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29 mar 2010 · Critère de von Mises avec écrouissage cinématique et isotrope : f(σ ~ ,X ~ ,R) = J(σ Ecrouissage cinématique linéaire 1D Energie stockée

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e.p a I

Variables

internes f <0 f>0

ContraintesElasticitéEcoulement

Plasticité avec écrouissage

Georges Cailletaud

MINES ParisTech

Centre des Matériaux, CNRS UMR 7633

Plan

1Le comportement "standard généralisé»

Ecrouissage et dissipation

Application au cas de la plasticité 3D avec écrouissage

Cas uniaxial

Formulation générale

2Expression de quelques lois particulières

Règle de Prandtl-Reuss

Formulation de Hencky-von Mises

Règle de Prager

Contrôle en déformation

3Synthèse

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 2010 2 / 30

Plan

1Le comportement "standard généralisé»

Ecrouissage et dissipation

Application au cas de la plasticité 3D avec écrouissage

Cas uniaxial

Formulation générale

2Expression de quelques lois particulières

Règle de Prandtl-Reuss

Formulation de Hencky-von Mises

Règle de Prager

Contrôle en déformation

3Synthèse

Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation Lois plastiques et viscoplastiquessans écrouissage Représentations dans l"espace des contraintesElasticitéf<0f(s) =0Viscoplasticité _ep=_ln_f=0s n

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 2010 4 / 30

Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation Lois plastiques et viscoplastiquessans écrouissage Représentations dans l"espace des contraintesElasticitéf<0f(s) =0f(s)>0Viscoplasticité f(s)>0Plasticité _ep=_ln_f=0s n

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 2010 4 / 30

Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation Lois plastiques et viscoplastiquessans écrouissage Représentations dans l"espace des contraintesElasticitéf<0f(s) =0f(s)>0_evpViscoplasticité f(s)>0_epPlasticité _ep=_ln_f=0s n

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 2010 4 / 30

Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation Lois plastiques et viscoplastiquessans écrouissage Représentations dans l"espace des contraintesElasticitéf<0f(s) =0f(s)>0_evpViscoplasticité f(s)>0_epPlasticité _ep=_ln_f=0s n Georges Cailletaud (MINES ParisTech)Ecrouissage 29 mars 2010 4 / 30 Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation Lois plastiques et viscoplastiquessans écrouissage Représentations dans l"espace des contraintesElasticitéf<0f(s) =0f(s)>0_evpViscoplasticité f(s)>0_epPlasticité _ep=_ln_f=0s n Georges Cailletaud (MINES ParisTech)Ecrouissage 29 mars 2010 4 / 30 Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation

Lois plastiques et viscoplastiques

a vecécrouissage

Représentations dans l"espace des contraintes et des variables d"écrouissage (s;AI)Elasticitéf<0f(s;AI) =0Viscoplasticité

_ep=_ln_f=0 _aI=_lmIs ;AIn m

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 2 0105 / 30

Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation

Lois plastiques et viscoplastiques

a vecécrouissage

Représentations dans l"espace des contraintes et des variables d"écrouissage (s;AI)Elasticitéf<0f(s;AI) =0f(s;AI)>0Viscoplasticité

f(s;AI)>0Plasticité _ep=_ln_f=0 _aI=_lmIs ;AIn m

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 20 105 / 30

Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation

Lois plastiques et viscoplastiques

a vecécrouissage

Représentations dans l"espace des contraintes et des variables d"écrouissage (s;AI)Elasticitéf<0f(s;AI) =0f(s;AI)>0_evp

_aIViscoplasticité f(s;AI)>0_ep _aIPlasticité _ep=_ln_f=0 _aI=_lmIs ;AIn m

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 201 05 / 30

Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation

Lois plastiques et viscoplastiques

a vecécrouissage

Représentations dans l"espace des contraintes et des variables d"écrouissage (s;AI)Elasticitéf<0f(s;AI) =0f(s;AI)>0_evp

_aIViscoplasticité f(s;AI)>0_ep _aIPlasticité _ep=_ln_f=0 _aI=_lmIs ;AIn m Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation

