de 5 min. ?Solution: PosonsXla v.a. qui donne le nombre de clients pour 5 min,X≂P(λ),

oùλest le nombre moyen de clients en 5 min.,λ= 10

605 =5

6. On cherche

Pr(X= 0):

Pr(X= 0) =f(0) =e

-5/6?5 6 ?0

0!=.4346

Exemple 7.9?Une composante électronique produit en moyenne 1 erreur par 100

000hres. Quelle est la probabilité d"une erreur si la pièce fonctionne 20 000 hres ?

Solution: PosonsXla v.a. qui donne le nombre d"erreurs sur 20 000hres de fonc- tionnement,X≂P(λ), oùλest le nombre moyen d"erreurs en 20 000hres,λ= 1

10000020000 =1

5. On cherchePr(X≥1)puisqu"on veut en réalité la probabilité

d"une erreur ou plus. Or

Pr(X≥1) = 1-Pr(X= 0)

= 1-e -1/5(1/5)0

0!=.18127

Exemple 7.10?SoitXla v.a. qui donne le nombre de personnes qui se présentent à l"urgence durant une heure. Si on sait qu"il y a en moyenne 5 patients à l"heure alors X≂P(λ), oùλ= 5. La probabilité d"avoir plus de 3 patients est de

Pr(X >3) =

x=4 fX(x) = x=4 e-λλx x!

Loi de Poisson 9

Or cette somme est longue à calculer et il est préférable de faire 3? x=0 e-λλx x! = 1- 3? x=0 e-55x x!= 0.73497 soit de presque 74% Remarque 7.3LaloidePoissonpermetdemodéliserdesphénomèmesrareslorsqu"on peut connaître la moyenne pour un laps de temps relativement grand. Elle peut ainsi servir à modéliser le nombre de cas d"une maladie rare dans une grande population, le nombre d"homicides par année dans une ville de grandeur moyenne, le nombre de personnes ayant un certain profil génétique dans une population, etc. Exemple 7.11?Un cancer rare fait en moyenne 5 victimes par années au Québec. Quel est la probabilité que ce cancer fasse plus de 8 victimes en 2009 ? Solution: Soit la v.a.Xle nombre de cancer au Québec en 2009. On est en présence d"unévénementraredontlaloiestPoissondeparamètreλ= 5. OncherchePr(X >8). Cette v.a. suit une loi de Poisson de paramètreλ= 5et ainsi

Pr(X >8) =

x=9 e-λλx x! = 1- 8? x=0 e-55x x!= 6.8094×10 -2 Remarque 7.4Une autre utilisation de la loi de Poisson est de modéliser les événe- ments par unité de longueur, de surface, de volume, etc. Pour ce qui est de la surface, on ne regarde pas le temps d"observation mais la surface d"observation et le nombre d"événements observés doit être directement proportionnel à la surface. Exemple 7.12?La "badwater road" est une route qui traverse la vallée de la mort en Californie. La température durant le mois de juillet donne une moyenne maximale de 47
◦C le jour et ainsi plusieurs autos tombent en panne durant la traversée. Sur les 45.2 miles il y a en moyenne5.2pannes par jour au mois de juillet. Une garage a un contrat

10 Chapter 7 Lois de probabilité

d"exclusivité pour la moitié nord de cette route. Pour établir le personnel et le nombre

de dépanneuses qu"il devra affecter à cette tâche il veut calculer la probabilité qu"il y

ait plus de 4 pannes dans une journée sur son territoire. Solution :SoitXla variable aléatoire qui donne le nombre de pannes sur le territoire du garagiste,X≂P(λ), oùλest le nombre de panne moyen sur cette section de la route. Comme cela représente la moitié de la route totale alorsλ= 5.2/2 = 2.6. On cherchePr(X >4) : = 1- 4? x=0 f(x) = 1- 4? x=0 e-2.62.6x x! = 0.12258 Exemple 7.13???Dans la forêt tropicale amazonienne il y a en moyenne 0.2 bois serpents (Marmoroxylon racemosum) par ha. C"est un arbre rare qui est très recherché pour la fabrication de bijoux et d"objets décoratifs. Un exploitant forestier explore 10 ha par jour à la recherche de cet arbre et son exploita- tion est rentable s"il y a au moins 3 jours par semaine (5 jours) pour lesquels il trouve au moins un bois serpent. Quelle est la probabilité que son exploitation soit rentable ? Solution: PosonsXla v.a. qui donne le nombre de jours dans une semaine pour lesquels l"exploitant trouve un bois serpent,X≂Bin(5,π), oùπest la probabilité de trouver au moins un bois serpent dans une région de 10 ha. On cherchePr(X≥3). Pourdéterminerπ, onconsidèreYlav.a. quidonnelenombrede boisserpents dansune région de 10 ha. Puisqu"il y a en moyenne 0.2 arbres par ha, il y en aura en moyenne 2 par 10 ha.

