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UniversitéClaudeBernard,Ly on1LicenceSciences &Technologies

43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalysenumériqueL3- Automne2015

Séried'exercices n

o 5/6

Interpolationpolynomiale

Exercice1.FormuledesDiffér encesDivisées(Un Classique) Noussupposonsque f:[a,b]!Restunefonction n+1foiscontinûmentdif férentiable.La formuledeNe wtonquiconsiste àécrirelepolynômeP n auxpointsx 0 ,...,x n souslaforme P n (x)=a 0 +a 1 (x"x 0 )+...+a n (x"x 0 )...(x"x n!1 permetdeconstruire lepolynôme P n

àl'aided'une récurrence.En effet,

P n (x)=P n!1 (x)+a n n!1 k=0 (x"x k

Autrementdit,connaissant P

n!1 ,ilsuf fitdecalculer a n pourconnaîtreP n a)Montrerquele polynômed'interpolation deLagrangede lafonctionfauxpointsdistincts (x i 1"i"n estdonnépar P n (x)= n i=0 f[x 0 ,...,x i i!1 k=0 (x"x k oùf[.]désignelesdif férencesdivisées defdéfiniespar f[x i ]=f(x i f[x 0 ,...,x k 1 x k "x 0 (f[x 1 ,...,x i ]"f[x 0 ,...,x i!1 pourtouti=0,...,n.

Montrerensuiteque f[x

0 ,...,x n ]estinv ariantparpermutations. b)Montrerqu'ile xiste!#[a,b]telque f[x 0 ,...,x n f (n) n! c)Montrerque |P"n(x)"f(x)|$ M n+1 (n+1)! n (x)|, 1 où M n+1 =max a"x"b |f (n+1) (x)|,et" n (x)= i!1 i=0 (x"x i N.B.:Remarquons bieniciquel'estimationn'est pasforcémentquelque chosedepetit (voirPhé- nomènedeRunge).

Application.

Trouverl'interpolationdeLagrangedelafonction x!f(x)=sin("x/2)auxpointsx 0 =0, x 1 =1etx 2 =2.Puisà l'aidedesquestions précédentesétablirune estimationd'erreur. Exercice2.Convergencedel'interpolatiodeLagrange SoitL n lepolynômed'interpolation de

Lagrangedela fonction

f(x)= 1 x"# ,"1$x$1, auxn+1pointsdistinctsx 0 ,...,x n del'intervalle ["1,1].

1.Calculerlesdéri véessuccessi vesdelafonctionf.

2.Montrerques i#>3,etsi lesn+1pointsx

0 ,...,x n sontéquidistants,nous av onsalors lim n#+$ %f"L n =0.

3.Considéronstoujours lafonctionf

f(x)= 1 x"# ,"1$x$1, auxn+1pointsdistinctsx 0 ,...,x n équidistantsdel'interv alle["1,1].Dansla pratique nousn'agissonspas dutoutcomm ecequi précède.Nouspréférons utiliserdespolynômes dedegré peuélevésurchaquepetit intervalle[x i ,x i+1 Écrirel'approximationde Lagrangede degré1, f n defsurchaqueinterv alle[x i ,x i+1 i=0,...,n"1

4.Montrerquesi #&=["1,1],nousa vons

%f"L n c n 2 etdoncque f n convergeuniformémentversflorsquentendvers l'infini.

Exercice3.InterpolationP olynomialedeHermite

Soientx

0 ,...,x n ,n+1pointsdistincts del'intervalle[a,b],(a,b#R,aNouscherchonsun polynômeH n dedegré minimaltelque H n (x i )=f(x i )etH n (x i )=f (x i ),i=0,...,n. 2 Nousrappelonsque lesfonctionsde basede l'interpolationdeLagrange, c'estàdire lespolynômes dede gréntelsque l i (x j ij pouri,j=0,...,nsontdonnéspour touti=0,...,npar l i (x)= n j=0 j!=i x"x j x i "x j ,pourtoutx#R.

Nousallonsmontrer lerésultatsui vant:

"LepolynômeH n s'écrit H n (x)= n i=0 f(x i )h i (x)+ n i=0 f (x i h i (x) avec h i (x)=(1"2)l i (x i )(x"x i ))l 2 i (x),et h i (x)=(x"x i )l 2 i (x).

Deplus,si f#C

2(n+1)

([a,b],R) |f(x)"H n (x)|$ %f (2(n+1)) (2n+2)! n i=0 (x"x i 2

1.Montrerque pouri,j=0,...,n

h i (x j i,j ,h i (x j )=0, et h i (x j )=0, h i (x j i,j

2.Endéduirequ'il existe ununiquepolynôme H

n dedegré 2n+1vérifiantlesconditions requises.

3.Endéduire unemajoration del'erreur|f(x)"H

n (x)|.

Exercice4.Moindrecarrésdiscrets

Nousrappelonstout d'abordlethéorème delaprojection surunsous-espace vectoriel : "SoientFunsous-espace vectorieldeR n+1 ety#R n+1 .Alors ilexisteununiquev #Ftelque %v "y%=min v'F %v"y%.

Deplus,v

estlapr ojectionorthogonale deysurl'espaceF:v =P F yesttelleque (v "y,v)=0,v#F."

Objectifde l'exercice :soient%

1 (x)=1et% 2 (x)=xet% 3 (x)=x 2 .Nousr echerchonsle polynômedede gré2quiapprochele mieuxlenuage depoints(x i ,y i 1"i"4 suivant: ("1,1),(0,0),(1,1),(2,2).

Autrementdit,nous souhaitonstrouver %

#V:=vect(% 1 2 3 )telleque 3 4 i=1 (x i )"y i 2 =min !'V 4 i=1 (x i )"y i 2

1.Tracerlenuagede points.

2.Écrirelepo lynôme%(x)=

3 j=1 u j j (x)etexpliciter leproblèmesouslaforme: "trouverv #Fsolutionde %v "y%=min v'F %v"y%,oùy=(y 1 ,...,y 4 T ,etF={v#R 4 ,v=Bu,u#R 3

3.Montrerquec eproblèmeadmet unesolutionuniquev

#F.

4.Montrerques iv

#Festsolution,alors ilexiste ununiqueu #R 3 solutionde B T Bu=B T Y.

5.Montrerque Bestderang 3.Endéduire alorsque B

Bestdéfiniepositi ve.

6.Expliciterlasolutionduproblème.

Exercice5.PolynômedeChebyche v

Soitn#N,nousdéfinissons lepolynômede Chebychevde premièreespècepar T n (x)=cos(narccos(x)),x#["1,1].

1.Montrerquele sfonctionsT

n satisfontlaformule derécurrence T 0 (x)=1,T 1 (x)=x, T n+1 (x)=2xT n (x)"T n!1 (x).

2.Montrerensuiteque lespolynômesT

n (x)sontorthogonauxpar rapportà lafonctionpoids (1"x 2 !1/2 1 !1 T n (x"T m (x)) dx (1"x 2 !1/2 ,sin=m=0, /2,sin=m&=0,

0,sin&=m.

3.MontrerqueT

n (x)estunpolynôme dede gréndontlecoef ficientdex n est2 n!1

4.Nousposonst

n (x)=2 1!n T n (x),y k =cos( k n ),k=0,...,n,calculert n (y k

5.Soientx

1 ,...,x n ,npointsquelconquesde["1,1].Nousposonsw n (x)=(x"x 1 )...(x"x n

Supposonsparl'absurde que%w

n <%tquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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