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confiance On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p dans la programmes (résumé) : Interv de fluctuation Interv de confiance Seconde

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comparaison Confiance Th éorie approximation 1,96 ? intervalle ? Estimation Term 3 Intervalle de fluctuation : dans les programmes 1 en Seconde : si n ≥ 

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de l'intervalle de confiance recherché Les paramètres inconnus à estimer seront successivement la moyenne, la variance, la proportion d'une population

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L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 d'une fréquence d'un échantillon de 95 des intervalles de confiance associés aux échantillons de taille n 2) Le candidat A commande un second sondage effectué sur 1000 personnes pour

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De la seconde à la terminale 0 0,1 0,2 0,3 Intervalle de confiance = estimation de p La problématique des intervalles de fluctuation et de confiance 0 0,1

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21 jui 2019 · Intervalle de confiance à 95 pour la pelle de 25 alvéoles intervalle “seconde” : ]-0,018 ;0 381[ : ie ]0 ;9,52[ 1,96 √ p(1−p) n = 0 1511923

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en premi`ere lecture mais elle sera claire lors de la seconde Voici `a présent la définition mathématique d'un intervalle de confiance telle qu'on peut la

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d'hypothèse et d'intervalle de confiance La seconde, qui perdure aujourd'hui, a été rendue possible grâce à la puissance de calcul des ordinateurs et à la 

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Un intervalle de confiance au seuil de 95 , relatif aux échantillons de taille n, est un intervalle Dans une classe de seconde, on constate qu'il y a 12 garçons 

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C'est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 1 96 1 1 96 1 ⌈ Si on calcule l'intervalle de confiance précédent pour 100 (Math'X seconde) Intervalle 

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Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.1

Estimation:

intervalle de fluctuation et de confiance

Mars 2012

IREM: groupe Proba-Stat

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.2

Intervalle de fluctuation

connu: probabilit

´ep, taille de l'´echantillonn

but :estimer une fr´equencef`a partir d'une probabilit´e construire un intervalle`a l'aide de la probabilit´e p •centr´e •contenant les fr´equences observ´ees`a 95% (0,95est appell´e le seuil; parfois s=1-αavecαappell´e le risque) exemple :Un joueur qui doit choisir au hasard une carte dans un jeu de32cartes obtient certains avantages s'il d´ecouvre un roi.

On constate qu'il a retourn

´e11fois un roi sur50essais.

Peut-on pr

´esumer, au risque de5%, que ce joueur est un tricheur? notion de test

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.3

Intervalle de fluctuation : dans les programmes

la fr

´equence observ´ee

f?? p-1⎷n;p+1⎷n? avec une probabilit´e d'au moins0,95

2en Terminalesin≥30,np>5,n(1-p)>5,

f?? p-1,96?p(1-p)⎷n;p+1,96? p(1-p)⎷n? avec une probabilit´e de 0,95

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.4

Intervalle de fluctuation : lien 2nd - Terminale

On approxime

•1,96?2

Pour simplifier, en seconde,

Est ce vraiment valable ?

p0,10,20,30,40,50,60,70,80,9 d0,590,780,90,960,980,960,90,780,59 avecd=1,96?p(1-p)

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.4

Intervalle de fluctuation : lien 2nd - Terminale

On approxime

•1,96?2

Pour simplifier, en seconde,

En seconde, l'intervalle est plus largeque celui de terminale qui est l'intervalle th

´eorique

s=0,95 Term

2ndc'est pour cela qu'apparaˆıt "au moins" en seconde

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.5

Intervalle de confiance

connu: fr

´equencef, taille de l'´echantillonn

but :estimer une probablit´e`a partir des observations construire un intervalle`a l'aide la fr´equence fcontenant la probabilit

´e ou la proportion inconnuep`a 95%

(avec un niveau de confiance de 95%) en Terminale p?? f-1⎷n;f+1⎷n?avec une probabilit´e d'au moins0,95 on fait les m

ˆeme approximations qu'en classe de seconde

exemple :Un sondage dans une commune r´ev`ele que sur les500 personnes interrog ´ees,42%sont m´econtentes de l'organisation des transport.

On veut d

´eterminer, au seuil d'au moins95%, un intervalle de confiance du pourcentage p de personnes m

´econtentes dans la

commune.

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.6

Approximation de la loi Binomiale par une loi normale ffr´equence observ´ee-→Fnvariable al´eatoire associ´ee •Fn=XnnavecXnsuit une loiB(n,p)

Avec le

th´eor`eme de Moivre Laplace: quandndevient grand la loi binomialeB(n,p)s'approche d'une loi normaleN(m;σ)o`u m=E(Xn) =npetσ=?Var(Xn) =?np(1-p) Dans la pratique, on consid`ere que l'approximation est bonne lorsque n≥30np≥5np(1-p)>5

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.6

Approximation de la loi Binomiale par une loi normale ffr´equence observ´ee-→Fnvariable al´eatoire associ´ee •Fn=XnnavecXnsuit une loiB(n,p)

Avec le

th´eor`eme de Moivre Laplace: quandndevient grand la loi binomialeB(n,p)s'approche d'une loi normaleN(m;σ)o`u m=E(Xn) =npetσ=?Var(Xn) =?np(1-p)

Apr`es normalisation,

•Xn-np?np(1-p)suit une loi normaleN(0;1) •Xn-np?np(1-p)=nX n n-p?np(1-p)=X n n-p?p(1-p)/⎷n

Fn-p?p(1-p)/⎷n=Znsuit une loi normaleN(0;1)

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.7

Pourquoi 1,96 ?

Π(t)

t

2Π(t)-1

-tt d'o`uΠ(t) =s+1

2=0,95+12=0,975

Par lecture sur la table ou avec la calculatrice

,t=1,96

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.8

D´etermination de l'intervalle

on remplaceZn=Fn-p?p(1-p)/⎷ndans •si on connaˆıt la probabilit´ep, on isole la (v.a associ

´ee) fr´equenceFn:

p(1-p)⎷n) =0,95] intervalle de fluctuation •si on connaˆıt une fr´equence de l'´echantillonf, intervalle de confiance

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.8

D´etermination de l'intervalle

on remplaceZn=Fn-p?p(1-p)/⎷ndans •si on connaˆıt la probabilit´ep, intervalle de fluctuation •si on connaˆıt une fr´equence de l'´echantillonf, •on remplace?p(1-p)par?f(1-f) ce qui est valable th

´eoriquement

•on isole la probabilit´ep:

P(-f-1,96?

f(1-f)⎷n) =0,95 f(1-f)⎷n) =0,95 =?intervalle de confiancequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1