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Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2018/2019 1

Bac Terminale C Aix-Marseille 1981 : le

problème de Bâle

L'objet du problème est de déterminer la somme de la série des inverses des carrés, couronnement du

problème, somme obtenue après quelques péripéties picaresques.

La recherche de la valeur exacte de cette somme est connue sous le nom de " problème de Bâle », lieu de

naissance de Jacques Bernoulli et de Léonhard Euler qui s'intéressèrent l'un et l'autre à cette recherche aux

XVIIème et XVIIIème siècle respectivement.

On pourra comparer le niveau de ce sujet avec celui des sujets posés lors des récentes sessions du CAPES.

1. Le sujet

A. Une suite majorée (résultat de Bernoulli)

On considère les suites u et v définies sur N* par 11=u et 11=v et pour tout entier 2³n par :

2221...

2 1 1 1 nun+++= ; ( )nnvn´-++´+´+=11...321 2111

1. Trouver deux réels A et B tels que pour tout entier 2³n : ( )nB

nA nn+-=´-111.

En déduire que pour tout entier 2

³n : nvn12-=

2. Montrer que la suite u est croissante, que pour tout n élément de N* : nnvu£ et que la suite u est majorée.

B. Une affaire de fonctions trigonométriques et d'intégrales On rappelle que si q est un nombre complexe différent de 1 et n un entier naturel : qqqqq nn

11...1

12

1. Soit t un élément de l'intervalle []p,0 .

On pose pour tout entier 2

³n : ( )

n k n tktC 1 cos et ( ) n k n tktS 1 sin

1.1. Calculer le nombre complexe ()()tSitCnn+.

En déduire que si t est un élément de

]]p,0 : ( )

2sin21cos.2sin

tt ntn tC n = et si 0=t, ()nCn=0 .

1.2. L'application Cn de []p,0 dans R est-elle continue sur []p,0 ?

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G. Julia, 2018/2019 2

2. Vérifier que pour tout t élément de ]]p,0 : ( )

2sin212sin

21tt
n tC n =+ et montrer que l'application de ]]p,0 dans

R qui à t associe

2sin212sin

tt n peut être prolongée en une application gn continue sur []p,0 .

3. Montrer que pour tout entier n de N* : 2021cos2ndttntt=

99
8: p p.

En déduire que

( )dttCttunn.)) 99
8: p p022.

4. Vérifier que 6221

2 02p pp=)) 99
8: -.dttt et que pour tout entier n de N* : ( )dttgttunn.)) 99
8: p pp022221 6

C. Une limite déterminée par Euler en 1735

On considère la fonction numérique f définie sur []p,0 par ()20=f et pour tout t élément de ]]p,0 par

2sin2 2 tt t tfp-

1. Montrer que f est continue sur []p,0 ; en déduire l'existence d'un réel M tel que pour tout t élément de

[]p,0 : ()Mtf££0 2.

Soit a un réel fixé tel que pa<<0 .

2.1. Montrer que pour tout entier naturel n : ( )Mdttntfa a£+.0212sin

2.2. Montrer que f est dérivable sur []pa, et que la fonction dérivée f' est continue sur ce segment. En

déduire l'existence d'un réel M' tel que pour tout t élément de []pa, : ()''Mtf£.

2.3. On pose pour tout entier naturel n : ( ).+=p

adttntfIn2

12sin . Montrer en utilisant une intégration par

parties que 0lim= +¥®nnI

3. Déduire de la question 2 que : 06lim

2 99
8: -+¥®nnup

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2. Eléments de correction

A. Une suite majorée

On considère les suites u et v définies sur N* par 11=u et 11=v et pour tout entier 2³n par :

2221...

2 1 1 1 nun+++= ; ( )nnvn´-++´+´+=11...321 2111
1. () ( )nnBnBA nB nA

11--+=+-.

Par identification :

234=-=+Û=-+³"10122018BBABnBAniagilbertjul, c'est-à-dire que

234-==

11 BA.

Pour tout entier 2

³n : ( )nnnn1

11

11--=´-

On en déduit que pour tout entier 2

³n 

8: n k n kkv2 1

111, ce qui crée une somme télescopique dont ne

subsiste, par sommation, que le premier et le dernier terme : nnvn12111-=) 8:

2. Pour tout n élément de N* : 211

nuunn=-+ . La différence de deux termes consécutifs de la suite u étant toujours strictement positive, la suite u est strictement croissante.

Pour tout entier 2

³k : ( )kkk´-<1112

Donc, par comparaison terme à terme, pour tout entier 2

³n : ( )

nk knk k kkk222111 d'où l'on déduit : ( )nnk knk k nvkkkugj=´-+<+=

22211111 . Par définition des termes de rang 1, on peut écrire une inégalité de

même sens, mais au sens large cette fois :

11vu£.

