[PDF] [PDF] Matrices Orthogonales et Isométries vectorielles — - Pascal Delahaye

[PDF] 32 Isometrie Correction - Optimal Sup Spé

Isométries du plan et de l'espace 3 Aides on Exercice de base, à maîtriser parfaitement (+ s'il s'agit d'un exercice classique), Exercices corrigés 1

[PDF] Exercices de Révision en Alg`ebre et en Géométrie

Exercice 11 (Engendrement du groupe orthogonal par les symétries hyperplanes) Démontrer que toute isométrie vectorielle f d'un espace vectoriel euclidien E 

[PDF] corrigé - webusersimj-prgfr

4 avr 2014 · Décrire géométriquement les isométries de R3 qu'elles représentent dans la base canonique Corrigé exercice 1 Pour montrer que les 

[PDF] Produit scalaire, espaces euclidiens - Exo7 - Exercices de

Exercice 1 *** Exercice 5 ***I Matrices et déterminants de GRAM E et Rn ont mêmes dimensions finies, ϕ est un isomorphisme d'espaces vectoriels

[PDF] Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Un endomorphisme qui vérifie ces propriétés est appelé automorphisme orthogonal (ou isométrie vectorielle) Exercice 2 Démontrer ce théorème [ee202 ]

[PDF] Isométries dun espace euclidien - Classe de TSI2 - Exercices de

Exercice 1 Vérifier ces propriétés [ee201] I B Isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal) Définition 2 Soit E euclidien, et soit f ∈ L(E) On dit que f est 

[PDF] Exercice 3 - Normale Sup

Géométrie affine euclidienne : exercices corrigés Voici un corrigé Exercice 3 Soit ℰ un linéaire ci-dessus est une isométrie vectorielle Or on a, pour 

[PDF] Matrices Orthogonales et Isométries vectorielles — - Pascal Delahaye

21 jui 2018 · (∗) Montrer que A = 1 √5 ( 1 −2 2 1 ) est orthogonale et calculer A−1 Exercice : 4 (∗∗) Soit A = ((aij)) ∈ On(R) une matrice orthogonale

[PDF] Feuille dexercices sur les isométries euclidiennes Généralités sur

Exercice 1 (Une symétrie est une isométrie ssi elle est orthogonale) Soit s une symétrie vectorielle de E espace euclidien On dit que s est une symétrie 

[PDF] Chapitre 10 - Isométries dun espace euclidien - Corrigés

CHAPITRE 10 Isométries d'un espace euclidien Exercice 1 : 1 Notons C1, C2 et C3 les colonnes de la matrice M Supposons que la matrice M est orthogonale 

[PDF] isover laine de verre

[PDF] isover par 45 fiche technique

[PDF] isover par duo

[PDF] isp

[PDF] ispef licence 1

[PDF] ispits maroc

[PDF] ispits maroc 2017

[PDF] ispits marrakech

[PDF] ispits tetouan 2017

[PDF] ispits.sante.gov.ma formulaire 2017

[PDF] issht facebook

[PDF] issht ibn charaf resultat

[PDF] issht inscription

[PDF] issht master anglais

[PDF] issr tzr 2017

Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles

MPSI - Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

21 juin 2018

Dans ce chapitre, on consid`ere unespace euclidien(E,?.,.?) de dimensionn.

1 Les isom´etries vectorielles

1.1 D´efinitions

D´efinition 1 :Isom´etries vectorielles

Soitu? L(E).

On dira queuest uneisom´etrie vectoriellelorsque :?x?E,?u(x)?=?x?. On note O(E) l"ensemble des isom´etries vectorielles deE.

Remarque1.Ainsi : un endomorphisme deEest une isom´etrie vectorielle si et seulement si il conserve la norme.

Exemple 1.(?) L"identit´e deEest une isom´etrie vectorielle. (cf plus loin les sym´etries orthogonales)

Th´eor`eme 1 :Groupe orthogonal

(O(E),◦) est un sous-groupe du groupe lin´eaire (GL(E),◦).

