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Chapitre 8Graphes probabilistesSommaire
8.1 Quelques exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.1.1 Une évolution de population. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.1.2 Maladie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2 Casgénéral : graphes probabilistes àpétats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3 Uncas particulier : les graphes probabilistes à 2 états. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.4.1 État stable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.4.2 Démonstrations à l"aide de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.4.3 Démonstrations à l"aide de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.1 Quelques exemples
8.1.1 Une évolution de population
Le problème
Deux villesXetYtotalisent à elles deux une populationd"un milliond"habitants. La villeXest plus agréable, mais la villeYoffre de meilleurs salaires.20% des habitantsdeYpartent chaque année habiterXpour avoir un meilleur cadre de vie, et 5%
des habitantsdeXpartent chaque année habiterYpour augmenter leur niveau de vie. À l"année 0, un quart des habitantssont enX.On se pose les questions suivantes :
Comment sera répartiela population,entre les villesXetYau bout de 1, 2, 5, 10, 30, 40 ans?Que se serait-il passé au bout de 1, 2, 5, etc. ans si 99%des habitantsavaient été initialement
enX(ou enY)?Que se serait-il passé au bout de 1, 2, 5, etc. ans si la population avait été également répartie
entre les deux villes en l"année zéro?Une solution
1. L"énoncé nousdit que 95%des gens qui sont enXy restent,5%partentenY, et que 80%des
gens qui sont enYy restent, 20% partant enX. 638.1 Quelques exemplesTerminale ES spécialité
En appelantXnla populationde la villeXà l"annéenetYncelle deY, expliquer pourquoi on peut représenter l"évolutionpar le système d"équations : ?Xn+1=0,95Xn+0,2Yn Y n+1=0,05Xn+0,8Yn2. On peut représenter la situation par le graphe suivant, oùl"on a marqué, sur chaque arête
joignantlesommetXau sommetY, la proportionde populationqui passeà chaqueétapede XàY. Remarquons que, puisque la population ne peut disparaîtreou apparaître, la somme des coefficients sur toutes les arêtes quittant un sommet doit être 1 :XY0,95
0,05 0,2 0,8 Si l"on note, pour tout entier natureln,Pn=?XnYn?le vecteur lignequi décrit la population deXet deYau bout denannées, déterminer la matriceMtelle que le système déquation d"évolution trouvée précédemment peut se réécrire : P n+1=Pn×MOn appeleraM:matrice de transition du système.
Attention!Le produit ne se fait pas à droite de la matrice, comme on en a l"habitude, mais àgauche. Cela présente l"avantage de garder l"écriture des vecteurs en ligne, et c"est l"habitude
en probabilité. (a) ExprimerP1etP2en fonction deMet deP0. Généraliser pour obtenirPnen fonction deP0, deMet den. (b) À l"aide de cette formule, répondre aux questions qu"on se pose dans le problème.3. (a) Que constate-t-on, quandndevient grand, quelle que soit la répartition de population
à l"année 0?
(b) On suppose queP0=?800000 200000?.CalculerP1,P2,P3, etc.
Comment peut-on alors qualifier cette répartition,cet état?(c) On a vu que, quelle que soit la populationde départ,le système converge vers cet état. Il
peut donc être intéressant d"être en mesure de le déterminerdès le départ. On admet qu"une telle répartitionexiste et on appellexla population deXetycelle de Ypour lesquelles la populationde chaque ville est la même chaque année. i. Que devient le système d"équations d"évolutionsi?XnYn?=?x y?? ii. En déduire quexetysont solutionsde :?0,2y=0,05x x+y=1000000 iii. Déterminer alorsxety.8.1.2 Maladie
Un individu vit dans un milieu où il est susceptible d"attraper une maladie par piqûre d"insecte. Il
peutêtredansl"undestroisétatssuivants:immunisé(I),malade(M), sain,c"est-à-direnonmalade et non immunisé,(S). D"un mois à l"autre, son état peut changer selon les règles suivantes : 64http://perpendiculaires.free.fr/ Terminale ES spécialité8.2 Cas général : graphes probabilistes à p états
étant immunisé, il peut le rester avec une probabilité0,9 oupasser à l"étatSavec une proba-
bilité 0,1;étant dans l"étatS, il peut le rester avec une probabilité 0,5 ou passer à l"étatMavec une
probabilité 0,5; 0,8.