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Cours de mathématiques

Terminale S1

Chapitre 9 : Nombres complexes

Année scolaire 2008-2009

mise à jour 15 février 2009

Fig.1 - Gerolamo Cardano

Médecin et mathématicien italien qui ne redoutait pas les échecs 1

Table des matières

I Chapitre 9 : Nombres complexes3

I.A Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.B Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.B.1 Forme algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.B.2 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.C Opérations sur les nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.C.1 Addition et multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.C.2 Inverse d"un nombre complexe non nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.C.3 Nombre conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.C.4 Module d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.D Argument d"un nombre complexe non nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.E Forme exponentielle d"un nombre complexe non nul. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.F Résolution dansCd"équations du second degré à coefficients réels. . . . . . . . . 10

I.G Interprétation géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.H Nombres complexes et transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.H.1 Ecriture complexe d"une translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.H.2 Ecriture complexe d"une rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.H.3 Ecriture complexe d"une homothétie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Informations sur la mise en page

Le document s"inspire des nombreux livres de Terminale S desdifférentes éditions. Les figures de ce document ont été réalisées avec métapost et les macros de J-M Sarlat.

L"environnement

bclogo, utilisé pour la réalisation de ce document, est téléchargeable ici : 2

I Chapitre 9 : Nombres complexesI.A Introduction

Rappels et découverte

Pour tout réelk, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique dek. Il est noté3⎷ kou aussik13.

On a par exemple

3⎷

8 = 2parce que23= 8.

Au XVIème siècle,Jérôme Cardan, confronté à la résolution des équations du troisième degré,

de la formex3=px+qdonne la formule suivante appelée formule deCARDAN: lorsque q 2

4-p327≥0, l"équation a pour solution

x=3? q 2+? q2

4-p327+3?

q 2-? q2

4-p327

1. On considère l"équationx3= 1. Quelles sont les valeurs depetq?

Vérifier que l"on peut utiliser la formule de Cardan.

Quelle solution obtient-on?

2. On considère l"équationx3= 3x+ 2.

Vérifier que l"on peut utiliser la formule de Cardan.

Quelle solution obtient-on?

Vérifier et trouver toutes les solutions de l"équationx3= 3x+ 2.

3. On considère l"équationx3= 15x+ 4.

Vérifier que l"on peut utiliser la formule de Cardan.

4. On considère l"équationx3= 2x+ 4.

Justifier que la formule de Cardan ne peut pas s"appliquer. Pris dans un engrenage infernal, on décide cependant d"appliquer la formule.

Comment peut s"écrire lasolution?

5. Imaginons un nombre dont le carré est -1, et qui sera très temporairement noté⎷

-1. En utilisant ce nombreimaginaireet en effectuant des calculs "habituels", montrer que (2 + -1)3= 2 + 11⎷-1

En déduire que2 +⎷

-1est une racine cubique de2 +⎷-121. "Démontrer" de même que2-⎷ -1est une racine cubique de2-⎷-121. Montrer alors que la formule de Cardan appliquée à l"équationx3= 15x+4donne comme solution le réel 4. Vérifier que 4 est effectivement solution de l"équation. On a donc, en utilisant des nombresimaginaires, obtenu un résultat bien réel.

6. Siaetbsont deux réels strictement positifs, alors :⎷

a⎷b=⎷ab. Si vous appliquez cette propriété àa=b=-1, qu"obtenez-vous? C"est la raison pour la quelle on n"utilisera plus jamais la notation⎷ -1, maisi, nombre imaginaie dont le carréi2=-1. Il aura fallu attendre près de 150 ans pour prendre cette notation dûe àEuler, que vous avez déjà vu 3

Les différents ensembles de nombres

-Nest l"ensemble des entiers naturels. C"est l"ensemble des entiers positifs ou nuls. - DansNl"équationx+ 1 = 0n"a pas de solution. Cette équation a une solution notée -1 , cette solution est unélément de l"ensembleZ. Zest l"ensemble des entiers relatifs. C"est l"ensemble des entiers positifs, négatifs ou nuls. ZcontientN, c"est-à-dire queNest contenu dansZ, ce que l"on noteN?Z. - DansZl"équation2x= 1n"a pas de solution.

Cette équation a une solution notée-1

2, cette solution est un élément de l"ensemble

Q.