Lois plastiques et viscoplastiques

a vecécrouissage

Représentations dans l"espace des contraintes et des variables d"écrouissage (s;AI)Elasticitéf<0f(s;AI) =0f(s;AI)>0_evp

_aIViscoplasticité f(s;AI)>0_ep _aIPlasticité _ep=_ln_f=0 _aI=_lmIs ;AIn m Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation

Lois plastiques et viscoplastiques

a vecécrouissage

Représentations dans l"espace des contraintes et des variables d"écrouissage (s;AI)Elasticitéf<0f(s;AI) =0f(s;AI)>0_evp

_aIViscoplasticité f(s;AI)>0_ep _aIPlasticité _ep=_ln_f=0 _aI=_lmIs ;AIn m Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation

Introduction des variables d"écrouissageNotion devariables d"état,aI, qui interviennent dans l"énergie libre (, énergie

libre spécifique, potentiel d"état). On suppose que les variables d"état suffisent pour représenter l"ensemble de l"histoire passée. r =r(ee;aI)La variation dedésigne l"énergie stockée pendant le process de déformation r

I_aI=s: _ee+AI_aIDéfinition desvariables d"écrouissage, AIpar extension de la notion de potentiel

élastique

s ILes variables d"écrouissage reflètent l"effet mécanique des variables d"état sur le comportement du matériau

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Ecrouissage

29 mars 2 0106 / 30

Le comportement "standard généralisé»Ecro uissageet dissipation

Définition de la dissipation intrinsèqueLadissipationest la différence entre l"énergie mécanique fournie et l"énergie

stockée de façon temporaire

D=s: _e_ = (s: _ee+s: _ep)(s: _ee+AI_aI)Il n"y a bien entendu pas de dissipation si le comportement est purement élastique

On appelle

modèle standard génér alisé un modèle qui introduit la règle de normalité pour les contraintesetles variables d"écrouissage. On définit des vecteurs contraintes généraliséesZet déformations généraliséesz:

Z= (s;AI)z= (ep;aI)D=s: _epAI_aI=Z_zL"unité deZest le Pa, ou encore le J.m3; celle de_zest la s1; celle deDest

donc le J.m

3.s1, ou le W.m3

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Ecrouissage

29 mars 2 0107 / 30

Plan

1Le comportement "standard généralisé»

Ecrouissage et dissipation

Application au cas de la plasticité 3D avec écrouissage

Cas uniaxial

Formulation générale

2Expression de quelques lois particulières

Règle de Prandtl-Reuss

Formulation de Hencky-von Mises

Règle de Prager

Contrôle en déformation

3Synthèse

Le comportement "standard généralisé»App licationau cas de la plasticité 3D a vecécrouissage

Ecoulement plastiqueRappel, travail maximal pour un matériau parfaitement plastique :

Hill : il faut réaliser le max deD=s: _epOn maximises: _epsous la contraintef(s)60Extension du principe du travail maximal; au lieu de la puissance plastique, on

cherche àmaximiser la dissipation intrinsèque D=s: _epAI_aI=Z_zIl faut maximiserZ_zsous la contraintef60; on pose :

F(s;AI) =s: _epAI_aI_lf(s;AI)

_

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Ecrouissage

29 mars 2 0109 / 30

Le comportement "standard généralisé»App licationau cas de la plasticité 3D a vecécrouissage

Ecoulement viscoplastiqueExtension de la notion de potentiel à l"espace des contraintes généralisées pour

représenter l"écoulementContraintes généralisées,Z, déformations généralisées,zViscoplasticité,

(s;AI) = (Z) _ _

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Ecrouissage

29 mars 20 1010 / 30

Le comportement "standard généralisé»App licationau cas de la plasticité 3D a vecécrouissage

Dissipation pour un modèle standard généraliséDans le cas où les dérivées sont nulles, on a bien atteint un maximum si

fest une fonction convexe de ses variablessetAIOn retrouve sous forme généralisée l"équivalence

Parmi tous lesZadmis-

sibles,Zréel maximise la dis- sipation intrinsèque

La direction d"écoulement

_z est normale à la surface dé- finie parf; le domaine défini parfest convexe.Si le potentiel est convexe et contient (Z=0), la dissipationDest automatiquement positive.