Finalement, pour tout n élément de

N* : nnvu£

Le réel 2 étant un majorant de la suite v, c'est aussi un majorant de la suite u. La suite u étant croissante et

majorée par 2, elle converge et sa limite est inférieure ou égale à 2.

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B. Une affaire de fonctions trigonométriques et d'intégrales On rappelle que si q est un nombre complexe différent de 1 et n un entier naturel : qqqqq nn

11...1

12

1. Soit t un élément de l'intervalle []p,0 .

On pose pour tout entier 2

³n : ( )

n k n tktC 1 cos et ( ) n k n tktS 1 sin

1.1. ( ) ( ) ( )

nk ktki nk k nn ktitktSitC 11 sincose. Ceci apparaît comme une somme des termes d'une suite géométrique dont le premier terme est tie et dont la raison est tie.

Lorsque 0

=t, la raison est égale à 1, et l'on obtient : ( )nC nk k n 1 10.

Lorsque t est un élément de

]]p,0 , la raison est différente de 1 : 99
8: 99
8: 8:) 8:-) 8:

222222

11titititn

itnitni ti titni ti nntSitC eeeeee e eee et ()tCn en est la partie réelle. 99
8:) 8:) 99
8:) 8: 99
8:) 8: 8: 99
8:) 8:-) 99
8:) 8:- 2sin2 sin

21sin21cos

2 sin22 sin2 2018
21
ttn t nitn titn i tSitCagibertjuli tni nn e

La partie réelle de ce nombre complexe est :

8:) 8: 8: 2 sin2 sin .21costtn t ntC n

1.2. L'application Cn de []p,0 dans R est continue sur l'intervalle semi-ouvert]]p,0 en tant que cocktail de

fonctions continues sur cet intervalle. Il reste à examiner la continuité éventuelle en zéro.

On rappelle à cet effet une limite de référence :

1sinlim

0= ®h h h. On l'utilisera à plusieurs occasions en faisant apparaître un quotient de ce genre. ( )( )0 2 sin2 22
sin .21coslimlim

00ntntCntt

tntn t nntCgj== 9 999
8: 8:) 8: 8:) 8: 8:

L'application C

n est aussi continue en zéro, Cn est continue sur l'intervalle fermé []p,0 .

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2. Pour tout t élément de ]]p,0 :

8:-) 8: 8: 8:

2sin212sin21

2sin21

2sin21cos.2sin2ttntntntntntntn

gjulia et donc ( )1 2 sin212sin 2 sin2 sin212sin 2- 8:) 8: 8:) 8:-) 8: tt n tt tn tC gjulian puis ( ) 8:) 8: 2 sin212sin 21tt
n tC gjulian ( )12 2 sin2

212212sin

12lim 2 sin212sin lim00+=

8:´+)

8: 8:) 8:

®®ntt

t nt n n tt ntt

L'application de l'intervalle semi-ouvert

]]p,0 dans R qui à t associe

2sin21sin

tt n peut être prolongée en une application g n continue sur le segment[]p,0 en posant : ( )12 2 sin212sin lim00+= 8:) 8:

®ntt

n gtn. En résumé, la fonction continue sur l'intervalle fermé []p,0 : ()tCtn21+a est identique à la fonction gn définie par : 8:) 8: 2 sin212sin tt n tg n sur le semi-ouvert ]]p,0 et prolongée par :()120+=ngn 3.

Soit un entier n de N*.

Par une première intégration par parties :

dtntt nnttt ndttnttsin11sin21cos20 02 02..)

8:--

66
57
99
8: 99
8: pp p ppp

Par une deuxième intégration par parties :

p ppp ppppp02 000 sin1cos11cos1cos11sin1 '6 57

8:--=+

'6 57)

8:--=)

8:- ..tnnntt ndttnnntt ndttnt.

On obtient :

2 0322

021sin1cos11sin21cos2nntnntt

nnttt ndttntt= 66
57

8:-+))

99
8: 99
8: p p pppp

Par définition de C

n : ( )( ) 2018
012

02cos22

iagilbertjul dtktttdttCtt nk k n.. 66
57
99
8: 99
8: =pp pp.

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Par additivité de l'intégrale, on peut intervertir la sommation finie  =nk k

1.... et le symbole intégrale :

( )nnk knk k nukdtktttdttCtt iagilbertjul 99
8: 99
8: 99
8: 12 102
02

1cos22

2018
pp pp

4. 66221

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