Qest l"ensemble des nombres rationnels.

C"est l"ensemble de tous les nombres de la formep

qavecp?Zetp?Z?.Qcontient

Z. On a doncN?Z?Q.

- DansQl"équationx2= 2n"a pas de solutions. Cette équation a deux solutions notées⎷

2et-⎷2, ces solutions sont des éléments de

l"ensembleR. Rest l"ensemble des nombres réels. C"est l"ensemble des abscisses de tous les points d"une droite.

RcontientQ. On a doncN?Z?Q?R.

- DansRl"équationx2=-1n"a pas de solutions. Cette équation a deux solutions notéesiet-i, ces solutions sont des éléments de l"ensembleC.

Cest l"ensemble des nombres complexes.

C"est l"ensemble des nombres de la formea+biaveca?Retb?R.

CcontientR. On a doncN?Z?Q?R?C.

I.B Définitions

I.B.1 Forme algébrique

Définition 1:

Il existe un ensemble notéC, appeléensemble des nombres complexesqui possède les propriétés suivantes : -Ccontient l"ensemble des nombres réels. - L"addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes. - Il existe un nombre complexe notéitel quei2=-1. - Tout nombre complexezs"écrit de manière uniquez=x+iyavecxetyréels. L"écriturez=x+iyavecxetyréels est appelée forme algébrique du nombre complexe z. xest la partie réelle dez, notéeRe(z),yest la partie imaginaire deznotéeIm(z).

Remarque :z=x+iyavecxetyréels :

Siy= 0, le nombre complexe est réel.

Six= 0, le nombre complexe est dit imaginaire pur. 4

Théorème 1

Soitx,y,x?ety?des nombres réels,

x+iy=x?+iy?équivaut àx=x?ety=y?. x+iy= 0équivaut àx= 0ety= 0. Cela signifie qu"un nombre complexe s"écrit de manière unique sous forme algèbrique.

I.B.2 Représentation graphique

(O;-→u ,-→v)est un repère orthonormal direct du plan.

1. A tout nombre complexez=x+iyavec

xetyréel, on associe le pointM de coordonnées(x;y). On dit queMest le point image dez et que--→OMest le vecteur image dez.

2. Tout pointM(x;y)est le point image

d"un seul complexez=x+iy.

On dit quezest l"affixe du pointMet du

vecteur--→OM.

3. Le plan est alors appelé plan complexe.

4. L"axe des abscisses(O;-→u)est appeléaxe

des réels, l"axe des ordonnées(O;-→v)est appelé axe desimaginaires purs. -→v uM(z) xy O

I.C Opérations sur les nombres complexes

I.C.1 Addition et multiplication

Définition 2:

La somme dezet dez?est le complexez+z?= (x+x?) +i(y+y?). Le produit dezet dez?estz.z?= (xx?-yy?) +i(xy?+x?y). En effetz.z?= (x+iy)(x?+iy?) =xx?+ixy?+ix?y+i2yy?=xx?-yy?+i(xy?+x?y). Remarque :Les identités remarquables sont valables dansC. On a alors pour touszetz? complexes, z

2+z?2=z2-i2z?2= (z-iz?)(z+iz?).

Remarque :SoientMd"affixezetM?d"affixez?des points du plan complexe. z+z?est l"affixe du pointPtel queOMPM?est un parallélogramme. 5 -→v uM(z)M ?(z?)P(z+z?) O

Affixe d"un vecteur, d"un barycentre

Proposition 1:

Deux pointsAetBdu plan complexe ont pour affixes respectiveszAetzB.

L"affixe du vecteur--→ABestzB-zA.

Remarque :Siλest un réel, l"affixe de vecteurλ-→uestλzoùzest l"affixe de-→u.

Proposition 2:Interprétation barycentrique

Deux pointsAetBdu plan complexe ont pour affixes respectiveszAetzB. L"affixe du barycentreGdes points pondérés(A,α)et(B,β)(α+β?= 0) est :αzA+βzB dem :On a--→OG=1 α+β(α-→OA+β--→OB)et le résultat en découle en passant aux affixes.

