25 jui 2019 · Quel mod`ele mathématique ? EGRIN 2019 τ(p, ρs) = {µf p mod`ele de Drucker -Prager, Drucker-Prager (DP) et pression lithostatique (PL)
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25 jui 2019 · Quel mod`ele mathématique ? EGRIN 2019 τ(p, ρs) = {µf p mod`ele de Drucker -Prager, Drucker-Prager (DP) et pression lithostatique (PL)
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Modelisation et simulations numeriques d'ecroulements de colonnes granulaires denses
Laurent Chupin, Thierry Dubois & Minh Phan
Laboratoire de Mathematiques Blaise Pascal
CNRS UMR 6620
Universite Clermont Auvergne
25 juin 2019
EGRIN 20191/2225 juin 2019 1 / 22
Introduction
Objectifs
Ecoulements pyroclastiquesPhoto : 19 avril 1993 - Jacques Guarinos - Lascar (Chili)EGRIN 20192/2225 juin 2019 2 / 22
Introduction
Objectifs
Ecoulements pyroclastiquesPhoto : 19 avril 1993 - Jacques Guarinos - Lascar (Chili)Ecoulement basalEGRIN 20192/2225 juin 2019 2 / 22
Introduction
Objectifs / Methodologie
Experiences : Olivier Roche (LMV, UCA)
EGRIN 20193/2225 juin 2019 3 / 22
Introduction
Objectifs / Methodologie
Experiences : Olivier Roche (LMV, UCA)
Simulations numeriques
EGRIN 20193/2225 juin 2019 3 / 22
Introduction
Objectifs / Methodologie
Experiences : Olivier Roche (LMV, UCA)
Simulations numeriquesQuel modele mathematique?
EGRIN 20193/2225 juin 2019 3 / 22
ModelisationRheologie
Le modele mathematique
Ecoulement granulaire modelise par les equations de Navier-Stokes incompressibles s@u@t + div(u u) div+rp=sg divu= 0 ousest la densite des particules (1500 kg=m3)Rheologie visco-plastique
(= 2Du+(p;s)DukDuksiDu6= 0 kk (p;s)si Du= 0 ouDu=12 ru+truetkk= 12 P i;j2ij1=2EGRIN 20194/2225 juin 2019 4 / 22
ModelisationRheologie
Le modele mathematique
Rheologie visco-plastique
(= 2Du+(p;s)DukDuksiDu6= 0 kk (p;s)si Du= 0 ouDu=12 ru+truetkk= 12 P i;j2ij 1=2Seuil de plasticite
(p;s) =( fpmodele de Drucker-Prager, fpL(s)pression lithostatique, oufest le coecient de friction du materiau granulaire (statique) pL(s) =sg(Hy)
Existence de solutions : Chupin, Mathe (2017)
EGRIN 20195/2225 juin 2019 5 / 22
ModelisationRheologie
Le modele mathematique
Rheologie visco-plastique
(= 2Du+(p;s)DukDuksiDu6= 0 kk (p;s)si Du= 0 ouDu=12 ru+truetkk= 12 P i;j2ij 1=2Reecriture de la rheologie
= 2Du+(p;s) ou (=DukDuksiDu6= 0;2si Du= 0;
avec =n 2L2( )22;kk 1;tr() = 0;t=oR2EGRIN 20195/2225 juin 2019 5 / 22
ModelisationProjection
Reformulation de la plasticite : projectionPropositionPour toutr >0, on a
=P(+rDu)()(=DukDuksiDu6= 0;2siDu= 0
ouP:L2( )22!(projection)dans Chupin, Dubois, A bi-projection method for Bingham type ows,Computers with Applications,72(2016).EGRIN 20196/2225 juin 2019 6 / 22ModelisationProjection
Reformulation de la plasticite : projectionPropositionPour toutr >0, on a
=P(+rDu)()(=DukDuksiDu6= 0;2siDu= 0
ouP:L2( )22!(projection)dans Chupin, Dubois, A bi-projection method for Bingham type ows,Computers withApplications,72(2016).
