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1
Problèmes de physique de concours
corrigés - 1ère année de CPGE scientifiques -Olivier GRANIER
(PC*, Lycée Montesquieu, Le Mans) 21) Freinage d'un satellite par l'atmosphère : (Mécanique)
Un satellite terrestre artificiel (S) de vitesse
rV (dans le référentiel géocentrique galiléen) sur une orbite basse (c'est-à-dire dont l'altitude z est très inférieure au rayon terrestre RT) subit des frottements dus à
l'atmosphère. Les molécules de l'atmosphère n'étant soumises qu'à l'agitation thermique, on pourra
négliger leur vitesse thermique v sTh≈-5001 m. devant V. On note RT et MT le rayon et la masse de la Terre, assimilée à une sphère massique homogène.1. On suppose que, après une collision entre le satellite de masse M et une molécule de masse m, la
vitesse relative des deux objets est nulle (" choc mou »). Montrer alors que la variation de la quantité de
mouvement de (S) estΔrrPmV≈-.
2. Montrer que l'effet des collisions équivaut à une force
rF s'exerçant sur le satellite. Ce dernier estsphérique, de rayon a. Déterminer rF en fonction de a, rV et la masse volumique μ(z) de l'atmosphère (en
considérant le nombre de chocs se produisant à l'intérieur d'un cylindre élémentaire, on trouve une
expression du type F k z V=( )2). Est-il indispensable que le satellite soit sphérique ?3. On suppose qu'à l'altitude
z RT<<, μ μ( ) ( )exp( / )z z H= -0, où μ(0) et H sont des constantes. Onconsidère alors que, du fait de la force rF, (S) décrit une orbite circulaire autour de la Terre dont le rayon
varie lentement avec le temps.a) Donner, sous ces hypothèses, une loi approchée de variation de z(t). Il sera avantageux d'introduire la
quantitéτ π μ=MH a R g RT T/ ( ( ) )2 020, où g0 désigne le champ de pesanteur terrestre au niveau du sol.
On note z
i l'altitude de départ. b) Applications numériques : calculer la durée de chute t ch du satellite depuis l'altitude zi=180 km jusqu'à zf=0 ; on donne : μ(0) = 1,3 kg.m - 3, H = 8 500 m, a = 2 m, g0 = 9,8.m.s - 2, RT = 6 370 km etM kg=103. Vérifier enfin que la vitesse du satellite est effectivement grande devant la vitesse d'agitation
thermique vTh des molécules de l'atmosphère.
Solution :
1. La conservation, lors du choc mou, de la quantité de mouvement totale du système {Satellite-
Molécule} dans le référentiel géocentrique s'écrit : 'V)mM(vmVMTh rrr+=+ La variation de la quantité de mouvement du satellite est )V'V(MP rrr-=Δ. Or, en négligeant mvTh devantMV, il vient
VMm1VmMM'V
1rrr- ((+≈+≈, soit, au 1 er ordre en M/m , VMm1'Vrr) ((-≈. On en déduit alors que VmPrr-≈Δ.2. On raisonne dans le référentiel géocentrique, dans lequel le satellite possède la vitesse V
r. Pendant l'intervalle de temps dt, le satellite balaye le volume )Vdta(d2π=τ, dans lequel la masse d'atmosphère
est τμ=ddm . Le nombre de molécules rencontrées est alors m/dmdN = et la variation de quantité de mouvement due aux chocs mous entre ces molécules et le satellite sera, d'après la question précédente : dtVVVa)V)(Vdta()P(dNPd222
rrrrμπ-=-μπ=Δ= La force résultante exercée sur le satellite est alors : V VV)a( dt PdF22 rrrμπ-== VrSurface " efficace » πa2
VdtVolume V
πa2dtSatellite
m 3Ainsi, les chocs mous entre les molécules de l'atmosphère et le satellite sont équivalents à une force
unique de frottements de type quadratique, c'est-à-dire proportionnelle au carré de la vitesse et opposée à
celle-ci. En particulier, le coefficient k(z) introduit dans l'énoncé vaut )z(a)z(k2μπ-=.
Si le satellite n'est pas sphérique, la surface2aπ doit alors être remplacée par la surface transverse
balayée, encore appelée " section efficace » de chocs.3-a) On suppose que le satellite (S) décrit une orbite circulaire autour de la Terre de rayon r légèrement
variable avec le temps. Par conséquent, la relation entre le rayon r et la vitesse V du satellite ainsi que
l'expression de l'énergie mécanique, sont : r Rg r GMV2 T 0T2 == et r RMg 2 1 r GMM 2 1E2T0T m -=-= (avec zRrT+=) où 2 TT0R/GMg= est le champ de pesanteur terrestre au sol. La puissance de la force de frottements due aux chocs avec l'atmosphère vaut :
32V)z(aV.FPμπ-==rr
et est reliée à la variation de l'énergie mécanique du satellite par Pdt/dE m=. Comme dtdz rRMg 21dtdr drdE dtdE22
T0mm==, il vient : 32
22T0V)z(adtdz
rRMg21μπ-= d'où :
2/32 T 02 22T0 rRg)z(a2dtdz rRMg)) soit, avec )H/zexp()0()z( -μ=μ : dtgRM)0(a2dz)H/zexp(r10T2μπ-=
En posant
)RgR)0(a2/(MHT0T2μπ=τ, la relation précédente devient : dtHdtRgRM)0(a2dz)H/zexp(rRT0T2Tτ-=μπ-=
CommeTRz<<, 1Rz1zRR
rR 2/1 TTTT et, par conséquent : dtHdz)H/zexp(τ-=En notant z
i l'altitude initiale à l'instant t = 0, l'altitude z atteinte à l'instant t est alors donnée par :
tH'dz)H/'zexp( z z iτ-=∫Soit :
t1)H/zexp()H/zexp(iτ-=- ou t1)H/zexp()H/zexp(iτ-= b) Applications numériques : la durée de la chute vautH/zH/z
chiie)1e(tτ≈τ-= ; avec s5μ=τ, on obtient min11h2s8707t ch≈≈. La vitesse V du satellite reste sensiblement constante lors de la chute (en effetTRr≈) et vaut :
1 T02T0s.km9,7Rgr/RgV-===
On vérifie bien que cette vitesse est très supérieure à la vitesse d'agitation thermique 1Ths.m 500v-≈
2Th10.6V/v-≈).
