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(b) (1 point) Rappeler la formule de quadrature par la méthode de Simpson pour une soit une formule d'intégration numérique exacte pour les polynômes de 

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Intégration 21 Exercices Ce polycopié constitue les corrigés de TD de Méthodes Numériques de Base du département Mécanique (1) L' approximation de l'intégrale par la méthode des trapèzes composite (voir tableau A 4) est IT N = h

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Figure 5 3 – Méthode composite de Simpson (p = 2) pour m = 3 intervalles (c'est à dire n = 6 sous- intervalles et n +1=7 points au total) À nouveau, l'erreur est 

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Intégration numérique Exercice 6 Déterminer par la méthode des trap`ezes puis par celle de Simpson ∫ π 2 0 f(x)dx sur la base du tableau suivant : x 0 π 8

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Intégration numérique Le but de ce Proposition 1 - La valeur approchée de l' intégrale de f sur I par la méthode des rectangles MÉTHODE DES TRAPÈZES

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On définit, pour toute fonction f continue sur [−1,1], la méthode d'intégration numérique T de la façon suivante : T(f) = λ1f(x1) + λ2f(x2) 1 Montrer que T est exacte 

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Les formules de Newton-Cotes ont un degré de précision n + 1 si n est pair Exercice 23 (Formule composite des trapèzes) La méthode pour obtenir une formule 

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cos(x)dx = sin(2) par la méthode des trap`ezes et de Simpson Calculer l'erreur EN pour N ∈ 12, 22, , 210l pour les méthodes des trap`ezes et de Simpson et

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Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Analyse Num´erique

Corrig´e du TD 4EXERCICE 1

Formule des trap`ezes

a. Dans la formule suivante a+h a f(x)dx≈αf(a) +βf(a+h),(1.1) d´eterminerαetβpour que la formule soit exacte pour des polynˆomes de

Calcul deαetβ

On a?a+h

a

1dx=h=α+β ,

a+h a xdx=h22 +ah=αa+β(a+h).

Ce qui conduit au syst`eme lin´eaire suivant

?α+β=h aα+ (a+h)β=h22 +ah

D"o`u on tire

α=β=h2

,(1.2)

RemarqueOn a

a+h a x2dx=(a+h)33 -a33 =13 h3+ 3ah2+ 3a2h? ?=h2 (a+h)2+a2? ,pourh?= 0, qui montre que la formule de quadrature (1.1) est d"ordre 1. etq(a+h) =f(a+h). Construireq. En approchantfparqsur[a,a+h], donner une approximation de?a+h af(x)dx. 1

Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Construction deq Le polynˆome d"interpolation de Lagrangeqde degr´e 1 est l"´equation de la droite passant par les points? a,f(a)? et? a+h,f(a+h)? , donc q(x) =f(a) +f(a+h)-f(a)h (x-a). Approximation de l"int´egration ´el´ementaire Comme la formule de quadrature (1.1) soit exacte pour le polynˆomeq, on a a+h a f(x)dx≈? a+h a q(x)dx=h2 q(a) +q(a+h)? c. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. Estimation de l"erreur d"int´egration ´el´ementaire La fonctionqest le polynˆome d"interpolation de Lagrange defaux pointsa,a+h. Sif? C2([a,a+h]) alors il existeξ?]a,a+h[ tel que f(x) =q(x) +(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ). Donc a+h a f(x)dx-h2 f(a) +f(a+h)? a+h a f(x)-q(x)dx a+h a(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ)dx.

Ce qui implique

a+h a a+h a? ??(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ)???dx a+h a(x-a)(x-a-h)2 dx =mh312 ,(1.3) o`um= supx?[a,a+h]???f??(x)???. d. Soit{xi}, i= 0,...,nune subdivision de l"intervalle[c,d]de pash. Utiliser la formule des trap`ezes sur chaque intervalle[xi,xi+1]pour approcher?d cf(x)dx. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. 2

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Formule d"int´egration compos´ee

Par la formule deChasleson a

d c f(x)dx=n-1? i=0? xi+1 x if(x)dx≈n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? =h?f(c) +f(d)2 +n-2? i=1f(xi)? Estimation de l"erreur d"int´egration compos´ee On a d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? =n-1? i=0? xi+1 x i(f(x)-qi(x))dx, avecqile polynˆome d"interpolation de Lagrange defsur [xi,xi+1],i= 0,..,n-1. Grˆace `a (1.3) on d´eduit d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? i=0h 32
mi, o`umi= supx?[xi,xi+1]???f??(x)???. Ce qui implique d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? i=0h 312
nhh2=M12 (d-c)h2,(1.4) avecM= supx?[c,d]???f??(x)???. La convergence de la m´ethode des trap`ezes compos´ee est quadratique. En fonction du nombrend"intervalles de la subdivision, la majoration (1.4) s"´ecrit : d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? (d-c)3n

2.(1.5)

e. Soitε= 10-1,10-2,10-8,trouvernpour que cette formule de quadrature approche?3

0sin(x)e-x2dxavec une pr´ecisionε.

Nombre de points mimimum pour satisfaire une tol´eranceεdonn´ee f(x) = sin(x)e-x2sur [0,3].

On af?(x) =?

cos(x)-2xsin(x)? e -x2,f??(x) =? -sin(x)-2sin(x)-2xcos(x)-

2xcos(x)+4x2sin(x)?

e -x2=? -3sin(x)-4xcos(x)+4x2sin(x)? e -x2=? (4x2-3)sin(x)-

4xcos(x)?

e -x2. 3

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On trouve finalement

d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? 3 3n qui donne n

2≥15×334

ε-1=4054

ε-1i.e. n≥⎷405ε-12

D"o`u •ε= 0.1?n≥31.819805?n≥32. •ε= 0.01?n≥100.62306?n≥101. •ε= 10-8?n≥100623.06?n≥100624.EXERCICE 2

Formule du point milieu

a. D´eterminer la formule de quadrature suivante b a f(x)dx≈αf(a+b2 pour qu"elle soit exacte pour des polynˆomes de degr´e le plus haut possible. On a ?b a

1dx=b-a=α×1,

b a xdx=b2-a22 = (b-a)b+a2 b a x2dx=b3-a33 ?= (b-a)?b+a2

2,poura?=b.

b. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. Soitple polynˆome de degr´e 1 qui interpolefau point (a+b)/2 (point indispensable) et qui interpolef?au point (a+b)/2 par exemple (c"est un choix). Cela signifie quepest le polynˆome d"interpolation de Hermite de degr´e 1 defau point (a+b)/2. 4

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009D"une part, on a b a f(x)dx≈? b a p(x)dx= (b-a)p?a+b2 = (b-a)p?a+b2 D"autre part, sif? C2([a,b]) alors il existeξ?]a,b[ tel que f(x) =p(x) +? x-a+b2 22
f??(ξ). On a b a b a? x-a+b2 22
f??(ξ)???dx 12 m? b a? x-a+b2 2 dx,(2.1) o`um= supx?[a,b]???f??(x)???. L"int´egrale peut se calculer de la mani`ere suivante : b a? x-a+b2 2 dx=?b-a2 -b-a2 y 2dy = 2 ?b-a2 0y2dyquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9