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CORRECTION DES EXERCICES SUR LES ISOMETRIES
I. Image d"une intersection
Par la symétrie d"axe d, on a
A ® A"
B ® B"
C ® C"
D étant sur l"axe de symétrie :
D ® D
On en déduit que :
(AD) ® (A"D) (BC) ® (B"C") Le point I est l"intersection des droites (AD) et (BC) donc son image I" est l"intersection des droites (A"D) et (B"C")II. Conservation des distances et des angles
On applique la symétrie sd aux point A I et P
A ® A"
I et P sont sur l"axe de symétrie donc :
I ® I
P ® P
Donc le segment [AI] a pour image le segment [A"I]Une isométrie conservant les distances on a
AI = A"I
Donc AI + IB = A" I + IB.
Mais on sait que le plus court chemin entre deux points est la droite. Donc I se trouve à l"intersection de (d) et de (A" B)Les angles
A"IP et BIM sont opposés donc égaux
A"IP est l"image de AIP par la symétrie sd
Une symétrie conservant les angles
A"IP et AIP sont égaux
Les angles
AIM et BIM sont complémentaires d"angles égaux donc égauxIII. Alignement de points
Soit la rotation de centre A et d"angle a = 60° (sens direct) AMN étant un triangle équilatéral on a AM= AN etAMN = 60°
Donc l"image de M par la rotation est N
Mais AED est aussi équilatéral, pour la même raison, l"image de D par la rotation est E Mais ABC est aussi équilatéral, pour la même raison, L"image de D par la rotation est E Les trois points M, D et B ont pour image les points N, E et C M, D et B étant alignés il en est de même pour leurs images N, E et CIV. Composition d"isométries
Soit M un point du plan
On a T
¾®u(M) = M" avec
¾¾¾®MM" =
¾®u
On a T
¾®v(M") = M"" avec
¾¾®M"M"" =
¾®v
D"après la relation de Chasles on a
¾¾¾®MM"" =
¾¾®MM" +
¾¾¾¾®M"M"" ¾¾¾®MM"" =
¾®u +
¾®v
La transformation qui à M fait correspondre l"image M"" est une translation de vecteur¾®u +
¾®v
A B d A" I M P A B C D E M N (d)¾¾¾¾®®®®u +
¾¾¾¾®®®®v
¾¾¾¾®®®®u
¾¾¾¾®®®®v
M M" M""V. Un classique
1) Les diagonales d"un carré se coupent à angle droit en leur milieu. Donc (BD) est
une médiatrice du triangle APC. APC étant un triangle équilatéral sa médiatrice est aussi une médiane, donc P appartient à la droite (BD) On en déduit que les points B, D et P sont alignés.2) On utilise les propriétés suivantes:
Les angles d"un triangle équilatéral sont tous égaux à 60° Les trois côtés d"un triangle équilatéral sont égaux. Appliquons la rotation R(C,60) aux points A, E et FA ® P
E ® D
F ® B
Les points A, E et F sont les images des points alignés B, D et P. Or les images par une isométrie, de points alignés sont alignées ce
qui prouve bien que A, E et F sont alignés. VI. Considérons la symétrie centrale de centre O