On peut généraliser cette propriété :

(A1,α1),(A2,α2), ...,(An,αn)sontnpoints du plan, d"affixes respectivesz1,z2, ...,zn tels quen? i=1α i?= 0. Alors leur barycentreGa pour affixe la moyenne pondérée de leurs affixes :zG=α1z1+α2z2+···+αnzn

α1+α2+···+αn.

Il en résulte que l"affixezIdu milieuIdu segment[AB]estzI=zA+zB

2et celle du

centre de gravitéGd"un triangleMNPestzG=zM+zN+zP 3.

I.C.2 Inverse d"un nombre complexe non nul

Théorème 2

Tout nombre complexe non nulz, écrit sous forme algébriquez=x+iy, admet un inverse, noté1 z, et :1z=x-iyx2+y2. En effet, on remarque que pour tout nombre complexe non nulz=x+iy,(x+iy)(x-iy) = 6 x2-i2y2=x2+y2.

On a alors1

z=1x+iy=x-iy(x+iy)(x-iy)=x-iyx2+y2.

I.C.3 Nombre conjugué

Définition 3:

Soitzun nombre complexe,z=x+iy.

Lenombre conjuguédez, noté¯z, est le nombre complexex-iy.

Dans le plan complexe, le pointM?d"affixe¯z

est l"image du pointMd"affixez par la symétrie par rapport à l"axe des abs- cisses. -→v uM(z) M z)xy -yO

Proposition 3:

zest un nombre complexe.

1.zest réel équivaut à¯z=z.

2.zest imaginaire pur équivaut à¯z=-z.

dem :On posez=x+iy, avecxetyréels :

1. Sizest réel, alorsy= 0, doncz= ¯z.

Siz= ¯z, alorsx+iy=x-iy, donc2iy= 0et on en déduit quey= 0ce qui signifie que zest réel.

2. Sizest imaginaire pur, alorsx= 0, doncz=-¯z.

Siz=-¯z, alorsx+iy=-x+iy, donc2x= 0etx= 0.zest donc bien un imaginaire pur. 7

Proposition 4:

Soitzl"affixe d"un pointMdans le plan complexe.

1.¯zest l"affixe du symétrique deMpar rapport à l"axe des abscisses.

2.-zest l"affixe du symétrique deMpar rapport au point O.

3.-¯zest l"affixe du symétrique deMpar rapport à l"axe des ordonnées.

Proposition 5:

Pour tous nombres complexeszetz?:

(1) z+z?=z+z?(2)z=z (3) zz?=zz?(4) pourz?= 0, ?1 z? =1z (5) pourz??= 0,?z z?? z z?(6) pourn?Z,zn=zn. Remarque :Pour tout nombre complexez, on a les relationsRe(z) =z+ ¯z

2etIm(z) =z-¯z2i.

I.C.4 Module d"un nombre complexe

Définition 4:

zest un nombre complexe,z=x+iy(xetyréels). Le module dezest le nombre réel positif noté|z|et défini par|z|=? x2+y2.

Interprétation géométrique :

Dans le plan complexe, siMa pour affixez, alorsOM=|z|. -→v uM(z) |z|=? x2+y2 xy O

Remarques :

1. Sizest un nombre réel, le module dezcorrespond à la valeur absolue dez.

2.|z|= 0équivaut àz= 0carOM= 0équivaut àO=M.

3.z¯z=x2+y2=|z|2.

8

Propriétés du module

Pour tous nombres complexesz?Cetz??C:

1.| z|=|z|

2.| -z|=|z|

4.|zz?|=|z||z?|

5.???z

z???? =|z||z?|,z??= 0

6.?n?Z,|zn|=|z|n(z?= 0sin? -N)

I.D Argument d"un nombre complexe non nul

Définition 5:

zest un nombre complexe non nul d"imageM,z=x+iy(xetyréels). Une mesure de l"argument dezest un nombre réel notéarg(z)et défini pararg(z) = (-→u;--→OM). -→v uM(z) arg(z) = (-→u;--→OM) xy O

Propriétés de l"argument

Pour tout nombre complexez?= 0:

1.arg(

z) =-arg(z)

2.arg(-z) =arg(z) +π

3.arg(zz?) =arg(z) +arg(z?)

4.arg?z

z?? =arg(z)-arg(z?)

