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a) Montrer que le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f aux Écrire l'approximation de Lagrange de degré 1, fn de f sur chaque intervalle [xi 

[PDF] Interpolation Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Écrire le système linéaire qui définit le polynôme d'interpolation de degré 3 h pour que l'interpolation de Lagrange à 3 points donne une approximation de f à 

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Remarque : C'est un bon exercice ici, maintenant que vous avez du recul d' essayer les différentes façons de calculer un polynôme d'interpolation Calculer les 

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Déterminer le polynôme d'interpolation de Lagrange satisfaisant au tableau ci- Corrigé : I = ∫ π 2 0 f(x)dx 1 Soit T l'approximation de I par la méthode des 

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d) Obtenir des approximations de f(1,5) à l'aide des 2 polynômes obtenus en a) et en b) 1 Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : pn(x) = n

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Exercices corrigés NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durant les séances de cours Chapitre 3 : Approximation de fonctions Méthode des 26 ) Calculer le polynôme d'interpolation L passant par ces trois points 14  

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Lien vers les énoncés des exercices: https://www deleze name/marcel/sec2/ applmaths/csud/interpolation/3-Approximation pdf Corrigé de l'exercice 3 1-1 f[t _] :=

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Calculer l'erreur commise en interpolant la fonction f(t) = tn, définie sur l'intervalle [0,1], en les points ti = i/n, i = 0,1, ,n, `a l'aide du polynôme d'interpolation de 

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Proposition de corrigé du TD 3 EXERCICE 1 Interpolation de Lagrange Soit x0, x1, , xn, n + 1 points distincts a Soit (Li)i=0,n n + 1 fonctions de Pn vérifiant 

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2 juil 2010 · Exercice ‚ : interpolation de Lagrange [3 pt] Newton avec x0 = 2 pour l' approximation du zéro de la fonction f(x) = x2 − 2 2 Soit f une 

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UniversitéClaudeBernard,Ly on1LicenceSciences &Technologies

43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalysenumériqueL3- Automne2015

Séried'exercices n

o 5/6

Interpolationpolynomiale

Exercice1.FormuledesDiffér encesDivisées(Un Classique) Noussupposonsque f:[a,b]!Restunefonction n+1foiscontinûmentdif férentiable.La formuledeNe wtonquiconsiste àécrirelepolynômeP n auxpointsx 0 ,...,x n souslaforme P n (x)=a 0 +a 1 (x"x 0 )+...+a n (x"x 0 )...(x"x n!1 permetdeconstruire lepolynôme P n

àl'aided'une récurrence.En effet,

P n (x)=P n!1 (x)+a n n!1 k=0 (x"x k

Autrementdit,connaissant P

n!1 ,ilsuf fitdecalculer a n pourconnaîtreP n a)Montrerquele polynômed'interpolation deLagrangede lafonctionfauxpointsdistincts (x i 1"i"n estdonnépar P n (x)= n i=0 f[x 0 ,...,x i i!1 k=0 (x"x k oùf[.]désignelesdif férencesdivisées defdéfiniespar f[x i ]=f(x i f[x 0 ,...,x k 1 x k "x 0 (f[x 1 ,...,x i ]"f[x 0 ,...,x i!1 pourtouti=0,...,n.

Montrerensuiteque f[x

0 ,...,x n ]estinv ariantparpermutations. b)Montrerqu'ile xiste!#[a,b]telque f[x 0 ,...,x n f (n) n! c)Montrerque |P"n(x)"f(x)|$ M n+1 (n+1)! n (x)|, 1 où M n+1 =max a"x"b |f (n+1) (x)|,et" n (x)= i!1 i=0 (x"x i N.B.:Remarquons bieniciquel'estimationn'est pasforcémentquelque chosedepetit (voirPhé- nomènedeRunge).

Application.

Trouverl'interpolationdeLagrangedelafonction x!f(x)=sin("x/2)auxpointsx 0 =0, x 1 =1etx 2 =2.Puisà l'aidedesquestions précédentesétablirune estimationd'erreur. Exercice2.Convergencedel'interpolatiodeLagrange SoitL n lepolynômed'interpolation de

Lagrangedela fonction

f(x)= 1 x"# ,"1$x$1, auxn+1pointsdistinctsx 0 ,...,x n del'intervalle ["1,1].

1.Calculerlesdéri véessuccessi vesdelafonctionf.

2.Montrerques i#>3,etsi lesn+1pointsx

0 ,...,x n sontéquidistants,nous av onsalors lim n#+$ %f"L n =0.

3.Considéronstoujours lafonctionf

f(x)= 1 x"# ,"1$x$1, auxn+1pointsdistinctsx 0 ,...,x n équidistantsdel'interv alle["1,1].Dansla pratique nousn'agissonspas dutoutcomm ecequi précède.Nouspréférons utiliserdespolynômes dedegré peuélevésurchaquepetit intervalle[x i ,x i+1 Écrirel'approximationde Lagrangede degré1, f n defsurchaqueinterv alle[x i ,x i+1 i=0,...,n"1

4.Montrerquesi #&=["1,1],nousa vons

%f"L n c n 2 etdoncque f n convergeuniformémentversflorsquentendvers l'infini.

Exercice3.InterpolationP olynomialedeHermite

Soientx

0 ,...,x n ,n+1pointsdistincts del'intervalle[a,b],(a,b#R,aNouscherchonsun polynômeH n dedegré minimaltelque H n (x i )=f(x i )etH n (x i )=f (x i ),i=0,...,n. 2 Nousrappelonsque lesfonctionsde basede l'interpolationdeLagrange, c'estàdire lespolynômes dede gréntelsque l i (x j ij pouri,j=0,...,nsontdonnéspour touti=0,...,npar l i (x)= n j=0 j!=i x"x j x i "x j ,pourtoutx#R.

Nousallonsmontrer lerésultatsui vant:

"LepolynômeH n s'écrit H n (x)= n i=0 f(x i )hquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10