On l"appelle legroupe orthogonaldeE.

Les isom´etries vectorielles sont aussi appel´ees desautomorphismes orthogonaux.

Preuve 1 :On montre que O(E) est une partie non vide deGL(E)?stable par la loi de compositionstable par sym´etrisation.

Remarque2.Ce th´eor`eme signifie en particulier que :

1. La compos´ee de deux isom´etries vectorielles est une isom´etrievectorielle.

2. La bijection r´eciproque d"une isom´etrie vectorielle est une isom´etrie vectorielle.

1

Cours MPSI-2017/2018 Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Th´eor`eme 2 :Caract´erisation par la conservation du produit scalaire

Soitu? L(E).

uest une isom´etrie vectorielle?? ?(x, y)?E2,?u(x),u(y)?=?x,y? Ou encore, lorsque (e1, e2,..., en) est une base deE. uest une isom´etrie vectorielle?? ?(i, j)?[[1,n]]2,?u(ei),u(ej)?=?ei,ej? Preuve 2 :Equivalence facile `a d´emontrer en utilisant l"identit´e de polarisation.

Exercice : 1

(?) SoitFun sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel euclidienEetf? O(E). Montrer quef(F?) = (f(F))?.

Remarque3.En particulier, une isom´etrie vectorielle conserve donc d"orthogonalit´e. Th´eor`eme 3 :Caract´erisation `a l"aide de l"image d"une bon

Soitu?L(E) et?une bon deE.

uest une isom´etrie vectorielle??l"image de la bon?est une bon

Preuve 3 :Soitu?L(E).

uest une isom´etrie vectorielle?? ?(p, q)?[[1,n]]2,?u(?p),u(?q)?=??p,?q? ?? ?(p, q)?[[1,n]]2,?u(?p),u(?q)?=δpq ??u(?) bon

Remarque4.

1. Pour queu? L(E) soit une isom´etrie vectorielle, il suffit qu"il transforme UNE bon en une bon.

2. Siutransforme UNE bon en une bon, alors il transforme toutes les bonen bon.

Th´eor`eme 4 :Endomorphisme orthogonal induit

Si un sevFest stable paru? O(E) alors :

1.uinduit un endomorphisme orthogonal surF. (u|F? O(F))

2.F?est aussi stable paruqui induit ainsi un endomorphisme orthogonal surF?.

Preuve 4 :

1. Pas de difficult´e!

2. Soitx?F?, ety?F. Il s"agit de montrer que?u(x),y?= 0.

Remarquer que?z?Ftel quey=u(z) ...

Remarque5.LorsqueFest stable par un endomorphisme orthogonalu, alors la matrice deudans une baseeobtenue

en r´eunissant une base deFet une base deF?est une matrice diagonale par blocs.

1.2 L"exemple des sym´etries orthogonales

SoientFetGdeux sev deEtels queE=F?G.

Rappels :

1.?x?E, il existe donc une unique d´ecompositionx=x1+x2avecx1?Fetx2?G.

Lasym´etrie?par rapport `aF

parall`element `aGest alors l"application :s:E-→E x?→x1-x2.

2. On a alors :

?F= ker(s-idE) G= ker(s+ idE)et la caract´erisation :s? L(E) est une sym´etrie??s◦s= idE

3.s= 2p-IdEo`upest la projection surFparall`element `aG.

4. Lorsque dimF <+∞, alorsE=F?F?.

2

Cours MPSI-2017/2018 Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles http://pascal.delahaye1.free.fr/

D´efinition 2 :Sym´etrie orthogonale

SoitFun sev de dimension finie d"un espace pr´ehilbertien r´eelE.

Lasym´etrie?par rapport `aF

parall`element `aF?est appel´eesym´etrie orthogonalepar rapport `aF.

