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La relativité générale, théorie relativiste de la gravitation, est un des piliers de la physique théorique moderne. Elle est aujourd'hui indispensable en astrophysique et en cosmologie. Destiné aux étudiants en master de physique fondamentale et d'astrophysique ainsi qu'aux élèves des écoles d'ingénieurs, ce manuel comprend un cours complet et de nombreux exercices d'application corrigés.Il introduit progressivement les outils conceptuels essentiels à la théorie de la relativité générale avant d'en présenter les aspects fondamentaux puis ses principales applications astrophysiques (étoiles relativistes, trous noirs, ondes gravitationnelles et cosmologie).

WWW.VUIBERT.FRRelativité générale

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Cours & exercices corrigésDavid Langloisest directeur de recherche au CNRS et effectue ses recherches au laboratoire

AstroParticule et Cosmologie (CNRS/Université Paris-Diderot/CEA et Observatoire de Paris), dans les

domaines de l'astrophysique relativiste et de la cosmologie primordiale. Il enseigne actuellement la

cosmologie à l'École polytechnique, après y avoir été responsable des cours de relativité restreinte

et de relativité générale pendant sept ans.MASTER

PHYSIQUE FONDAMENTALE

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ISBN 978-2-311-00719-09 782311 007190

Sommaire

Introduction

1. Éléments de géométrie

2. Relativité restreinte

3. Courbure et équations d'Einstein

4. Géométrie et symétries

5. Étoiles relativistes et trous noirs

6. Cosmologie7. Ondes gravitationnelles

Annexe A. Compléments mathématiques

Annexe B. Principes variationnels

Annexe C. Formulaire

À la fin de chaque chapitre, on trouvera

des exercices suivis de leurs corrigésRelativité générale

Cours complet

Exercices d'application

Tous les corrigés détaillésDes fondements géométriques aux applications astrophysiques

David Langlois

Des fondements géométriques

aux applications astrophysiques

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David Langlois

CV_RelativiteGenerale:Mise en page 1 28/10/13 16:40 Page 1 ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page VI - #4 ii i ii i ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page III - #1 ii i ii iTable des matières

Avant-proposVII

Introduction1

1 Éléments de géométrie3

1.1 Quelques notions d"algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Espaces courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Dérivation covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Courbes et trajectoires newtoniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Relativité restreinte39

2.1 Espace-temps de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Trajectoires dans l"espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Coordonnées de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.7 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Courbure et équations d'Einstein79

3.1 Tenseurs de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Gravitation relativiste et équations d"Einstein . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3 Solution de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.5 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4 Géométrie et symétries111

4.1 Dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Champ vectoriel de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3 Géodésiques de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page IV - #2 ii i ii iIVTable des matières

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.5 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5 Étoiles relativistes et trous noirs135

5.1 Étoiles relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.2 Trou noir de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3 Autres trous noirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.5 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6 Cosmologie165

6.1 Géométries homogènes et isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.2 Évolution cosmologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3 Paramètres cosmologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.4 Le modèle standard de la cosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.6 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7 Ondes gravitationnelles187

7.1 Équations d"Einstein linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.2 Choix de " jauge » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.3 Propagation des ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.4 Détection des ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.5 Émission d"ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.6 Exemple d"un système binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.8 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

A Compléments mathématiques211

1.1 Variétés différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

1.2 Espace vectoriel tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

1.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

B Principes variationnels217

2.1 Formalisme lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

2.2 Principe variationnel en théorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . 218

C Formulaire223

3.1 Notations compactes pour les indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

3.2 Principales formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Index225

ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page 1 - #7 ii i ii

iIntroductionEn 1905, avec son célèbre article " Sur l"électrodynamique des corps en mouvement »,

Einstein bouleversait les fondations de la physique classique. Dans ce nouveau cadre, il était nécessaire de repenser la gravitation, dont l"interprétation newtonienne était manifestement incompatible avec la relativité. En effet, la force de gravitation newto- nienne est une forceà distanceetinstantanéequ"exerce un corps massif sur tout autre corps massif, ce qui est inconciliable avec le monde relativiste où un signal ne peut se propager plus vite que la lumière. En 1907, à l"occasion d"un article de revue sur la relativité restreinte, Einstein publia ses premières réflexions sur la gravitation relativiste. Mais il lui fallut encore huit ans pour achever la construction d"une théorie cohérente. Si cette tâche s"est révélée beaucoup plus ardue qu"on pouvait le penser au premier abord, c"est que le champ gravitationnel ne peut être traité comme les autres champs, tel le champ électromagnétique, qui " vivent » dans l"espace-temps quadri-dimensionnel de la relativité restreinte. Comme l"a judicieusement remarqué Einstein, le caractère singulier du champ gravitationnel se manifeste déjà dans sa formulation newtonienne, à travers l"égalité des masses inertielle et gravitationnelle. Précisons les définitions de ces dernières en comparant force électrique et force gravitationnelle. Si l"on plonge une particule chargée dans un potentiel électriqueφe, la relation fondamentale de la dynamique s"écrit m i?a=Γqe?rφe,(1) où?aest l"accélération de la particule,qesa charge électrique, etmisa masseinertielle,

qui caractérise la " réponse » de la particule à toute force exercée sur elle. La même

particule, plongée cette fois dans un potentiel gravitationnelφg, satisfait la relation m i?a=Γmg?rφg,(2) où la force gravitationnelle dépend de la massegravitationnelle, qui exprime lecouplage de la particule au champ φg, de même que la charge électriqueqereprésente son couplage au champ électrique. L"égalité entre masse inertielle et masse gravitationnelle, m i=mg,(3) ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page 2 - #8 ii i ii