42) Diffusion Rutherford : (Mécanique)
Cet exercice présente l'expérience historique de diffusion d'une particule alpha (noyau d'hélium, de
charge e2q= et de masse m) par un noyau atomique d'or (de charge Q = Ze et de masse M), réalisée parRutherford et ses collaborateurs vers 1910.
Au début du siècle, les atomes, selon le modèle de J.J. Thomson, étaient constitués d'une sphère pleine
uniformément chargée positivement dont le rayon était de l'ordre de810- cm et d'électrons qui pouvaient
vibrer librement à l'intérieur de la sphère positive. Le nombre d'électrons devait satisfaire la neutralité
électrique de l'atome.
Ernest Rutherford et ses collaborateurs entreprirent de mesurer, vers 1910, la distribution de la charge
positive de la sphère du modèle de Thomson. Comme Rutherford le dit lui-même : " le meilleur moyen de
trouver ce qu'il y a dans un pudding c'est de mettre le doigt dedans ». En guise de " doigt » il projeta des
particules α au travers d'une plaque d'or afin d'en étudier la diffusion par les atomes. Les résultats qu'il
obtint montrèrent indubitablement que la charge positive des atomes ne se trouvait pas répartie dans une
sphère de 10- 8 cm de rayon, comme le prévoyait le modèle de Thomson, mais était au contraire confinée
dans un volume beaucoup plus petit, de rayon de l'ordre de 10 - 13 cm. Cette découverte conduisit Rutherford à réviser en profondeur le modèle atomique de Thomson. Il proposa à la place un modèle de type planétaire où les charges positives, regroupées dans un très petit volume nommé le noyau atomique, occupaient une position centrale et les électrons, tels des planètes autour du Soleil, tournaient autour du noyau sur des orbites circulaires ou elliptiques. La matière paraissait ainsi constituée essentiellement de vide (" structure lacunaire » de la matière). Description du dispositif expérimental : la figure ci-dessous présente l'appareil utilisé. Au début de l'expérience, le robinet (R2) est fermé, (R1) est ouvert et l'ampoule (A) est remplie de
radon. Le radon est un gaz radioactif qui se désintègre rapidement en donnant du radium, substance radioactive solide qui se dépose sur les parois de l'ampoule (A) ainsi que sur la lame de mica (M).Au bout de quelques heures, la quantité de radium déposée est suffisante. On ferme le robinet (R
1), on
ouvre (R2) et on fait le vide dans l'ensemble de l'appareillage (ampoule (A) et tube (T)).
Le radium se désintègre très lentement en émettant des particules α. On peut alors considérer que pendant
la durée de l'expérience, l'émission des particules α par la lame de mica est stationnaire : le débit
particulaire à travers les diaphragmes (D1) et (D2) est constant dans le temps.
Après avoir franchi les diaphragmes (D
1) et (D2), les particules α traversent une feuille mince d'or (L).
Par des scintillations qui apparaissent sur la boule fluorescente (E), on voit que des particules α sont
diffusées dans toutes les directions de l'espace, bien que la plupart d'entre elles traversent la feuille d'or
sans aucune déviation. (R1)(R 2) (L) (D2)(D1)
Vide (A) (M)(T) (EModélisation de l'expérience : quand la particule α (située au point P) est très éloignée du noyau (à la
sortie des diaphragmes (D1) et (D2)), sa vitesse dans le laboratoire est notée x00uvvrr= et le paramètre
Rutherford (à droite) dans son
laboratoire de Manchester, dans les années 1910. 5d'impact (voir figure) est noté b. On note 2/mvE200= l'énergie cinétique initiale. L'interaction entre la
particule α et un noyau d'or (situé à l'origine O du repère (Oxyz)) est supposée être d'origine purement
coulombienne.1. Définir le référentiel barycentrique du système à deux corps (noyau-particule α) ; sachant que
mM>>, quelle conclusion peut-on en tirer ? Dans la suite, on se place dans le référentiel supposé
galiléen lié au noyau.2. Déterminer la distance minimale d'approche, notée a
0, correspondant à un choc frontal (b = 0).
3. Lorsque le paramètre d'impact est non nul, calculer la distance minimale, notée a, à laquelle la
particule α peut se trouver par rapport au noyau. Rappeler, sans démonstration, la nature de la trajectoire
de la particule α.