Dessin

Sym´etrie orthogonale sur un sevF

Expression d"une sym´etrie orthogonale par rapport `aF:

•M´ethode 1

: LorsqueF= Vect(u) est une droite vectorielle, on applique :s(x) = 2?x,u?u??.u?u?-x.

•M´ethode 2

: LorsqueF=n?est un hyperplan on applique les formules :?s(x) = 2p(x)-x p(x) =x- ?x,n ?n??.n?n?.

•M´ethode 3

: Lorsqu"on n"est pas dans l"un des cas pr´ec´edents et queF= Vect(f1, ..., fp), on applique la m´ethode g´en´erale : x ?=s(x)???x+x??F x-x??F?

•M´ethode 4

: Lorsque (f1, ..., fp) est une bon deF, on applique la formule : s(x) = 2(?x,f1?f1+?x,f2?f2+···+?x,fp?fp)-x

Exemple 2.(?) On consid`ere un espace vectoriel euclidienEmuni d"une base orthonorm´eeB= (i, j, k).

Former la matrice dansBde la sym´etrie orthogonale par rapport au planPd"´equationx=z.

Remarque6.Une sym´etrie orthogonale par rapport `a un hyperplan (en dimension finie!) est appel´ee uner´eflexion.

Exercice : 2

(?) Soitu?R3?euclidien usuel etsla r´eflexion par rapport `a{u}?.

1. D´eterminer l"expression des(X) o`uX= (x, y, z)?R3.

2. Donner la matrice desdans la base canonique lorsqueu= (1,0,1).

Proposition 5 :Reconnaissance des sym´etries orthogonales

Soits? L(E) avecEun espace euclidien.

On a :sest une sym´etrie orthogonale???s2= idE

ker(s+ id)??ker(s-id)??

Preuve 5 :Pas de difficult´e.

Exercice : 3

(??) Montrer qu"une sym´etrie vectorielle est une isom´etrie si et seulement si c"est une sym´etrie orthogonale.

On pourra donc retenir que "parmi les sym´etries, seules lessym´etries orthogonales sont des isom´etries".

3

Cours MPSI-2017/2018 Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles http://pascal.delahaye1.free.fr/

2 Les matrices orthogonales

2.1 D´efinitions

D´efinition 3 :Matrices orthogonales

On dit qu"une matriceA?Mn(R) estorthogonalesi et seulement si : t

AA=In( ouAtA=In)

On note O

n(R) (ou encoreO(n)) l"ensemble des matrices orthogonales `a coefficients r´eels.

Remarque7.

1. Une matrice orthogonale est inversible etA-1=tA.

2. Une matrice orthogonale a un d´eterminant ´egal `a±1.

Th´eor`eme 6 :Caract´erisation pratique des matrices orthogonales

SoitA= ((aij))?Mn(R).

AlorsAest une matrice orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes (C1,...,Cn) formentune base orthonormalepour?.,.?le produit scalaire usuel deRn, c"est `a dire : ?(p, q)?[1,n]2, ?Cp,Cq?usuel=n? i=1a ipaiq=δp,q Cela nous donne un moyen simple de reconnaˆıtre si une matrice est orthogonale.

Preuve 6 :On exprime la relationtA.A=In`a l"aide des coefficients ou des vecteurs colonnes des matrices.

Remarque8.

1. Comme on a aussi

t(tA)tA=In, alors les vecteurs lignes deAforment aussi une bon.

2. Les coefficients d"une matrice orthogonale sont tous inf´erieurs`a 1 en valeur absolue.

Exemple 3.(?) Montrer queA=1

⎷5? 1-2 2 1? est orthogonale et calculerA-1.

Exercice : 4

(??) SoitA= ((aij))? On(R) une matrice orthogonale. Montrer que??n? i=1n j=1a

Aide : Penser `a utiliser l"in´egalit´e de Schwarz. Quel espace? Quel Produit scalaire? Quels vecteurs?

