Corrigé 1 : Introduction `a Matlab Exercice 1 Soient les vecteurs colonnes et la matrice suivants u1 = ⎛ ⎝ 1 2 3
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Introduction au calcul scientifique1
MA261. Introduction au calcul scientifique
Corrig´e 1 : Introduction `a Matlab.
Exercice 1Soient les vecteurs colonnes et la matrice suivants ?u 1=(( 1 2 3)) , ?u2=(( -5 2 1)) , ?u3=(( -1 -3 7)) , A=(( 2 3 4 7 6 52 8 7))
1.Structures Matlab
(a) Entrer ces donn´ees sous Matlab. (b) Calculer?u1+ 3?u2-?u3/5. (c) Calculer le produit scalaire entre les vecteurs?u1et?u2. (d) Calculer le produitA?u1.2.Commandes MatlabTrouver les commandes Matlab permettant de :
(a) calculer??u1?2,??u2?1,??u3?∞; (b) d´eterminer les dimensions de la matriceA, en extraire le nombre de colonnes; (c) calculer le d´eterminant et l"inverse deA.3.R´esolution de syst`emes lin´eairesProposer deux m´ethodes permettant de r´esoudre le probl`emeA?x=?u1, et d´eterminer
les commandes Matlab associ´ees.Corrig´e 1Taper en ligne :
u1 = [ 1 ; 2 ; 3 ] u2 = [ -5 ; 2 ; 1 ] u3 = [ -1 ; -3 ; 7 ]A = [ 2 3 4 ; 7 6 5 ; 2 8 7 ]
u1+3*u2-u3/5 u1"*u2 A*u1 norm(u1,2) norm(u2,1) norm(u3,inf) size(A) size(A,2) det(A) inv(A) x = inv(A)*u1 x = A\u1 Exercice 2Soient la matrice et les vecteurs colonnes suivants A=((5/8-1/4 1/8
1/4 0 1/4
1/8-1/4 5/8))
,?b=(( 1 -1 1)) ,?u1=(( 5 2 -4)) On d´efinit, pourn≥1, la suite de vecteurs?un+1=A?un+?b.Introduction au calcul scientifique2
1. Construire une fonctionsuite.mcalculant les premiers termes de la suite?un. Cette
fonction aura comme arguments d"entr´ee les donn´ees suivantes : la matriceA, le second membre?b, le terme initial?u1, et le nombre de termes voulusnbit.2. Repr´esenter graphiquement l"´evolution de chacune descomposantes.
Qu"observe-t-on?
3. Soient
?u 1b=(( 2 1 0)) ,Ab=(( 5 6 3 -1 5-11 2 0))
Observe-t-on le mˆeme comportement si on remplace?u1par?u1b? Que se passe-t-il si on remplaceAparAb(quel que soit le terme initial)? Corrig´e 2Dans le fichiersuite.m, cr´eer la fonction : function u = suite(A,u1,b,nb_it) u = zeros(3,nb_it+1); u(:,1) = u1; for k = 1:nb_it u(:,k+1) = A*u(:,k)+b; endPuis, taper en ligne :
A = [ 5/8 -1/4 1/8 ; 1/4 0 1/4 ; 1/8 -1/4 5/8 ]
b = [ 1 ; -1 ; 1 ] u1 = [ 5 ; 2 ; -4 ] u = suite(A,u1,b,30); Pour ´etudier le comportement des it´er´es, taper en ligne : hold on plot(u(1,:),"g") plot(u(2,:),"r") plot(u(3,:),"y") hold offLes it´erations convergent visuellement vers((
10/3 2/310/3))
u1b = [ 2 ; 1 ; 0 ]; ub = suite(A,u1b,b,30); hold on plot(ub(1,:),"g") plot(ub(2,:),"r") plot(ub(3,:),"y") hold offLes it´erations convergent visuellement vers
10/3 2/310/3))
Introduction au calcul scientifique3
Ab = [ 5 6 3 ; -1 5 -1 ; 1 2 0 ]
Pour les deux termes initiaux?u1et?u1b, la suite diverge. Pour des it´erations du type?un+1=A?un+?b, il y a convergence si, et seulement si, le rayon spectral deAest strictement inf´erieur `a un. On rappelle que si (λi(A))isont les valeurs propres deA(dansC), alors on a par d´efinitionρ(A) = maxi|λi(A)|.