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Ecrouissage

29 mars 20 1011 / 30

Le comportement "standard généralisé»App licationau cas de la plasticité 3D a vecécrouissage

Dissipation thermique associée à l"écoulement plastique

t=0s T=23:05Ct=31s T=22:81Ct=101s T=24:32Ct=203s T=25:70CTraction à faible vitesse de déformation sur alliage d"aluminium (

_e=1O3s1)

Chrysochooset al(Univ. Montpellier)

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Ecrouissage

29 mars 20 1012 / 30

Le comportement "standard généralisé»App licationau cas de la plasticité 3D a vecécrouissage

Retour sur les variables d"écrouissage à utiliserCritère de von Mises avec écrouissage cinématique et isotrope :

f(s;X;R) =J(sX)RsySoientaetrles variables d"état associées àXetREcrouissage cinématique = _epEcrouissage isotrope _ respectivementepetp

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Ecrouissage

29 mars 20 1013 / 30

Plan

1Le comportement "standard généralisé»

Ecrouissage et dissipation

Application au cas de la plasticité 3D avec écrouissage

Cas uniaxial

Formulation générale

2Expression de quelques lois particulières

Règle de Prandtl-Reuss

Formulation de Hencky-von Mises

Règle de Prager

Contrôle en déformation

3Synthèse

Le comportement "standard généralisé»Cas uniaxial

Ecrouissage cinématique linéaire 1D

Energie stockée(E)(H)

(sy)Les variables d"état sonteeet la déformation dans le ressort (H),epL"énergie libre est l"énergie élastique provisoirement stockée dans les ressorts

(ee;ep) =0:5Eee2+0:5Hep2 p=HepElasticité (s,ee), écrouissage (X,ep)

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Ecrouissage

29 mars 20 1015 / 30

Le comportement "standard généralisé»Cas uniaxial

Ecrouissage cinématique linéaire 1D

Energie dissipéeDissipation intrinsèque est caractérisée par :

taux d"énergie dissipée = énergie fournie - énergie stockéeCas 1D considéré précédemment :

D=s_e_ = (s_ee+s_ep)(s_ee+X_ep) =s_epX_epLe critère de plasticité s"écritf(s;X) =jsXjsy=0.La dissipation est donc le résultat du frottement sur le patin, en effet, avec

_ep=_psigne(sX) :

D= (sX)_ep=jsXj_p=sy_pL"énergie stockée, 0:5Hep2, est libérée à la déchargeNotion decontraintes généralisées:(s, X), dedéformations généralisées:(ee,

ep)

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Ecrouissage

29 mars 2 01016 / 30

Le comportement "standard généralisé»Cas uniaxial

Dissipation dans le cas de l"écrouissageisotropeen 1DLa variableAIestR, la variableaIassociée estpLe critère de plasticité est :

f(s;R) =jsjRsy=0L"énergie libre s"écrit (ee;p) =0:5Eee2+0:5Hp2

D=s_e_ =s_es_eeR_p=s_epR_p= (jsjR)_p=sy_pL"énergie stockée dans le matériau ne peut pas être récupérée, carpcroît de

façon monotone

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Ecrouissage

29 mars 20 1017 / 30

Plan

1Le comportement "standard généralisé»

Ecrouissage et dissipation

Application au cas de la plasticité 3D avec écrouissage

Cas uniaxial

Formulation générale

2Expression de quelques lois particulières

Règle de Prandtl-Reuss

Formulation de Hencky-von Mises

Règle de Prager

Contrôle en déformation

3Synthèse

Le comportement "standard généralisé»F ormulationgénér ale Formulation des lois de comportement plastiqueDomaine d"élasticité f(s;AI)<0(_e= 1: _s)Décharge élastique f(s;AI) =0_f(s;AI)<0(_e= 1: _s)Ecoulement plastique f(s;AI) =0_f(s;AI) =0(_e= 1: _s+ _ep) _ep=:::_aI=::: EcrouissageAugmentation de limite d"élasticité pendant l"écoulement plastique Existence de mécanismes de stockage de l"énergie