Th´eor`eme 7 :On(R) est un sous-groupe de (GLn(R),×) appel´e aussi leGroupe Orthogonal.

Preuve 7 :Pas de difficult´e.

Remarque9.On(R) est aussi parfois not´eO(n).

2.2 Matrice d"une isom´etrie vectorielle dans une bon

Th´eor`eme Fondamental 8 :La matrice d"une isom´etrie vectorielle dans une bon est orthogonale

SoitEun espace euclidien,u?L(E).

Alors :

uest une isom´etrie vectorielle??sa matrice dans une bon est orthogonale 4

Cours MPSI-2017/2018 Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 8 :Soitu?L(E) etAsa matrice dans une bon?.

Les vecteurs colonnesCide la matriceAsont les coordonn´ees des vecteursu(?i) dans la bon?. On a donc :?(p, q)?[1,n]2??u(?p),u(?q)?=?Cp,Cq?usuel ??p,?q?=δpq.

Par cons´equent :

?(p, q)?[1,n]2?u(?p),u(?q)?=??p,?q? ?? ?Cp,Cq?usuel=δpq uisom´etrie vectorielle??Amatrice orthogonale

Remarque10.Attention!! Le r´esultat pr´ec´edent est faux si la baseεn"est pas orthonormale.

Consid´erer par exempleε= (-→i ,2-→j) etsla sym´etrie orthogonale par rapport `a Vect(1,1).

Corollaire 9 :Caract´erisation des matrices de passage entre bon

Soiteune base orthonormale deEetfune base.

SoitP=Pe→fla matrice de passage entre ces deux bases. Alors fest une base orthonormale??Pest une matrice orthogonale Preuve 9 :On consid`ereul"endomorphisme deEd´efini par?k?[[1,n]], u(ek) =fk. SoitPla matrice deudans la bone.Pest aussi la matrice de passage deeversf. D"apr`es les th´eor`emes pr´ec´edents :?uisom´etrie vectorielle??fbon uisom´etrie vectorielle??PorthogonaleCQFD ... Remarque11.Sieetfsont 2 bon deE, etP=Pe→falorsP-1=tP. En particulier, la formule de changement de bases s"´ecrit alorsAf=tPAeP. Remarque12.En conclusion, une matrice orthogonale s"interpr`ete :

1. Soit comme la matrice d"une isom´etrie vectorielle dans une bon.

2. Soit comme la matrice de passage d"une bon vers une bon.

Exercice : 5

(??)Caract´erisation des projections et des sym´etries orthogonales. SoitEun espace euclidien,u? L(E),eune bon deEetU= Mate(u).

1. Montrer queuest une sym´etrie orthogonale ssi "U2=InoutUU=In" ettU=U.

2. Montrer queuest une projection orthogonale ssiU2=UettU=U.

2.3 Produit mixte

On consid`ere un espace euclidienEmuni d"un produit scalaire not´e?.,.?et?.?la norme euclidienne associ´ee.

D´efinition 4 :Orientation

Soienteetfdeux bases deEet la matrice de passageP=Pe?→fentre ces deux bases. On dit que les deux baseseetfd´efinissent la mˆeme orientation si et seulement si det(P)>0. Orienter l"espace consiste `a choisir une base de r´ef´erencee. Les bases de mˆeme orientation queesont ditesdirecteset les autresindirectes.

Exemple 4.Sie= (e1, e2, e3) est la base canonique deR3, et si l"on choisit l"orientation d´efinie par cette base, alors

la basef= (e2, e3, e1) est directe alors que la baseg= (e1, e3, e2) est indirecte.

Remarque13.Lorsque l"on dit se placer dans "Rneuclidien usuel orient´e", on dit que l"espaceRnest muni du produit

scalaire usuel, de sa base canonique (qui est donc une bon), et quecette base est consid´er´ee comme directe.

