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JOSEPH JOHN THOMSON was the son ofJoseph James Thomson and his wife, nee Emma in Manchester J J Thomson was born on 18 December 1856 It

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TD de M´ecanique

Moment cin´etique (1) : Atome de Thomson

ÜCf CoursM6

En 1904, le physicien anglais Joseph JohnThomson(1856-1940) proposa de pr´esenter l"atome d"hydrog`ene par un nuage sph´erique de centreO, de rayonRet de charge+euniform´ement r´epartie.`A l"int´erieur de cette sph`ere, fixe dans le r´ef´erentiel dulaboratoire, se d´eplace librement un ´electron de massemponctuelle et de charge-e.

Le r´ef´erentiel du laboratoireRg(O,-→ex,-→ey,-→ez) est assimil´e un r´ef´erentiel

galil´een. En l"absence de toute action ext´erieure, l"´electronMest soumis `a une unique force d"origine ´electrostatique qui tend `a attirer vers le point O: -→F=-k--→OMaveck=14π?0e 2R3. Cette force se comporte comme une force de rappel ´elastiquedue `a un ressort de raideurket

de longueur `a vide nulle, dont l"autre extr´emit´e serait fix´ee enO.`A l"instantt= 0, une perturbation ´ecarte l´eg`erement l"´electron de sa position d"´equilibre avec

les conditions initiales :--→OM(t= 0) =---→OM0=r0-→exet-→v(t=O) =-→v0=v0-→ey.

Donn´ees :

m= 9,11.10-31kg;e= 1,6.10-19C;1

4π?0= 9.109uSI

Vitesse de la lumi`ere dans le vide :c= 3.108m.s-1.

Equation d"une ellipse en coordonn´ees cart´esiennes avecorigine enO, d"axes de sym´etrieOxet

Oy:x2 a2+y2b2= 1.

1)Montrer qu"il y a conservation du moment cin´etique enOde l"´electron et d´eterminer sa

valeur en fonction der0,v0etm. En d´eduire que son mouvement reste confin´e dans le plan (Oxy).

Rq :La position deMest donc rep´er´ee dans les bases (-→ex,-→ey) et (-→er,-→eθ) avec comme vecteurs

positions respectifs :--→OM=x-→ex+y-→eyet--→OM=r-→er(pourr=?

2)Exprimer la pulsationω0du mouvement deMen fonction de?0,e,metR. Calculer la

valeur deRpour laquelle la pulsationω0correspond `a la fr´equenceν0d"une des raies du spectre

deLymande l"atome d"hydrog`ene (λ0= 121,8nm).

3)D´eterminer les expressions dex(t) ety(t). Montrer que la trajectoire du pointMest une

ellipse (ellipse deHooke) dont vous pr´eciserez les longueursaetbdes demi axes. 4) `A quelles condition cette trajectoire est-elle circulaire?Que se passe-t-il siv0= 0?

5)L"´electron acc´el´er´e perd de l"´energie par rayonnement. Pour tenir compte de ce ph´enom`ene,

une force suppl´ementaire de freinage est introduite. Ellea la forme d"une force de frottement de type visqueux :-→f=-h-→v, o`uh, coefficient de freinage, est positif. Quelle est l"´evolution du moment cin´etique enOde l"´electron au cours du temps? Dire qualitativement ce que sera le mouvement de l"´electron pour de faibles amortissements.

Commenter quant `a la stabilit´e de l"atome.

TD de M´ecanique(Je22/01)2008-2009

Solution

•Syst`eme ´etudi´e :{M,m,-e}, ´electron dans le r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´eenRg.

•Bilan des forces : le poids et l"interaction ´electrostatique exerc´ee par le proton (O). Le poids

´etant n´egligeable devant cette derni`ere force, on a : -→Fext=-→F=-k--→OMaveck=1

4π?0e

2R3. •Cette force est centrale, doncMO(-→F) =--→OM×-→F=-→0 .

1)•Le th´eor`eme du moment cin´etique pourMappliqu´e enOpoint fixe du r´ef´erentiel galil´een

R g:?d-→LO/Rg(M) dt? /Rg=MO(-→F) =-→0?-→LO/Rg(M) =--→OM×m-→vM/Rg=--→Cste

•Le moment cin´etique ´etant un vecteur constant, ce vecteurse calcule en consid´erant un instant

particulier pour lequel on connaˆıt les expressions du vecteur position--→OMet de la vitesse-→vM/Rg.

