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A propos de la denition de la limite

d'une fonction en un point

Daniel PERRIN

Les lignes qui suivent ont pour but de clarier la denition de la limite d'une fonction en un point en explicitant les deux possibilites couramment adoptees et en donnant quelques arguments en faveur de l'une d'entre elles. Mon opinion, c'est que ce choix n'a pas une grande importance du point de vue mathematique, mais que c'est un point qu'il faut avoir bien compris au CAPES, pour plusieurs raisons. D'abord, quel que soit le choix eectue, il faut le justier et le defendre en veillant a la coherence de ce qu'on ecrit. En eet, dans chaque cas, le sujet recele quelques pieges qu'il faut savoir eviter. Ensuite, le jury lui-m^eme n'est pas toujours au clair sur la question et les opinions des membres d'un m^eme jury peuvent ^etre divergentes et parfois tres arr^etees sur la question

1, ce qui necessite encore plus de precision.

1 Les deux denitions

1.1 Les enonces

Soitfune fonction denie sur une partieEdeRet a valeurs reelles ou complexes et soitaun point adherent aE. Rappelons que cela signie que dans tout intervalle contenantail y a au moins un point deE. On note alorsa2E. C'est bien entendu le cas siaest dansE. C'est aussi le cas, par exemple, siE=]a;b[ :aest adherent aE. On peut d'ailleurs, si l'on ne veut pas prendre de risques, se limiter au cas ouEest un intervalle ou une reunion d'intervalles.

1.1 Denition.On dit quefa pour limitelenasi on a :

8 >0,9 >0,8x2E,jxaj< =) jf(x)lj< .1. Voir le texte http ://skhole.fr/l-imposture-de-l-enseignement-scientique-dans-les-

lycees-francais-par-bertrand-rungaldier

1.2 Denition.On dit quefa pour limitelenasi on a :

8 >0,9 >0,8x2E,x6=aetjxaj< =) jf(x)lj< .

1.2 Similitudes et dierences

La seule dierence entre les deux denitions c'est que dans la deuxieme on ne regarde que les pointsx2Edierents dea. Sian'est pas dansE, les deux denitions concident puisquexne peut ^etre egal aa. C'est un point essentiel car cela recouvre notamment le cas du calcul du nombre derive d'une fonction. En eet, l'accroissement f(x)f(a)xan'est pas deni ena. C'est le cas par exemple quand on cherche la limite de sinx=xen 0. Siaest dansEles deux denitions ne sont pas equivalentes. Avec la premiere denition une fonction ne peut avoir d'autre limite en aque sa valeurf(a). Autrement dit, si elle a une limite en un pointaou elle est denie c'est qu'elle est continue ena. En eet, il sut d'appliquer la denition avecx=a. On trouvejf(a)lj< et ceci pour tout >0, ce qui imposef(a) =l. Avec la deuxieme denition, en revanche,fpeut avoir une limite sans ^etre continue. Considerons par exemple la fonctionfdenie surRparf(x) = 0 six6= 0 etf(0) = 1. Avec la premiere denitionfn'a pas de limite en 0, avec la deuxieme elle admet la limite 0. Je resume: les denitions sont equivalentes dans deux cas essentiels :

1) si la fonction est continue ena,

2) si la fonction n'est pas denie ena.

Elles divergent dans le cas d'une fonction continue pour laquelle on rem- place la valeur enapar une valeur fantaisiste. Avec la denition 1) elle n'a pas de limite, avec la denition 2) elle a pour limite la valeur qui la rend continue.

2 Discussion

2.1 Le choix de la denition 1

La premiere denition est celle qui etait donnee autrefois

2dans l'ensei-

gnement secondaire, la seconde est celle que l'on donne souvent dans les cours2. Precisement a partir de 1983 { car auparavant c'etait plut^ot la deuxieme { et jusqu'au