Exercice : 6

(??) Montrer que le proc´ed´e d"orthonormalisation de Schmidt ne change pas l"orientation de la base.

5

Cours MPSI-2017/2018 Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Proposition 10 :Matrice de passage entre deux bon

Soiente= (e1, ..., en) etf= (f1, ..., fn) deux bases orthonormales d"un espace euclidienE. NotonsP=Pe?→fla matrice de passage entre les baseseetf.

Alors :

1. det(P) =±1;

2. Si les bon ont mˆeme orientation, alors det(P) = +1.

Preuve 10 :Il suffit de remarquer quePest une matrice orthogonale.

D´efinition 5 :Produit mixte

SoitEun espace euclidien orient´e de dimensionnet

εunebon directe.

Soient (x1, ..., xn) une famille denvecteurs deE.

On appelle produit mixte de cesnvecteurs, le scalaire [x1, ..., xn] = detε(x1, ..., xn)

Il est ind´ependant de la bon directe choisie.

Preuve :Il suffit d"exprimer le d´eterminant de (x1, ..., xn) dans deux bon directes diff´erentes.

Remarque14.

1. Parfois, le produit mixte se note aussi : [x1,..., xn] = Det(x1,..., xn).

2. Le produit mixte d"une bond est ´egal `a 1.

Corollaire 11 :Reconnaissance d"une base directe

Soitε= (ε1, ε2, ..., ,εn) une famille denvecteurs deEeuclidien de dimensionn. εest une base directe??[ε1, ε2, ..., ,εn]>0

Preuve 11 :Imm´ediat!

Remarque15.

1. DansR2, le produit mixte [x,y] repr´esente l"aire alg´ebrique du parall´elogramme d´efini parxety.

2. DansR3, le produit mixte [x,y,z] repr´esente le volume alg´ebrique du parall´el´epip`ede d´efiniparx,yetz.

Interpr´etation dansR2et dansR3

Remarque16.Formule donnant un produit mixte :

Soit (x1, ..., xn)?En.

Alors [x1, ..., xn] = det(A) o`uA= (?xj,εi?)?Mn(R) etεune bon directe deE, 6

Cours MPSI-2017/2018 Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles http://pascal.delahaye1.free.fr/

D´efinition 6 :Orientation d"un hyperplan affine Dans un espace orient´e, le choix d"un vecteur normal permet d"orienter un hyperplan affine.

En effet,Eest orient´e et sinest un vecteur normal `a un hyperplan affineHdeE, alors on dira qu"une base

h= (h1, ..., hn-1) de-→Hest directe ssi : [h1, ..., hn-1, n]>0 En orientantHpar-n, la basehdevient une base indirecte de-→H. Th´eor`eme 12 :Effet d"une Application Lin´eaire

SoitEunK-ev de dimensionnet?? L(E).

On a alors :

?(x1, ..., xn)?En,[?(x1), ..., ?(xn)] = det?.[x1, ..., xn]

Preuve 12 :On peut remarquer que (x1, ..., xn)?→[?(x1), ..., ?(xn)] est une formen-lin´eaire altern´ee.

2.4 Le produit vectoriel (HP)

Ici, on se place dansEeuclidien de dimension 3.

D´efinition 7 :Soienta, b?Eet?:E-→R

x?→[a, b, x].

1.?est une forme lin´eaire et il existe doncc?Eunique tel que :?x?E, ?(x) =?c,x?.

2. Ce vecteurcest appel´e leproduit vectoriel deaetbet est not´ec=a?b.

On a alors :

?x?E,[a, b, x] =?a?b,x? Cette d´efinition permet de d´emontrer facilement les propri´et´es suivantes : P

1: L"application?:E2-→E

(x, y)?→x?yest lin´eaire par rapport `a chaque variable. P

2: Antisym´etrie :y?x=-x?y.

P

3:xetysont colin´eaires??x?y= 0.

