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Sujets des projets
projet C++Université Pierre et Marie Curie
F. Hecht, R. Chakir
Master II / session 2007/2008
Introduction
Pour tous les projets , il faudra faire un rapport d"une dizaine de pages enLatex.Ces projets sont à réaliser par binôme, les choix des projets sont faits par les enseignants, une fois le
binôme déclaré.1 Projets 1,2 & 3 : Elements finis
Vous disposez d"un programme, EF23" (voirhttp://www.ann.jussieu.fr/~hecht/ftp/MPE/EF.tar.gz), résolvant les équations de Poisson par éléments finisP1Lagrange 2d ou 3d avec
comme solveur un gradient conjugué ou UMFPACK (voirhttp://www.ann.jussieu.fr/~hecht/ ftp/MPE/EF2DUMFPACK.tar.gz). Pour télécharger et installer les sources 265Ko et grosmaillage 6Mo curl -O http://www.ann.jussieu.fr/~hecht/ftp/MPE/EF.tar.gz curl -O http://www.ann.jussieu.fr/~hecht/ftp/MPE/EF-grosmaillage.tar.gz tar zxvf EF.tar.gz tar zxvf EF-grosmaillage.tar.gz cd EF/libMesh make install clean cd ../EF23 make EF2d EF2dMat EF3d Pour la partieUMFPACKinstaller UMFPACK (voir le cours dernier cours) curl -O http://www.ann.jussieu.fr/~hecht/ftp/MPE/EF2DUMFPACK.tar.gz Les 2 premiers projets sont basés sur la modification du le petit programmeEF2d.cpp(4 pages)Projet 1: Calculer des valeurs propres du problème de Poisson en utilisant la bibliothèqueARPACK++
blèmes de compilations.Remarque : les valeurs propres du problème de Poisson avec conditions de Dirichlet sur le carré]0;p[2
sontn2+m2et les fonctions propres associés sontsin(nx)sin(my). 1Mastere II / MPE2
Projet 2: Changer le solveur deEF2DUMFPACKpar les solveurs deSuperLU,PETSc, et d"autre sol- veur d"Internet : voir la pagehttp://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/ la-sw.htmlafin de comparer les vitesses de résolution.Projet 3:Ecrire un outil de visualisation des isosurfaces de la solution avecOpenGL, GLUT, ombrage, trans-
parence et stéréo,Il faut partir deglplotisodans
# OpenGL: representation 3D et couleurs curl -O http://www.ann.jussieu.fr/~hecht/ftp/MPE/glplot.tar.gz tar zxvf glplot.tar.gz cd glplot # Editer le Makefile pour choisir ou son vos OpenGL/ GLUT make all remarque : il faut ajouter-lXi -lXmua la fin de la variableGLLIBSdans le Makefile pour l"édition de liens de avecGLUT2 Projet 4 :Visualisation et optimisation de maillage
Le but de ce projet de visualiser une fonctionfdu carré]1;1[2à valeur dans IR avec une précision de
edonnée.Il faut donc construire un maillage telle que l"erreur sur chaque triangle du maillage soit inférieure àe.