Remarque : Si2L2(
)22est un tenseur symetrique, a trace nulle, alors on a ppt dans P () =(sikk 1; kksikk 1:EGRIN 20196/2225 juin 2019 6 / 22ModelisationConditions aux limites a seuil
Conditions aux limites a seuil
On impose sur =@
les conditions un= 0;(t=b[n]+utjutjsiut6=0; jtj b[n]+siut=0: ou 8 := 2Du+(p;s)pI u t=u(un)n t=n(n)nn Ionescu, Mangeney, Bouchut, Roche, J. of Non-Newton. Fluid Mech.,219(2015).Reecritureviaune projection
t=b[n]+t t=Pb(trbut); rb>0: avecPb:L2( )2!b=fv2L2( )2;jvj 1gEGRIN 20197/2225 juin 2019 7 / 22ModelisationConditions aux limites a seuil
Modele granulaire
Le modele mathematique pour l'ecoulement granulaire s'ecrit s@u@t + div(u u)2divDu+rp=sg+ div(p;s);
=P+rDu; r >0; divu= 0 un= 0sur ; t=b[n]+t;t=Pb(trbut); rb>0sur ; avec (p;s) =(fp;Drucker-Prager (DP) fpL(s)Pression Lithostatique ( PL)EGRIN 20198/2225 juin 2019 8 / 22ModelisationConditions aux limites a seuil
Objectif de l'expose
Comparer les modeles de plasticite
Drucker-Prager (
DP ) et pression lithostatique ( PL en confrontant simulations numeriques et resultats d'experiencesExperiences : O. Roche (LMV, UCA)
EGRIN 20199/2225 juin 2019 9 / 22
NumeriqueFormulation Level Set
Formulation Level Set>0
air; air <0 s; s; f; b1Interface :fx2 ; (x) = 0g2Transport de l'interface : @@t + div(u) = 038 :() =s+ (airs)H() () =s+ (airs)H() f() =f(1H()); b() =b(1H())Milieu ambiant (Air) :air= 105etair= 1
Milieu granulaire :s1ets1500EGRIN 201910/2225 juin 2019 10 / 22NumeriqueDiscretisation en temps
Schema de discretisation en temps
Schema de bi-projection
XProjection du tenseur plastique
XSchema de projection pour le couplage vitesse/pression (Navier-Stokes) Chupin, Dubois, Computers with Applications (2016)Chalayer, Chupin, Dubois, SINUM (2018)
EGRIN 201911/2225 juin 2019 11 / 22
NumeriqueDiscretisation en temps
Le schema de bi-projection en temps
On suppose que(n;un;pn;n;unt;nt)sont connus1Calcul de la fonction Level Set :n+1 n+1nt + div(unn) = 0 u nest a divergence nulle.Schema explicite (en pratique RK3 TVD)2Renormalisation pour s'assurer quen+1reste une fonction distance signee3Calcul de
8>>>>><
n+1=(n+1) n+1=(n+1) n+1 f=f(n+1) n+1 b=b(n+1)EGRIN 201912/2225 juin 2019 12 / 22NumeriqueDiscretisation en temps
Le schema de bi-projection en temps4Cacul de(~un+1;n+1;~un+1t;n+1t) (n+1+n)2 (~un+1un)t div(2n+1D~un+1) (n+1+n)2 div(un un) +rpn= div(n+1n+1); n+1=Pn+1+rn+1D~un+1+(nn+1); 2[0;1]; n+1t=Pbn+1;k+1 t+rbn+1 b~un+1t+(ntn+1t)sur s; n+1t=n+1 b[n+1n]+n+1tsur s; ~un+1n= 0sur ; n+1@~ut@n n+1 +Cn+1 f~un+1t= 0surns:(un+1;n+1;~un+1t;n+1t)sont couplees)Algorithme de point xe de PicardEGRIN 201912/2225 juin 2019 12 / 22
NumeriqueDiscretisation en temps
Le schema de bi-projection en temps4Cacul de(~un+1;n+1;~un+1t;n+1t) (n+1+n)2 (~un+1un)t div(2n+1D~un+1) (n+1+n)2 div(un un) +rpn= div(n+1n+1); n+1=Pn+1+rn+1D~un+1+(nn+1); 2[0;1]; n+1t=Pbn+1;k+1 t+rbn+1 b~un+1t+(ntn+1t)sur s; n+1t=n+1 b[n+1n]+n+1tsur s; ~un+1n= 0sur ; n+1@~ut@n n+1 +Cn+1 f~un+1t= 0surns:Convergence geometrique de raison(1)
Chalayer, Chupin, Dubois, SINUM (2018)
EGRIN 201912/2225 juin 2019 12 / 22
NumeriqueDiscretisation en temps
Le schema de bi-projection en temps5
Etape de projection :(pn+1;un+1)
8>>>><
>>>:(n+1+n)2 (un+1~un+1)t +r(pn+1pn) = 0 (un+1~un+1)n= 0sur @ div(un+1) = 0EGRIN 201913/2225 juin 2019 13 / 22NumeriqueDiscretisation en temps
Le schema de bi-projection en temps5
Etape de projection :(pn+1;un+1)
8>>>><
>>>:(n+1+n)2 (un+1~un+1)t +r(pn+1pn) = 0 (un+1~un+1)n= 0sur @ div(un+1) = 0Remarque :pn+1est solution d'un probleme du type
8>< :div2(n+1+n)r(pn+1pn) =1t div(~un+1); @@n (pn+1pn) = 0EGRIN 201913/2225 juin 2019 13 / 22NumeriqueDiscretisation spatiale
Discretisation spatiale1Maillage cartesien (grilles decalees) r ij p ijij-- ui+1;juij6 v i;j+16 v ij(xi+1; yj+1) (xi+1; yj)(xi; yj+1)(xi; yj)2Schemas Volumes-Finis centres d'ordre 2 pour(u;p;)3Schemas WENO5 pour4Mise en uvre parallele basee sur les bibliotheques MPI et PETSC
Les simulations numeriques sont realisees sur le cluster parallele ClerVolc (LMBP)