La v.a.Ysuit une loiP(2)et on veut

π= Pr(Y≥1) = 1-Pr(Y= 0)

On obtient

π= 1-f

Y(0) = 1-e

-220

0!=.86466

On peut alors évaluerPr(X≥3):

Pr(X≥3) =f

X(3) +fX(4) +fX(5)

=?5 3? (.86466)3(1-.86466)5-3 +?5 4? (.86466)

4(1-.86466)1

+?5 5? (.86466) 5 =.97997

Loi uniformeU(a,b)11

Loi uniformeU(a,b)

Considérons une v.a. de support(a,b)telle que les résultats sont tous aussi probables les uns que les autres. La v.a. une distribution uniforme de paramètresaetb, notée

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7Lois de probabilité

Objectifs et compétences

L"étudiant sera en mesure de

Loi binomiale

2 Chapter 7 Lois de probabilité

Le support de cette variable aléatoire est

X={0,1,2,···n}

Moyenne :E(X) =nπ

Variance :V ar(X) =nπ(1-π)

Ecart type :?

Lois binomiales

0 5 10 15 20

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Pi=0.1

Pi=0.25

Pi=0.5

Pi=0.75

Loi binomiale 3

Pr(X≥2) =f(2) +f(3)

Pr(X≥4) =f(4) +f(5)

4 Chapter 7 Lois de probabilité

Pr(X≥4) = 1-Pr(X <4) = 1-

π= Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B|A)

1023=215puisque la probabilité de passer le cap des 2 ans est de 0.2 par le problème précédantet que la donnée du problème donnePr(B|A) = 2/3.

On a doncX≂Bin(10,

15)et on cherchePr(X≥4). Or

Pr(X≥4) = 1-Pr(X <4) = 1-

Loi binomiale 5

340 billets en sachant qu"il y a une probabilité de 2.5% qu"un passager ne se présente

Pr(X >330) =f(331) +f(332) +···+f(340)

331(0.025)340-331+···

15 étudiants dans le programme quelle est la probabilité qu"il y ait au moins 4 étudiants

1Ce calcul peut se faire à la calculatrice mais il est plus simple et surtout plus rapide d"utiliser un logiciel

6 Chapter 7 Lois de probabilité

Si on poseB

1:"un étudiant dépasse le temps prévu",B2:"un étudiant termine exacte-

3un étudiant dépasse le temps prévu etA:"obtient la cote A".

Pr(X≥4) = 1-Pr(X <4)

L"application de la formule donne

0!15!×0.1790×0.82115= 5.1898×10-2

1!14!×0.1791×0.82114= 0.16973

2!13!×0.1792×0.82113= 0.25903

3!12!×0.1793×0.82112= 0.24473

Pr(X≥4) = 0.27461

Loi de Poisson

1. un seul événement arrive à la fois

2. le nombre d"événements se produisant ne dépend que du temps de l"observation

3. les événements sont indépendants

Loi de Poisson 7

X={0,1,2,...}

X(x) =e

Moyenne :E(X) =λ

Variance :V ar(X) =λ

Ecart type :⎷

Lois de Poisson

0 5 10 15 20

0.0 0.1 0.2 0.3

λ= 1000/60 = 16.667

On cherchePr(X >10). Or

1!+···

Donc Pr(X >10) =.94267

8 Chapter 7 Lois de probabilité

6010 =10

On cherchePr(X >2). On a

D"oùPr(X >2) = 1-0.766 =.234.

605 =5

6. On cherche

Pr(X= 0):

Pr(X= 0) =f(0) =e

0!=.4346

000hres. Quelle est la probabilité d"une erreur si la pièce fonctionne 20 000 hres ?

10000020000 =1

5. On cherchePr(X≥1)puisqu"on veut en réalité la probabilité

Pr(X≥1) = 1-Pr(X= 0)

0!=.18127

Pr(X >3) =

Loi de Poisson 9

Pr(X >8) =

10 Chapter 7 Lois de probabilité