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Interpolation polynomiale 1 Interpolation de Lagrange 1 1 Base de Lagrange Soit x0, x1, ,xn n + 1 réels donnés distincts On définit n + 1 polynômes li pour i
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(a) Carl Runge(1856- 1927), mathématicien et physicien allemand, montre quel' interpolation polynomiale de Lagrange peut diverger, même avec des fonctions
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But : prédire la fonction f(x) pour les valeurs x o`u on ne dispose pas de mesures ▻ Interpolation polynômiale globale: interpolée de Lagrange TOUTES les
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´Equipé du merveilleux Théor`eme de Runge, choisissons la fonction f(x) = sin x sur l'intervalle [0, 5] Cette fonction n'a aucun pôle fini, donc la convergence du
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5 1 – polynôme d'interpolation 2 Page 3 Lorsque les fi sont les valeurs d'une certaine fonction f aux points xi, on parle de pn comme de l'interpolant d f et on la
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base générale base polynomiale simple Une fonction d'interpolation est toujours proposée comme une 'décomposition' sur une base connue de fonctions base
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Théorème 1 Une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un et un seul P ∈ Pn qui interpole f est que les abscisses d'interpolation xi soient toutes
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c'est l'extrapolation On cherche f sous forme d'un polynôme passant par les n points, donc de degré n-1 Méthode naïve : On écrit que le polynôme passe par
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Chapitre2
Interpolationpolynomiale
2.1Motiv ations
Enan alysenum´erique,unefonct ionfinconnueexplicitementestsouv ent -connueseulementencertainspointsx 0 ,x 1 ,...,x dMaisdansde nombreuxcas,on abesoi nd'e
ectuerdesop´ erations(d´er ivation,int´egration, ...)su rlafonction f. Onc herchedonc`areconstru irefparuneautr efo nctionf r simpleetfacile` a´eval uer`apartir desdonn´e esdiscr`etesdef.Onesp`erequelemod`elef r nes erapastrop´el oign´e delafonction fauxautr espoints.1-0.500.51
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Ons' int´eressedanscecours`alareconstruc tiondefpardespo lynˆome s.Pourquoilespolynˆomes?
1.Th ´eor`emed'approximationdeWeier strass:pourtoutefonctionfd´efinieetcontinuesur
l'intervalle[a,b]etpourtout!>0,il existe unpolynˆomeptelque !x"[a,b],|f(x)#p(x)|2.L asimpl icit´edel'´evaluationd'unpolynˆomeparl esch´ema deH ¨or ner : n j=0 c j x j (c n x+c n!1 )x+c n!2 x+...c 1 x+c 0 Pluspr´ecis´ ement,´etantdonn´esd+1pointsd'abscissesdistinctesM i =(a i ,f i ),i=0,1,...,d danslepla n,leprobl `emedel'interpolationpolynomialeconsiste`atrouverunpol ynˆome de degr´einf´erieurou ´egal`amdontlegraphe passepar lesd+1pointsM i ,c'est-`a-dire trouverp"P m telquep(a i )=f i ,!i=0,1,...,d.(2.1) 102.2Exist encedel'interpolantetsa for medeLagrange
2.2.1Introdu ction
2points:d=1
Naturellement,leprobl`emedetrouverun poly nˆomededegr´ein f´er ieu rou ´ega l`a 1do nt le
graphepassepar2p ointsM 0 =(a 0 ,f 0 )etM 1 =(a 1 ,f 1 )d'abscissesdi