5.?n?Z,arg(zn) =n×arg(z)

Démonstration :

On pourra écrire les formes trigonométriques dezetz?pour démontrer certaines de ces propriétés.(voir exercice fait en cours, et exerciceROC) I.E Forme exponentielle d"un nombre complexe non nul 9 Définition 6: -Forme exponentielle d"un nombre complexe nonnul Pour tout nombre complexez?= 0, de moduleρet d"argument de mesureθ, on pourra

écrire :

z=ρeiθ

Proposition 6:

1.|eiθ|= 1

2.arg(eiθ) =θ

3.eiθeiθ?=ei(θ+θ?)

4. eiθ eiθ?=ei(θ-θ?) 5. eiθ=e-iθ

6.?n?Z,?

eiθ?n=eniθ I.F Résolution dansCd"équations du second degré à coefficients réels

Proposition 7:

L"équationaz2+bz+c= 0(a,betcréels,a?= 0) admet des solutions dansC.

SoitΔ =b2-4acle discrimant du trinôme.

1. SiΔ = 0: une solution réelle égale à-b

2a

2. SiΔ?= 0: deux solutions distinctes :

- réelles siΔ>0:-b-⎷

2aet-b+⎷

2a; - complexes conjuguées siΔ<0:-b

2a+i⎷

2aet-b2a-i⎷

2a

Démonstration :

La forme canonique du trinômeaz2+bz+c(a,betcréels,a?= 0) est a? z+b 2a? 2 -Δ4a2? SiΔ≥0, on retrouve les résultats vus en première. SiΔ<0, alors-Δ>0. On poseδ=-Δ. On peut écrireδ= (⎷

δ)2

On a alors :az2+bz+c=a???

z+b 2a? 2 2a?

2??=a???

z+b2a? 2 -i2? 2a? 2?? az

2+bz+c=a?

z+b

2a-i⎷

2a?? z+b2a+i⎷ 2a?

Les solutions de l"équation sont donc-b

2a+i⎷

2a=-b2a+i⎷

2aet b

2a-i⎷

2a=-b2a+i⎷

2a.

I.G Interprétation géométrique

10

Proposition 8:

SoientA,BetCtrois points distincts d"affixes respectivesa,betc.

Si on noteZ=c-a

b-aalorsarg(Z) = (--→AB;-→AC)et|Z|=ACAB.

Il est en effet évident que le module d"un quotient est égal au quotient des modules et|c-a|=AC

et|b-a|=AB.

De même, l"argument d"un quotient est égal à la différence desarguments et on peut remarquer

que : arg(c-a)-arg(b-a) = (-→u;-→AC)-(-→u;--→AB) donc arg(c-a b-a) = (-→u;-→AC) + (--→AB;-→u) d"où arg(c-a b-a) = (--→AB;-→AC)

I.H Nombres complexes et transformations

I.H.1 Ecriture complexe d"une translation

Proposition 9:

-→west un vecteur d"affixeb. L"écriture complexe de la translation de vecteur-→w, qui transformeM(z)enM?(z?)est z ?=z+b. -→v uM ?(z?)

M(z)-→w

t -→w(M) =M? O

dem :test la translation de vecteur-→w;M?=t(M)équivaut à---→MM?=-→w, c"est à direz?-z=b

oùzetz?sont les affixes respectives deMetM?.

I.H.2 Ecriture complexe d"une rotation

11

Proposition 10:

Ωest un point d"affixeωetθun réel. L"écriture complexe de la rotation de centreΩet d"angle de mesureθ, qui transformeM(z)enM?(z?)estz?-ω=eiθ(z-ω). -→v uM(z)M ?(z?)

θ= (--→ΩM;--→ΩM?)

O

Rest la rotation de centreΩet d"angle de mesureθ;M?=R(M)équivaut à(--→ΩM;--→ΩM?) =θ

etΩM?= ΩM.

On notezetz?les affixes respectives deMetM?, l"affixe de--→ΩM?estz?-ω, celle de--→ΩMest

(z-ω). DoncM?=R(M)équivaut àz?-ω=eiθ(z-ω).

I.H.3 Ecriture complexe d"une homothétie

Proposition 11:

Ωest un point d"affixeωetkun réel non nul. L"écriture complexe de l"homothétie de centreΩet de rapportk, qui transformeM(z)enM?(z?)estz?-ω=k(z-ω). M(z)

M?(z?)

-→v u--→ΩM?=k.--→ΩMquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25