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i) On définit f : [0,α0[ × ∆ → R+ par f (α, x, y) = exp (− (x2 + 2xy cos α + y2)) Le paramètre est α et les variables d'intégration sont x, y La fonction f est borélienne ,

Integrale d'une fonction : Exercices

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Integrale et aire

On considere la fonction anefdont la courbe ci-contre passe par les points A et B.

1) Determiner l'expression def(x).

2) En deduire une primitive F def.

3) a) Determiner l'integrale

Z 1

2f(x)dxa l'aide de F.

En deduire l'aire du domaine vert.

b) Determiner l'aire du domaine vert d'une autre facon.Integrale et aire On a trace la courbe d'une fonctionfdenie sur [-4;2].

Sur [-2;0], la courbe est un demi-cercle.

1) DeterminerZ

4f(x)dx, puisZ

2f(x)dx, puisZ

2 0 f(x)dx

2) En deduire

Z 2

4f(x)dxCalcul integral - Integrale d'un polyn^ome-xn

Calculer les integrales suivantes :

a)Z 2

12x5x21 dxb)Z

1 0 (1t2)(2 + 3t)dtc)Z 5 223
dxd)Z 3 11n dxIntegrale et primitive d'un quotient-u0u

Calculer les integrales suivantes :

a)Z 1

011 + 2xdxb)Z

16x2+ 4x1x

dxc)Z 1 0x

21 +x3dxd)Z

113t3t

2dtIntegrale et primitive avec des exponentielles ou des racines-u0eu-u0pu

Calculer les integrales suivantes :

a)Z 1 0 ex+6e

2xdxb)Z

1xex2dxc)Z

03p2x+ 1dxIntegrale et primitive d'un quotient-u0u

Calcul integral avec un quotient de polyn^ome :

1)Etudier suivant les valeurs du reelx, le signe dex2+ 2x+ 5.

2) En deduire la valeur deZ

2x+ 1x

2+ 2x+ 5dx1

Integrale et primitive

Calculer les integrales suivantes :

a)Z 2

4x1dxb)Z

512x+ 1dxc)Z

2e2t1dtd)Z

1 0x 2+x14 dx e) Z 1 1e xe x+ 1dxf)Z 3

01(2x+ 1)2dxg)Z

0sin(2x)dxh)Z

3 1t

22t+ 3t

dtIntegrale et aire On a trace la courbe de la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =1x

On a trace egalement les courbes des fonctionsgethdenies sur [0;+1[ parg(x) =x2eth(x) =x.1) Determiner l'aire du domaine rose.

2) Determiner l'aire du domaine bleu.

3) Determiner l'aire du domaine vert.2

Integrale et aire entre deux courbes

On a represente les courbes des fonctionsfetgdenies surRpar : f(x) = (1x)(x3) etg(x) = 2x3.Determiner l'aire de la surface hachuree.

Integrale et aire entre deux courbes

C fetCgsont les courbes representatives de deux fonctionsfetg denies surRparf(x) =x24 etg(x) = (x+ 2)2(x2). 1) Etudier la position relative de leurs courbes representatives.

2) En deduire l'aireAdu domaine en unite d'aire compris

entre les deux courbes sur l'intervalle [-2;2].Integrale et aire - fonction changeant de signe La courbeCrepresente dans un repere orthogonal, la fonctionf denie surRparf(x) =x22x3. Les unites graphiques sont :

1 cm sur l'axe des abscisses et 0.5 cm sur l'axe des ordonnees.

1) Etudier la position relative de la courbeCpar rapport a l'axe des abscisses.

2) En deduire l'aireAdu domaine en unite d'aire puis en cm2compris entre

la courbeC, l'axe des abscisses et les droites d'equationx=2 etx= 3.Integrale et aire - fonction changeant de signe

On considere la fonction denie surRparf(x) = (1x2)exdont on a trace la courbe ci-dessous :1) Determinera,betctels que la fonction denie surRpar

F(x) = (ax2+bx+c)exsoit une primitive def.

2) En deduire l'aire de la surface bleue.

3 Fonction denie par une integrale - signe d'une integrale On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonctionfdenie surR:x f142+11133 55111
0

On denit la fonctionFsurRparF(x) =Z

x 1 f(t)dt.

1) Determiner le tableau de variations de F.

2) Determiner le signe de l'integraleZ

3 1 f(t)dtet deZ 5 1 f(t)dt.

3) Determiner la limite de F en +1et en1.Signe d'une integrale

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e4x1 +e4x.

Pour tout reelx, on pose I(x) =Z

x 3 f(t)dt. Determiner le signe de I(x) en fonction dex, en justiant.Integrale - Aire nie ou innie?

En voyant cette courbe representative d'une fonction :Ltitia arme que : "Si la fonction representee tend vers 0 en +1alors l'aire hachuree sous la courbe sur [1;+1[ est nie".

Antoine lui repond : "M^eme si cette fonction tend vers 0 en +1, la longueur de l'intervalle [1;+1[ etant innie, l'aire

hachuree ne peut pas ^etre nie". A l'aide de deux exemples, justier qu'ils ont tort tous les deux.Fonction connaissant une primitive

Soitfune fonction denie [-2;5] etFune primitive def. On a trace la courbe deFci-dessous :1) Determiner le tableau de signe defsur [-2;5].

2) Determiner la valeur de l'integraleZ

3 1 f(x)dx.Comparer des integrales 4 On a trace ci-dessous la courbe d'une fonctionfdenie surR.1) Comparer les integrales Z 1 0 f(x) dxetZ 2 1 f(x) dx.

2) Comparer les integrales

Z 0

2f(x) dxetZ

2 0 f(x) dx.