L"algorithme de raffinement de maillage est très simple : il consiste à couper les triangles d"erreur trop
grand en deux parties égales par rapport à une des 3 arêtes en choisissant l"arête qui générera l"erreur
minimal.Donc l"algorithme est :
1. insérer les triangle a vecune erreur trop grande dans la queue 2. tant que la queue n"est pas vide f aire: (a)Prendre le triangle de la queue et découper le triangle en deux en choissisant la bonne arête, et
ajouter les nouveaux triangles dans la queue si nécessaire.L"erreur sur un triangleKsera définie par :
E K=Z K jfPK(f)j2 OùPK(f)est la projectionL2(K)defsur l"espacesP1(K)des fonctions polynomes de degre 1 deKà valeur dansR, c"est-à-dire : Z KPK(f)f=0;Z
K (PK(f)f)x=0Z K (PK(f)f)y=0Et vous utiliserez des formules d"integration pour évaluer les intégrales qui sont définies danshttp://
xyz.lanl.gov/format/math.NA/0501496 Programmer l"algorithme precédent pour visualiser les fonctions f1(x;y) =x2+y2
f2(x;y) =x2+y3+tanh(5sin(2(y+x))
avec la bibliothèqueGLUToù le paramètreepeut être changé interactivement, et bien sur il doit être
possible d"afficher ou non le maillage.Mastere II / MPE3
3 Projets 5 : Optimisation d"un trajet sur une topographie quelconque
Le principe est d"optimiser le trajet d"un véhicule se déplaçant d"un point à un autre sur un terrain
ayant une topographie quelconque. Cette optimisation devra être réalisée en minimisant deux quantités : la
distance entre le point de départ et le point d"arrivée et la pente (positive et négative) du trajet. Il faudra donc
trouver le chemin optimal pour que le véhicule ait le moins de distance à parcourir et qu"il ait le moins à
monter et descendre possible.3.1 Discrétisation et graphe
SoitW=[a;b][c;d]R2le domaine dans lequel le véhicule pourra évoluer. Soit la fonctionf:W7!R associant à un pointX= (x;y)son altitudef(X).La première étape est la discrétisation deW. On se donne deux entiersNxetNyet on définit les points
X ij= (xi;yj)aveci=1;:::;Nxetj=1;:::;Ny. Si on noteDx= (ba)=(Nx1)etDy= (dc)=(Ny1),on choisiraNxetNytels queDx'Dy. Les points(Xij)i;jsont les sommets du graphe associé àW(on notera
Xl"ensemble des sommets(Xij)i;jdu graphe).
On définit ensuite l"ensembleAdes arêtes du graphe. Pour cela, on se donne un réeld>max(Dx;Dy).
Les arêtes du graphe sont définies par les segmentssXnXm= (Xn;Xm)1n;mNxNyvérifiant 0 La dernière étape pour la construction du graphe est d"affecter une valeur à chacune des arêtes. Soit l"arêtesXnXmreliant les pointsXnetXm. La valeurcXnXm(ou lecoût) associée à cette arête sera une fonction qui dépendra à la fois de la distancejXnXmjainsi que la valeur absolue de la pentejf(Xm)f(Xn)j=jXn mj. Le coûtcXnXmpour aller deXmàXn(ou bien de manière équivalente deXnàXm) par l"arêtesXnXmsera d"autant plus grand que la distance entreXmetXnsera importante et que la valeur absolue de la pente sera SoitA2Xle point de départ du véhicule etB2Xson point d"arrivée. On définit uncheminCallant n=0;:::;p1 on aitsXnXn+12A, c"est-à-dire que tout segment(Xn;Xn+1)corresponde à une arête du véhicule revient donc à trouver le chemin allant deAàBdont le coût est le plus faible. Ce chemin est appelé aussid(X)comme le coût du plus court chemin reliantXàAetp(X)le prédécesseur deXdans le plus courtΔxyΔy
3.2 Détermination du plus court chemin
Mastere II / MPE4
Initialisation :
R=XnfAg,
P=fAg,
d(A) =0,d(X) =cAXsisAX2Aetd(X) = +¥sinon. T antque B=2P, Faire :
T rouverXle sommet réalisant le minimum ded(:)surR. Ajouter Xà l"ensembleP.
Enle verXà l"ensembleR.
Pour tout Y2Rtel quesXY2A, Faire :
Si d(X)+cXY
B, puis on sauvegarde son prédécesseurp(B), puis le prédécesseur de son prédécesseurp(p(B)), ...
jusqu"à arriver àA.3.3 But du projet
Le but de ce projet est donc de réaliser un programme utilisantGLUT(voir le TP 3) permettant d"afficher
sera donnée par la valeur de la topographie en chacuns de ces points. On devra pouvoir visualiser en outre
le plus court chemin entre deux points de la fenêtre obtenu par l"algorithme de Dijkstra. Enfin, les points de
départ et d"arrivée et différents paramètres de la construction du graphe devront pouvoir être modifiés. Par
exemple, différentes topographies pourront être utilisées (collines, vallées, labyrinthes, ...), la valeur ded
pourra changer et le calcul du coût par arête pourra être choisi de manière à privilégier la distance, la pente,
ou les deux, en prenant par exemple une combinaison convexe de ces quantités dont la pondération pourra
être modifiée par l"utilisateur. Attention, la gestion de la mémoire devra être particulèrement soignée, pour
ne pas avoir à stocker des informations inutiles (matrices creuses ...).