P

4: Si (x, y) est un syst`eme libre, alors

(a)x?y?= 0 (b)x?yest orthogonal `axet `ay. (c) (x, y, x?y) est une base directe deE. P

5: Six?yalors?x?y?=?x?.?y?.

P

6: Si (x, y) est un syst`eme orthonorm´e deE, alors (x, y, x?y) est une bon directe deE.

P

7: Si?-→i ,-→j ,-→k?

est une base orthonorm´ee directe (bon directe) alors?????-→ i?-→j=-→k-→j?-→k=-→i-→k?-→i=-→j.(et r´eciproquement!) P

8: Dans une bon directe :-→x((x

1 x 2 x 3)) ?-→y((y 1 y 2 y 3)) =((x

2y3-x3y2

-(x1y3-x3y1) x

1y2-x2y1))

7

Cours MPSI-2017/2018 Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles http://pascal.delahaye1.free.fr/

P9: Formule du double produit vectoriel :x?(y?z) =?x,z?.y- ?x,y?.z P

10: Identit´e de Lagrange :?x,y?2+?x?y?2=?x?2?y?2.

3 Classification des isom´etries vectorielles et des matrices orthogonales

3.1 Partition du groupe des matrices orthogonales :

Les d´efinitions suivantes sont valables pourn?N?.

D´efinition 8 :SOn(R)etO-n(R)

Soit une matrice orthogonaleA?On(R).

Alors det(A) =±1 et on dit que :

1.Aest unematrice orthogonale positivelorsque det(A) = +1

2.Aest unematrice orthogonale n´egativelorsque det(A) =-1

On d´efinit alors les sous-ensembles de O

n(R) suivants : SO n(R) ={A?On(R)|detA= +1}et O-n(R) ={A?On(R)|detA=-1} SO n(R) est appel´e le groupesp´ecial orthogonal. C"est en effet, un sous-groupe du groupe orthogonal (O n(R),×).

Remarque17.Les ensembles On(R), SOn(R) et O-n(R) sont parfois plus simplement not´es : O(n), SO(n) et O-(n).

3.2 Partition du groupe des isom´etries vectorielles :

D´efinition 9 :Isom´etries positives et n´egatives Soit une isom´etrieu?O(E) d"un espace euclidien orient´eE.

Alors det(u) =±1 et on dit que :

1.uest uneisom´etrie positivedeElorsque det(u) = +1

2.uest uneisom´etrie n´egativelorsque det(u) =-1.

On d´efinit alors les sous-ensembles de O(E) suivants : SO(E) ={u?O(E)|detu= +1}et O-(E) ={u?O(E)|detu=-1} L"ensemble SO(E) est un sous-groupe du groupe orthogonal (O(E),◦).

Remarque18.

Les isom´etries positives conservent l"orientation des bases tandisque les isom´etries n´egatives les inversent.

Remarque19.Siεest unebase orthonormaledeEet si?u?L(E) avec

U= Matε(u), alors :?u?O(E)??U?On(R)

u?SO(E)??U?SOn(R)

4 Etude des isom´etries vectorielles en dimension2.

On consid`ere un espace euclidien orient´eE2de dimension 2.

Nous verrons au cours des ´etudes men´ees, qu"il sera pr´ef´erable de se placer dans une base orthonorm´ee directe.

8

Cours MPSI-2017/2018 Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles http://pascal.delahaye1.free.fr/

4.1 Les matrices orthogonales de taille 2x2

On commence par s"int´eresser `a la forme et aux propri´et´es des matrices deSO2(R).

Th´eor`eme 13 :Etude deSO2(R)

1. Les matrices de SO

2(R) sont de la forme :Rθ=?cosθ-sinθ

sinθcosθ? ,avecθ?]-π, π])

2.Rθ×Rθ?=Rθ+θ?(SO2(R) est un sous-groupe commutatif)

3.R-1quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1