3) Encadrer l'integrale

Z 2

1f(x) dx.5

Encadrer une integrale

On a trace ci-dessous la courbe d'une fonctionfdenie surR.Determiner un encadrement de l'integrale Z 4 1 f(x) dx.Fonction denie par une integrale

On considere la fonction denie surRparg(x) =Z

111 +t2dt.

1) Justier quegest bien denie surR.

2) Determiner le tableau de variations deg.

3) Determiner le tableau de signe deg(x).

4) Demontrer que pour toutx1,g(x)1.

5) Demontrer que l'inegalite du 4) reste vraie pourx1.QCM Integrale

fest une fonction continue surR. Dire si les armations suivantes sont vraies ou fausses en justiant : a)Z 1 2 f(x) dx=Z 2 1 f(x) dx b) Si Z 1 0 f(x) dx=Z 1 0 g(x) dxalors pour toutx2[0;1],f(x) =g(x). c) Si Z 1

1f(x) dx= 0 alors pour toutx2[1;1],f(x) = 0.

d) Sifest positive sur [2;3] alorsZ 3 2 f(x) dx0. e) Si Z 3 2 f(x) dx0 alors pour toutx2[2;3],f(x)0. f) Z 3 2 f0(x)f(x) dx=F(3)F(2) ouF=f2.6 Fonction denie par une integrale - derivee - variations

On considere la fonctiongdenie parg(x) =Z

1t1 +t2dt.

Dire si les armations suivantes sont vraies ou fausses en justiant : a) La fonctiongest denie surR. b)g0(1) = 0 c)g(1) = 0 d)gest croissante surR. e)g(x) =12 ln(x2+ 1).Inegalite et integrale

1) Demontrer que pour toutx1,12x1x+px

12 px

2) En deduire un encadrement de l'integrale :

Z 3

21x+px

dxInegalite et integrale - encadrement delnx

1) Demontrer que pour tout reelt1,1t

21t
1pt

2) En deduire que pour tout reelx1, 11x

lnx2px2.

3) En deduire un encadrement de ln2. Verier la coherence du resultat a l'aide d'une calculatrice.Inegalite et integrale - encadrement deln2

1) Demontrer que pour toutt0, 1t11 +t1t+t2.

2) En deduire que pour reelx0,xx22

ln(1 +x)xx22 +x33quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Integrale d'une fonction : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

Integrale et aire

1) Determiner l'expression def(x).

2) En deduire une primitive F def.

3) a) Determiner l'integrale

2f(x)dxa l'aide de F.

En deduire l'aire du domaine vert.

Sur [-2;0], la courbe est un demi-cercle.

1) DeterminerZ

4f(x)dx, puisZ

2f(x)dx, puisZ

2) En deduire

4f(x)dxCalcul integral - Integrale d'un polyn^ome-xn

Calculer les integrales suivantes :

12x5x21 dxb)Z

Calculer les integrales suivantes :

011 + 2xdxb)Z

16x2+ 4x1x

21 +x3dxd)Z

113t3t

2dtIntegrale et primitive avec des exponentielles ou des racines-u0eu-u0pu

Calculer les integrales suivantes :

2xdxb)Z

1xex2dxc)Z

03p2x+ 1dxIntegrale et primitive d'un quotient-u0u

Calcul integral avec un quotient de polyn^ome :

1)Etudier suivant les valeurs du reelx, le signe dex2+ 2x+ 5.

2) En deduire la valeur deZ

2x+ 1x

2+ 2x+ 5dx1

Integrale et primitive

Calculer les integrales suivantes :

4x1dxb)Z

512x+ 1dxc)Z

2e2t1dtd)Z

01(2x+ 1)2dxg)Z

0sin(2x)dxh)Z

22t+ 3t

2) Determiner l'aire du domaine bleu.

3) Determiner l'aire du domaine vert.2

Integrale et aire entre deux courbes

Integrale et aire entre deux courbes

2) En deduire l'aireAdu domaine en unite d'aire compris

1 cm sur l'axe des abscisses et 0.5 cm sur l'axe des ordonnees.

2) En deduire l'aireAdu domaine en unite d'aire puis en cm2compris entre

F(x) = (ax2+bx+c)exsoit une primitive def.

2) En deduire l'aire de la surface bleue.

On denit la fonctionFsurRparF(x) =Z

1) Determiner le tableau de variations de F.

2) Determiner le signe de l'integraleZ

3) Determiner la limite de F en +1et en1.Signe d'une integrale

Pour tout reelx, on pose I(x) =Z

2) Determiner la valeur de l'integraleZ

2) Comparer les integrales

2f(x) dxetZ

3) Encadrer l'integrale

1f(x) dx.5

Encadrer une integrale

On considere la fonction denie surRparg(x) =Z

111 +t2dt.

1) Justier quegest bien denie surR.

2) Determiner le tableau de variations deg.

3) Determiner le tableau de signe deg(x).

4) Demontrer que pour toutx1,g(x)1.

5) Demontrer que l'inegalite du 4) reste vraie pourx1.QCM Integrale

1f(x) dx= 0 alors pour toutx2[1;1],f(x) = 0.

On considere la fonctiongdenie parg(x) =Z

1t1 +t2dt.

1) Demontrer que pour toutx1,12x1x+px

2) En deduire un encadrement de l'integrale :

21x+px

1) Demontrer que pour tout reelt1,1t

2) En deduire que pour tout reelx1, 11x

3) En deduire un encadrement de ln2. Verier la coherence du resultat a l'aide d'une calculatrice.Inegalite et integrale - encadrement deln2

1) Demontrer que pour toutt0, 1t11 +t1t+t2.

2) En deduire que pour reelx0,xx22