i2Introductionsingularise l"interaction gravitationnelle et apparaît comme une coïncidence remar-

quable, et inexplicable, du point de vue de la théorie classique. Cette propriété a conduit Einstein à formuler le principe d"équivalence, qui postule que les lois de la physique sont identiques dans un référentiel qui subit une accélération constante et dans un référentiel au repos dans un champ gravitationnel uniforme, et encore qu"un champ gravitationnel peut êtrelocalementeffacé par une accélération. Ce lien entre accélération et champ gravitationnel prend tout son sens en relativité générale, où l"espace, et même l"espace-temps, devient courbe. Dans la limite non relativiste, cette courbure fait apparaître un terme additionnel dans l"expression de l"accélération, ?a rel=?aNewton+??φg.(4) Ainsi, à la particule newtonienne subissant une force gravitationnelle se substitue

l"idée d"une particulelibrese déplaçant dans une espace-tempsdéformé. En relativité

générale, le champ gravitationnel s"identifie à la géométrie de l"espace-temps, qui devient élastique. Au-delà de cette équivalence entre champ gravitationnel et géométrie, le deuxième

aspect de la relativité générale est le lien entre déformation de la géométrie et contenu

en matière, incarné par les équations d"Einstein. Ces équations, obtenues par Einstein en 1915, généralisent au cadre relativiste l"équation de Poisson newtonienne, g= 4πGρm.(5) Elles expriment, de façon intrinsèque, que la déformation de l"espace-temps est d"autant plus grande que la matière, ou énergie, y est concentrée. Pendant des dizaines d"années, la relativité générale est restée une théorie mar- ginale dans le monde de la physique car, outre sa formulation très mathématique, son domaine d"application semblait extrêmement limité. Avec le développement de l"astrophysique relativiste et de la cosmologie, la relativité générale est devenue une théorie fondamentale incontournable en physique. ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page 3 - #9 ii i ii iCHAPITRE 1

Éléments de géométrieLa théorie de la relativité générale est fondée sur le principe suivant :la géométrie qui

nous entoure n'est pas euclidienne(ni même pseudo-euclidienne comme en relativité restreinte)mais courbe κ et les phénomènes gravitationnels que nous observons sont la manifestation du caractère non euclidien de l'espace-temps. Comprendre l"essence de

la relativité générale requiert donc une familiarisation avec la géométrie non euclidienne.

Ce sera l"objet du présent chapitre.

Le formalisme que nous allons introduire permet de décrire de façon intrinsèque la géométrie de surfaces ou d"espaces qui sont " courbes ». Prenons l"exemple le plus

simple de surface courbe : la sphère. Celle-ci est définie, en géométrie ordinaire, comme

une surface plongée dans l"espace tri-dimensionnel habituel, qui esteuclidien. Grâce

aux outils de la géométrie non euclidienne, la géométrie sphérique peut être définie

intrinsèquement, c"est-à-dire du point de vue d"un observateur bi-dimensionnel confiné à la sphère, indépendamment de l"espace euclidien sous-jacent. Dans cette description intrinsèque, la surface courbe devient un objet géométrique indépendant.

Ces outils peuvent être généralisés à trois dimensions ou plus. Ainsi, en relativité

générale, on travaille avec quatre dimensions : trois dimensions spatiales plus une dimension temporelle. Dans ce chapitre, afin de faciliter l"assimilation progressive du formalisme, nous nous placerons principalement dans le cadre plus intuitif de dimensions uniquement spatiales. Mais la plupart des résultats obtenus s"appliqueront, sans changement, à la relativité générale, comme nous le verrons dans les chapitres suivants.

1.1 Quelques notions d'algèbre linéaire

Avant d"aborder les espaces courbes, il est indispensable d"introduire quelques notions essentielles d"algèbre linéaire. À l"exception des tenseurs, ces notions sont, en principe, déjà connues du lecteur. ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page 4 - #10 ii i ii i4 Chapitre 1. Éléments de géométrie

1.1.1Espace vectoriel euclidienUn espace euclidien (ou pseudo-euclidien) est un espace vectorielEmuni d"unproduit

scalaire , c"est-à-dire d"une forme bilinéaire symétrique non dégénérée1, que nous noterons}, qui associe un nombre réel à tout couple de vecteursuetvdeE: }:EEωR u ,v)ω}(u,v).(1.1) Par définition,}étant symétrique, on a}(u,v) =}(v,u). D"autre part,}étant non dégénérée, si un vecteur uvérifie}(u,v) = 0pour tout vecteurv, alorsu= 0 nécessairement. En introduisant une base de vecteurs indépendantsei, aveci= 1,...,n,nétant la dimension de l"espace vectorielE, tout vecteurudeEse décompose de façon unique comme u=nX i =1u iei,(1.2) où les nombresuisont les composantes du vecteurudans cette base. De plus, dans cette même basefeig, le produit scalaire de deux vecteursuetv s"écrit }(u,v) =}0 X iu iei,X jv jej1A =X i;ju ivj}(ei,ej) =X i;jg ijuivj,(1.3)

où on a utilisé la bilinéarité de}dans la deuxième égalité, et introduit les coefficients

gijηg(ei,ej),(1.4) qui sont les composantes de}dans la basefeig. Le produit scalaire étantsymétrique, ces coefficients vérifient g ij=gji.(1.5) On dit que les vecteurseiforment une base orthonormale (ou pseudo-orthonormale) lorsque les vecteurs sont normalisés et orthogonaux entre eux, par rapport au produit scalaire}, c"est-à-dire si gquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1