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Ecrouissage

29 mars 201 019 / 30

Plan

1Le comportement "standard généralisé»

Ecrouissage et dissipation

Application au cas de la plasticité 3D avec écrouissage

Cas uniaxial

Formulation générale

2Expression de quelques lois particulières

Règle de Prandtl-Reuss

Formulation de Hencky-von Mises

Règle de Prager

Contrôle en déformation

3Synthèse

Expression de quelques lois particulièresRègle de Pr andtl-Reuss Loi de Prandtl-Reuss (1/2)Critère de von Mises et écrouissage isotrope f(s;R) =J(s)syR(p)1D : 0=jsjsyR(p)Il faut trouver le multiplicateur plastique dans Le module plastique,H, définit la courbe d"écrouissage 1D monotone,p=ep s=sy+R(p) =sy+R(ep)H=dsdep=dsdp =dRdp

Utilisation de la condition de cohérence :

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Ecrouissage

29 mars 20 1021 / 30

Expression de quelques lois particulièresRègle de Pr andtl-Reuss Loi de Prandtl-Reuss (1/2)Critère de von Mises et écrouissage isotrope f(s;R) =J(s)syR(p)1D : 0=jsjsyR(p)Il faut trouver le multiplicateur plastique dans Le module plastique,H, définit la courbe d"écrouissage 1D monotone,p=ep s=sy+R(p) =sy+R(ep)H=dsdep=dsdp =dRdp

Utilisation de la condition de cohérence :

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 20 1021 / 30

Expression de quelques lois particulièresRègle de Pr andtl-Reuss Loi de Prandtl-Reuss (1/2)Critère de von Mises et écrouissage isotrope f(s;R) =J(s)syR(p)1D : 0=jsjsyR(p)Il faut trouver le multiplicateur plastique dans Le module plastique,H, définit la courbe d"écrouissage 1D monotone,p=ep s=sy+R(p) =sy+R(ep)H=dsdep=dsdp =dRdp

Utilisation de la condition de cohérence :

Georges Cailletaud (MINES ParisTech)

Ecrouissage

29 mars 20 1021 / 30

Expression de quelques lois particulièresRègle de Pr andtl-Reuss Loi de Prandtl-Reuss (1/2)Critère de von Mises et écrouissage isotrope f(s;R) =J(s)syR(p)1D : 0=jsjsyR(p)Il faut trouver le multiplicateur plastique dans Le module plastique,H, définit la courbe d"écrouissage 1D monotone,p=ep s=sy+R(p) =sy+R(ep)H=dsdep=dsdp =dRdp

Utilisation de la condition de cohérence :

Expression de quelques lois particulièresRègle de Pr andtl-Reuss Loi de Prandtl-Reuss (2/2)On trouve donc le multiplicateur _ l=_p=n: _sH Expression 3D de la vitesse de déformation plastique _ep=_ln=n: _sH =3s2JCas particulier de la traction simple n

11=signe(s)n: _s=_ssigne(s)_l=_p=_ep

11 _ ep=n11_sH n11=_sH

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Ecrouissage

29 mars 20 1022 / 30

Plan

1Le comportement "standard généralisé»

Ecrouissage et dissipation

Application au cas de la plasticité 3D avec écrouissage

Cas uniaxial

Formulation générale

2Expression de quelques lois particulières

Règle de Prandtl-Reuss

Formulation de Hencky-von Mises

Règle de Prager

Contrôle en déformation

3Synthèse

Expression de quelques lois particulièresF ormulationde He ncky-vonMises Loi de Hencky - von MisesHypothèse dechargement simple "Le chargement extérieur en termes de contraintes croît proportionnellement à un seul paramètre scalairek, à partir d"un état initial non écroui (06k61)» s =ksM_s=_ksMs=k sMJ=k JMsy=keJM n =32 s MJ Mn : _sH =32 s MJ

M:sM_kH

=JM_kH

Pas de couplage entre les composantes

_ep=JM_kH 32
s MJquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35