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|Table des matières|1 Isométries du plan : généralités; Composition des isométries du plan 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2.2 Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2.3 Pré-requis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2.4 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2.5 Symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.2.6 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.3 Isométries et configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.3.1 Écriture complexe d"une isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.4 Composition des isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.4.1 Composée de deux translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.4.2 Pré-requis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 21.4.3 Composée de deux symétries orthogonales d"axes parallèles . . . . .
131.4.4 Décomposition d"une translation de vecteur non nul . . . . . . . . .
141.4.5 Composée de deux symétries orthogonales d"axes sécants : la rotation
151.4.6 Décomposition d"une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161.4.7 Composée de deux rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161.4.8 Composée d"une symétrie orthogonale et d"une translation . . . . .
181.4.9 Composée d"une rotation et d"une translation . . . . . . . . . . . .
211.4.10 Composée d"une rotation et d"une symétrie orthogonale . . . . . . .
221.5 Compléments sur les isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241.6.1 Isométries et recherche des lieux géométriques (cf.[2]) . . . . . . . .
24i
Table des matières
1.6.2 Isométries et problèmes de construction . . . . . . . . . . . . . . . .
251.6.3 Isométries et démonstration des propriétés . . . . . . . . . . . . . .
271.6.4 Application des isométries à un problème d"optimisation . . . . . .
301.7 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32Bibliographie et Webographie 41DIPES IIii ENS Yaoundé 2012-2013 ? ?Chapitre Un? ?
Isométries du plan : généralités;
Composition des isométries du planObjectifs spécifiquesL"apprenant doit être capable de :
Reconnaître une isométrie.
Déterminer et construire l"image d"un p oint,d"une droite et d"un cercle par une isométrie. Déterminer la nature et les élémen tscaractéristiques de la comp oséede deux iso- métries. Utiliser les isomé triesdans les problèmes de constructions, les problèmes de démons- trations de propriétés, les problèmes de la recherche des lieux géométriques.Liens avec les autres parties du programme
Les isométries, leur composition et leur décomposition sont utilisées dans : la classification des isométries du plan. l"étude générale des applications affines du plan. les similitudes. les applications de l"espace.Motivation
Les isométries planes étant un outil de la géométrie, nous nous intéresserons aux isométries planes par exemple si l"on nous pose le problème suivant : 11.1. Introduction
Enoncé ([5])SoitABCtriangle isocèle avec AB = AC > BC. On prolonge les segments [AB] et [BC] par [BD] et [CE], avec BD = CE = AB - BC. Montrer que ADE est isocèle.Solution :
Pour montrer, il suffit de trouver la transformation qui permet de transformer ACE en EBD. L"examen des angles montre que c"est une rotation. On peut donc la trouver comme composée de deux symétries en introduisant le point F symétrique de E dans la symétrie s1par rapport à la médiane-hauteur de ABC. On compose ensuite par la symétries2
par rapport à la bissectrice de [ABCet F vient en D (la droite (BC) vient sur (AB) et précisément la demi-droite [BC) sur [BA) et on conclut en utilisant BF = BD), on conclut que, Sis=s2s1, on a s(E) = D. Par ailleurs, on a :s1(A) =Aets2(A) =E(car le triangle ABE est isocèle en B, donc la bissectrice est un axe de symétrie). Donc s(A) = E, en définitive, EA = DE.1.1 IntroductionDans les classes précédentes, certaines isométries ont été définies et étudiées. Elles sont
utilisées pour rechercher des lieux géométriques, pour résoudre des problèmes de construc-
tion et démontrer des propriétés. Dans cette ressource, nous nous proposons de complétercette étude en déterminant les autres isométries du plan et d"étudier la composition et la
décomposition des isométries du plan.DIPES II2 ENS Yaoundé 2012-2013