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Chap 10 :?
Transformations du plan
et de l"espace Les définitions et propriétés sontvalidesaussi biendans le planque dans l"espace.I. Définitions
Définition 1 :On appelletransformationdu plan(ou de l"espace)toute fonction bijective du plan (ou de l"espace), c"est-à-direquetoutpointduplan(oudel"espace) possèdeunetunseulantécédentpar cette fonction. Remarque :Une projection sur une droite du plan n"est pas une transformationdu plan.Définition 2 :Sifest une transformation du plan (ou de l"espace), latransformation réciproquede
fest la transformationnotéef-1qui, à tout point du plan (ou de l"espace), associe son unique antécédent parf. M ?=f(M)??M=f-1(M?). Voici les caractéristiquesde quelques transformationsduplan et de l"espace :1) Translations
Définition 3 :Soit-→uunvecteur du plan.Latranslation de vecteur-→uest la transformationdu plan (ou de l"espace)notéet-→udéfiniepar : M ?=t-→u(M)??---→MM?=-→u. -→uMM
Remarque :La translationde vecteur nult-→0est l"application identitéId:M?→M. Proposition 1 :SiM?=t-→u(M) etN?=t-→u(N) alors----→M?N?=--→MN. -→démonstration Théorème 1 :La transformationréciproque det-→uestt--→u. -→démonstrationPage 1/5
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2) Homothétie
Définition 4 :SoitΩun point du plan et soitk?R?. L"homothétie de centreΩet de rapport kest la transformationdu plan(ou de l"espace) notéehΩ;kdéfinie par : M pourk>0 :MM
pourk<0 : M M Remarque :hΩ;1=Idc"est-à-dire la transformationqui ne change rien. Proposition 2 :SiM?=hΩ;k(M) etN?=hΩ;k(N) alorsM?N?=k--→MN.
M M?NN
-→démonstration Théorème 2 :La transformationréciproque dehΩ;kest :hΩ;1 k.3) Rotationset réflexions dansle plan(HP)
ATTENTION: les rotations sont des transformationsduplan. Définition 5 :SoitΩun point du plan etθun nombre réel.On appelle
rotation de centreΩet d"angleθla transforma- tion du plan notéerΩ;θdéfinie par : M ?=rΩ;θ(M)???????ΩM?=ΩM et?---→ΩM;---→ΩM??MM
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Remarque :Lessymétries centralessont des rotations d"angleπ.Définition 6 :SoitΔune droite du plan.
On appelle
réflexiond"axeΔla transformationnotéesΔ définie par : M ?=sΔ(M)?????M ?=MsiMest surΔ ou bienΔest la médiatrice de [MM?]
MM
Proposition 3 :On peut déterminer les transformationsréciproques des rotations et réflexions :
La transformationréciproque derΩ;θest :rΩ;-θ. La transformationréciproque desΔest :sΔ. -→démonstration4) Points invariants
Définition 7 :On appellepoint invariantd"une transformationftout pointMdu plan(ou de l"espace) invariant parf, c"est-à-dire tel quef(M)=M.Proposition 4 :On sait déterminer les points invariants des transformationsdécrites au dessus :
Les translations,autres que Id, n"ont pas de points invariants. Les homothéties, autres que Id, n"ont qu"un seul point invariant : leur centreΩ. Les rotations, autres que Id, n"ont qu"un seul point invariant : leur centreΩ. Les réflexions ont pour point invariantstous les points de leur axeΔ. -→démonstrationPage 3/5
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II. Propriétés des translations etdes homothétiesDans cette partie on s"intéresse aux propriétés géométriques liées aux translations et aux homothéties.
Ainsi dans toute cette partiefdésigne une translationou une homothétie.1) Propriétés de conservation
Proposition 5 :conservation du barycentre
SoientG,AetBtrois points avecG=bar{(A,a),(B,b)}(eta+b?=0 ), G ?,A?etB?leurs images respectives parfalorsG?=bar??A?,a?,?B?,b??. -→démonstrationRemarque :La propriété est encore vraie pour un barycentre den(quelconque)points pondérés.
Remarque :fconserve notamment les milieux (car un milieu est un isobarycentre).Proposition 6 :conservation de l"alignement
Les images parfde trois points alignés sont trois points alignés. -→démonstration Proposition 7 :conservation des angles orientés SoientA,BetCtrois points d"images respectivesA?,B?etC?parf.Les angles orientés?--→AB;--→AC?
et?---→A?B?;---→A?C?? ont alors la même mesure. -→démonstrationPage 4/5
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2) Images defigures
Proposition 8 :Image d"un segment
L"image parfdu segment [AB] est le segment parallèle [A?B?] , oùA?=f(A) etB?=f(B) . -→démonstrationProposition 9 :Image d"une droite
L"image parfde la droite (AB) est la droite parallèle (A?B?) , oùA?=f(A) etB?=f(B) . -→démonstrationProposition 10 :Image d"un cercle
L"image parfdu cercle de centreAet de rayonrest le cercle de rayonr?et de centreA?, oùA?=f(A) .On ar?=rsifest une translation.
On ar?=|k|×rsifest une homothétie de rapportk. -→démonstrationRemarque :Avec les propriétés de conservation et les images de figure simples on obtient les images
de figures géométriques plus compliquées : l"image d"un parallélogrammeest un parallélogramme, l"image d"un??point de contact??(entre un cercle et une droite, entre deux cercles, ...) est un point de contact.