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MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 1/8Circuits lin´eaires en r´egimetransitoire1 Conditions initiales et continuit´eOn va ´etudier ce qui se passe entre entre deux r´egimes continus = r´egime transi-

toire. Les grandeurs ´electriques ne sont plus constantes.Rappelons les conventions et r´esultats pour la bobine et le condensateur : i uL u=Ldi dt

L inductance en henry (H).

i uC q q=Cu i=dq dt=Cdu dt

C capacit´e en farad (F).

Les circuits ´etant lin´eaires, toute grandeur ´electriquex(t) est d´ecrite par une ´equation diff´erentielle lin´eaire `a coefficient constant. On d´etermine les constantes d"int´egration grˆace aux conditions initiales en utilisant : - la continuit´e de la tension aux bornes du condensateur (sinoni=Cdu dttendrait vers l"infini ce qui est physiquement impossible); - la continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine (sinonu=Ldi dttendrait vers l"infini ce qui est physiquement impossible).

2 R´egime libre du circuit RC

2.1 ´Evolution de la tension aux bornes du condensateur iquCE RI UCE R Le condensateur est initialement charg´e sous une tensionE. En r´egime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvertU=EetI= 0 (E/R dans la r´esistance). At= 0, on ouvre l"interrupteur, le condensateur se d´echarge dans la r´esistance : u=Ri=-Rdq dt=-RCdu dt du dt+u

τ= 0 avecτ=RC

La solution est de la formeu(t) =Aexp(-t/τ).

u(0) =A=Epar continuit´e de la tension aux bornes du condensateur.

Finalementu(t) =Eexp(-t/τ)

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 2/8 u(t) t E du dt? t=0=-E

La tangente `a l"origine d"´equation-E

τt+Ecoupe l"axe des abscisses ent=τ.

D"autre part :

pourt=τ,u=Eexp(-1) = 0,37E pourt= 2τ,u=Eexp(-1) = 0,14E pourt= 3τ,u=Eexp(-1) = 0,05E 2.2

´Evolution de l"intensit´e du courant

i=-dq dt=-Cdu dt, ce qui donne i(t) =E

Rexp(-t/τ)

i(t) t E R Le condensateur assure la continuit´e de la tension `a ses bornes mais pas celle de l"intensit´e du courant.

2.3´Etude ´energ´etique

Calculons l"´energie re¸cue (on est bien en convention r´ecepteur pour la r´esistance) et dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance : W=? Pdt=? uidt=E2 R? 0 exp(-2t/τ)dt=E2 R? exp(-2t/τ) -2/τ? 0 W=1

2CE2´energie emmagasin´ee dans le condensateur.

3 R´egime libre du circuit RL

3.1

´Evolution de l"intensit´e du courant

I U L R i u L R E Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 3/8En r´egime continu, la bobine se comporte comme un interrupteur ferm´eU= 0 et

I=E/R.

At= 0, on supprimeE:

u=Ldi dt=-Ri di dt+i

τ= 0 avecτ=L/R

La solution est de la formei(t) =Aexp(-t/τ).

i(0) =A=E/Rpar continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine.

Finalementi(t) =E

Rexp(-t/τ)

i(t) t E R 3.2 ´Evolution de la tension aux bornes de la bobine u=Ldi dt, ce qui donne u(t) =-Eexp(-t/τ) u(t) t -Eτ 3.3

´Etude ´energ´etique

Calculons l"´energie re¸cue (on est en convention g´en´erateur pour la r´esistance) et

dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance : W=? Pdt=? -uidt=E2 R? 0 exp(-2t/τ)dt=E2 R? exp(-2t/τ) -2/τ? 0 W=1 2E 2RL R=1

2LI2´energie emmagasin´ee dans la bobine.

4 R´egime libre du circuit RLC s´erie

4.1

´Equation diff´erentielle

iquCL R E Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 4/8 (1)u=Ri+Ldi dt avecu=q/Ceti=-dq dtdonneq

C=-Rdq

dt-Ld2q dt2soit (2) d2q dt2+R Ldq dt+1

LCq= 0

Avecq=Cu, (2) donne

d 2u dt2+R Ldu dt+1

LCu= 0

En d´erivant (1) et en utilisantu=q/Ceti=-dq

dt, on obtient d 2i dt2+R

Ldidt+1

LCi= 0

4.2 Diff´erents r´egimes

d2udt2+ 2αdu dt+ω20u= 0 r´egime

2α=R

L,ω20=1

LCetQ=ω0

2α Q >1 2 u= e-αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) pseudo-p´eriodique

Ω2=ω20-α2

Q <1 2 u= e-αt(A?eΩ?t+B?e-Ω?t) ap´eriodique

Ω?2=α2-ω20

Q=1 2 u= e-ω0t(A??t+B??) critique

Qs"appelle le facteur de qualit´e.

On d´etermine les constantes grˆace aux conditions initiales en utilisant la conti- nuit´e de la tension aux bornes du condensateur et la continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine. Eu(t) t

La pseudo-p´eriode est ´egale `aT=2π

ω=2π

ω20-α2=2π

ω0?

1-1 4Q2 4.3

´Etude ´energ´etique

En multipliant (1) pari, on obtient

ui=Ri2+Ldi dti commei=-dq dtetq=Cu, on a -Cudu dt=Ri2+Ldi dti d dt? 1

2Cu2+1

2Li2? =-Ri2 L"´energie emmagasin´ee dans le condensateur et la bobine `a un instant t,W(t) =1

2Cu2+1

2Li2, diminue au cours du temps, elle est dissip´ee par effet Jouledans la

r´esistance. Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 5/85 R´eponse d"un circuit RC `a un ´echelon de tension5.1´Evolution de la tension aux bornes du condensateur

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