Or, on trouveρ(A) = 1/2 etρ(Ab)≈5.9.
Exercice 3SoitA?Rn×n. On introduit le vecteurpAL(resp.pAC), appartenant `aRn, des indices des colonnes (resp. des lignes) du premier coefficient non nul de chaque ligne (resp. de chaque colonne). Par convention, si tous les coefficients d"une ligne (resp. d"une colonne) sont nuls, le nombre report´e estn+ 1. Par exemple, pour la matriceA=((((5 6 3 00 5-1 0
0 0 0 0
0 0-1 4))))
?R4×4,on apAL=((((1253)))) etpAC=((((1114)))) Les profils en lignePALet en colonnePACpeuvent alors se d´efinir comme ´etant : P P Leur utilit´e premi`ere est d"´eviter de stocker les composantes nulles en d´ebut de chaque ligne ou colonne. 1. ´Ecrire une fonction qui pour toute matrice calcule son profilligne et colonne, i.e. renvoie les vecteurspALetpAC. Aide : utiliser la fonction Matlab retournant le minimum d"un ensemble.2. Comment pourrait-on simplement am´eliorer les profils enligne et en colonne?
3. Que peut-on dire des profils des matrices sym´etriques et sym´etriques d´efinies-positives?
Modifier en cons´equence votre fonction.
Corrig´e 31. DansProfil.m, cr´eer la fonctionProfil: function [pL,pC] = Profil(A)N = size(A,1);
pL = zeros(N,1); pC = zeros(N,1); for I = 1:N pL(I) = min(find(A(I,:))); pC(I) = min(find(A(:,I))); end En sortie, les vecteurs colonnespLetpCcontiennent les valeurs depALetpACavec la correspondancepL(I) = 0??(pAL)i=n+1 (resp.pC(I) = 0??(pAC)i=n+1.)Introduction au calcul scientifique4
2. Il suffit de d´efinir deux vecteursqAL(resp.qAC) des indices des colonnes (resp. des
lignes) du dernier coefficient non nul de chaque ligne (resp. de chaque colonne), avec un nombre report´e´egal `a 0 si tous les coefficients sont nuls. Les profils correspondants sont : P P3. Lorsqu"une matriceAest sym´etrique, on a toujourspAL=pAC: il suffit d"introduire
un unique vecteurpA. Si de plus, la matrice est d´efinie-positive, on remarque queAi,i= (A?ei,?ei)>0, et Par ailleurs, siAest sym´etrique d´efinie-positive, on peut utiliser la factorisation de Cholesky pour r´esoudre les syst`emes lin´eaires du typeA?x=?b. Dans un premier temps, on calcule la matrice triangulaire inf´erieureLtelle que A=LLT. Dans un second temps, on r´esout successivementL?y=?betLT?x=?ypar un algorithme de descente-remont´ee. Bien sˆur, pour une matriceLtriangulaire inf´erieure, on sait quei,j= 0 d`es que j > i. Leprofil optimis´ed"une telle matrice est donc P Et, pour conclure, si on d´efinit leprofil optimis´ed"une matrice SDP comme ´etant : Pson int´erˆet principal est d"ˆetre conserv´e par la factorisation de Cholesky! En d"autres
termes, on a la propri´et´e :PLopt=PAopt. Dans le fichierProfSDP.m, cr´e´er la fonctionProfSDP: function p = ProfSPD(A) % On suppose que A est SPD.