milieu des annees 1990. Depuis, on ne dit plus precisement ce qu'est une limite. Avec le retour des quanticateurs la denition va peut-^etre refaire surface. de L1, L2 a l'Universite, en particulier en pensant aux exemples comme celui ci-dessus. Il faut bien comprendre que le choix de l'une ou de l'autre denition n'est pas d'une importance mathematique capitale pourvu qu'on soitcoherent. Cependant je vous propose, pour le CAPES, d'adopter la denition 1. At- tention, ce choix n'est pas evident et d'autres collegues font legitimement le choix oppose! Voici trois arguments, dont aucun n'est tres convaincant : argument d'autorite C'est la denition de Bourbaki, notre ma^tre a tous. argument de commodite C'est la denition qui a ete utilisee dans l'enseignement secondaire et qui va peut-^etre y revenir (mais les programmes ne sont pas clairs la-dessus). Or vous vous destinez a ^etre professeurs dans le second degre ... et il y a beaucoup de profs du secondaire dans le jury de CAPES. argument mathematique La denition 2 conduit a un (petit) canular en ce qui concerne la compo- sition des limites. Voici le resultat que l'on voudrait avoir :

2.1 Theoreme.Soientf:E!Retg:F!Rdeux fonctions avec

f(E)F(de sorte quegfest denie surE). Soita2E. On suppose que fadmet la limitebenaavecb2Fet quegadmet la limitelenb. Alors gfadmet la limitelena. Ce theoreme est vrai si on utilise la premiere denition. On se donne >0. Vu l'hypothese surgil existe >0 tel que l'on ait jg(y)lj< des quejybj< . Mais,etant maintenant donne, il existe >0 tel quejf(x)bj< des quejxaj< . Si on ajxaj< on a doncjg(f(x))lj< ce qui montre quegfa pour limitelena. En revanche, le theoreme est faux si on utilise la deuxieme denition. Voici un contre-exemple : on prendfconstante egale a 0 surRetgdenie parg(x) = 0 pourx6= 0 etg(0) = 1. En n'importe quel pointa2R,fa pour limite 0. Or, au point 0 la fonctionga pour limite 0 (avec la denition

2!). Pourtantgfest constante et egale a 1 donc admet la limite 1 ena.

2.2 Le choix de la denition 2

Si l'on tient a utiliser la denition 2, ce qui est tout a fait possible, on peut rectier l'enonce du theoreme 2.1 en imposant quegsoit continue enb.

2.2Remarque.Pour comprendre la necessite de l'hypothesef(E)F, on

pensera a l'exemple suivant :E=]0;1],f(x) =xln(x),a= 0,b= 0, F=]0;+1[,g(x) =xln(x),l= 0. La composeegfn'a aucun sens.

2.3 La coherence

Quel que soit le choix eectue, il faut veiller a lacoherence. En parti- culier, si vous parlez de limites a droite ou a gauche

3il y a exactement

le m^eme dilemmeet il faut le resoudre de la m^eme maniere sous peine de dire des b^etises. Je m'explique. Soitfune fonction denie sur un intervalle E=]a;b[ ouE= [a;b[ aveca < b. Les deux denitions, pour la limite a droite enasont les exactement les m^emes que 1.1 et 1.2, (mais on s'est restreint a

E, donc a droite dea) :

2.3 Denition.On dit quefa pour limitela droite enasi on a :

8 >0,9 >0,8x2E,jxaj< =) jf(x)lj< .

2.4 Denition.On dit quefa pour limitela droite enasi on a :

8 >0,9 >0,8x2E,x6=aetjxaj< =) jf(x)lj< .

On denit de m^eme les limites a gauche et le theoreme en vue est le suivant :

2.5 Theoreme.Soitfune fonction denie sur un intervalle ouvert conte-

nanta, sauf peut-^etre ena. Alorsfadmet une limitelenasi et seulement si elle admet enaune limite a gauche et une limite a droite et si ces limites sont egales.

Ce qu'il ne faut pas faire

4c'est changer d'^ane au milieu du gue. Considerons

toujours la fonction nulle surRsauf en 0 ou elle vaut 1. Les deux erreurs a ne pas faire sont les suivantes : Denir la limite avec 1.1 et les limites a gauche et a droite avec 2.4. En eet, alors, la fonction admet des limites a gauche et a droite egales, mais pas de limite ena. Denir la limite avec 1.2 et les limites a gauche et a droite avec 2.3. En eet, alors, la fonction n'a de limite ni a gauche ni a droite, mais elle a une limite ena.3. Ce qui n'est pas du tout obligatoire au niveau du CAPES.

4. Voir le texte cite dans la Note 1.

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