C"est le cas `at= 0 :-→LO/Rg(M) =---→OM0×m-→v0=r0-→ex×mv0-→ey=mr0v0-→ez

D"o`u :

-→LO/Rg(M) =--→Cste=mr0v0-→ez

•Comme?t-→LO/Rg(M)? T= (--→OM,-→vM/Rg), on en d´eduit que la trajectoire (constitu´ee

par l"ensemble des pointsMcontenus dans les plansT) est tout le temps orthogonale `a une direction constante qui celle de-→LO/Rg; en l"occurence,-→ez. ÜDonc, la trajectoire deMest contenue dans le plan (Oxy).

2)LePrincipeFondamental de laDynamique appliqu´e `a l"´electron donne :

m -→aM/Rg=-→F, ce qui s"´ecrit aussi :md2--→OM avec :ω20=k m, soit :ω0=?1

4π?0e

2mR3. •Si on imposeω0= 2πν0= 2πc

λ0, on en d´eduit que :R=?λ2016π3?0e

2mc2? 1/3 Pour l"A.N., il suffit d"´ecrireRsous la forme :R=?λ204π214π?0e 2mc2? 1/3 = 100pm

Rq :Ce r´esultat est coh´erent avec la longueur caract´eristique de la dimension d"un atome.

3)•La solution g´en´erale vectorielle de l"´equation du mouvement (?) est :

OM=-→Acos(ω0t) +-→Bsin(ω0t)

On en d´eduit l"expression g´en´erale de la vitesse de l"´electron : vM/Rg=-ω0-→Asin(ω0t) +ω0-→Bcos(ω0t)

•Ces deux expressions g´en´erales doivent v´erifier les deuxconditions initiales :--→OM(t= 0) =-→A=r0-→exet-→vM/Rg(t= 0) =ω0-→B=v0-→ey, soit :

OM=r0cos(ω0t)-→ex+v0

ω0sin(ω0t)-→ey??x(t) =r0cos(ω0t)

y(t) =v0

ω0sin(ω0t)

•Comme cos2(ω0t) + sin2(ω0t) = 1 on en d´eduit l"´equation de la trajectoire : x 2 a2+y2b2= 1, avec :a=r0etb=v20ω20 ÜLa trajectoire est une ellipse de centreO, de demi-grand axeaselonOxet de demi-petit axe bselonOy.

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009TD de M´ecanique(Je22/01)

4)•Pour que la trajectoirea priorielliptique soit circulaire, il faut quea=b, soit :v0=r0ω0.

•Lorsque la vitesse initiale de l"´electron est nulle :b=v0

ω0= 0.

Cl :L"ellipse s"assimile `a un segment 2a: le mouvement est rectiligne selonOxentre l"abscisse aet l"abscisse-a(on retrouve l"oscillateur harmonique `a une dimension). Rq :On remarque l"importance des conditions initiales dues `a la perturbation `at= 0, elles vont fixer la nature de la trajectoire de l"´electron dans l"atome.

5)•Il faut prendre en compte une force de freinage dont il faut calculer le moment enO:

M O(-→f) =--→OM×-→f=--→OM×(-h-→v) =-h D`es lors, le th´eor`eme du moment cin´etique s"´ecrit : ?d-→LO/Rg(M) dt? /Rg=MO(-→F) +MO(-→f) =-→0-hm-→LO/Rg(M) d-→LM/O dt? /Rg+hm-→LM/O=-→0→-→LM/O(t) =-→LM/O(0)e-tτ

Cl :Le moment cin´etique de l"´electron enOtend vers-→0 avec une constante de tempsτ=mh.

•LeP.F.D.pour l"´electron s"´ecrit d´esormais : m d2--→OM avecω0=?k metQ=mω0h

ÜOn reconnaˆıt l"´equation diff´erentielle d"unoscillateur harmonique (spatial) amorti: le rayon

vecteurr=OMtend vers 0.

Cl :Mˆeme si l"amortissement (qui traduit le rayonnement de l"´electron) est faible, l"´electron va

se diriger inexorablement vers le centreOen tourbillonnant dans une trajectoire elliptique d"aire de plus en plus faible.

Rq :L"atome tel que l"a d´ecrit iciThomsonne peut pas ˆetre stable. NielsBohrcr´ee en 1913 un

autre mod`ele d"atome pour rendre compte de la stabilit´e atomique : les orbites des ´electrons sont

alors quantifi´ees. ce fut le dernier mod`ele ob´eissant `a la physique classique avant l"av`enement de

la physique quantique. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1