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Le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l'axe O; i du domaine Le volume du cône tronqué est l'intégrale de f 2 5 Le tore à section carré engendrée par la rotation d'un carré autour d'une droite

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14 sept 2015 · (at+b) cost + (ct+d) sint En déduire alors par un calcul analogue la valeur de l' intégrale / x 0 t sintdt Calculer ensuite le volume de ce tore

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[NDLR : L'axe de révolution doit en outre ne pas rencontrer le cercle, si on souhaite une surface sans croisement ] Peut-on trouver le volume d'un tore ? Solution 

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Titre du cours : Calcul différentiel et intégral Sigle et Pour calculer l'intégrale de la fonction rationnelle restante, on doit En conclusion, le volume du tore est

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Calculer la somme intégrale de la fonction ƒ(x) = 1 - x2 sur l'intervalle [0,3] exemple 3 9 7 À l'aide du théorème de Pappus, trouver le volume du tore ( beignet)

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On appelle intégrale définie d'une fonction f entre a et b lim n→+∞ Théorème fondamental du calcul intégral Soient f une Calculer le volume d'un tore avec

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L'idée intuitive d'intégrale d'une fonction est celle ”d'aire sous sa Calculer le volume du tore engendré par la rotation du cercle x2 ` y2 “ 4 autour de la droite x  

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calcul du volume d'un solide troué: nouvelles figures à l'exemple 5 6, avec lien vers fichier graphique en tant qu'aire sous une courbe, puis celle d'intégrale indéfinie (d) Un tore obtenu en faisant tourner un disque de rayon a centré en ( b; 

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Conservatoire National des Arts et Métiers

Apprentis en Sciences et Techniques Nucléaires

Cours d"Analyse Vectorielle

14 septembre 2015

Exercices

Cours 1. Intégrales simples.

Exercice 1) Intégrales parfois généralisées

CalculerR1

0xdx, et plus généralementR1

0xdx. D"abord pourpositif, puis pour

compris entre -1 et 0. Que se passe-t-il pourstrictement plus petit que -1 ? Pour =1?

Exercice 2) Intégration par parties ?

CalculerRx

0tcostdten utilisant une intégration par parties. Reprendre le calcul précé-

dent en exprimant une primitive de la fonctiont7!tcostsous la forme générale (at+b)cost+ (ct+d)sint. En déduire alors par un calcul analogue la valeur de l"intégraleRx

0tsintdt.

Exercice 3) Fonction réciproque

Montrer la relation

ddxArccosx=1p1x2:Quelle est la valeur deddxArcsinx? Exercice 4) Changement de variables dans une intégrale

Montrer qu"on a les égalités suivantesR

0sin2tcostdt=12

R 1

0pydy=R1

0x2dx=13

CalculerRp

0sin(x2)xdx:

Exercice 5) Moyenne classique

Que valentR

0sin2xdxetR

0cos2xdx?

Exercice 6) Solution explicite d"un problème de Poisson On se donne une fonction continuefdéfinie sur l"intervalle[0;1]et à valeurs dansIR.

On pose

u(x) = (1x)Rx

0tf(t)dt+xR1

x(1t)f(t)dt. Calculeru(0),u(1), la dérivéeu0(x)et la dérivée secondeu00(x)pour0< x <1. Exercice 7) Intégration par parties à une variable Soit'une fonction régulière définie sur[0;1]et à valeurs dansIR:Montrer qu"on a : '(1) ='(0) +'0(0) +12 '00(0) +R1

0(t1)22

'000(t)dt:

François Dubois

Cours 2. Longueur d"une courbe et abscisse curviligne

Exercice 1) Un paramétrage mal choisi

On paramètre le demi-cerclede centre O et de rayonRd"ordonnées positives à l"aide de l"expresion fonctionnelley=f(x)avecf(x)pR

2x2. Calculer la longueur de

cet arc de cercle à l"aide d"une relation vue en cours. On pourra utiliser le fait que ddxArcsinx=1p1x2:Reprendre la calcul en utilisant un paramétrage qui conduit à des calculs plus simples, à savoir l"emploi de l"angle polaire.

Exercice 2) Longueur d"une chaînette

On introduit les fonctions cosinus et sinus hyperboliques à l"aide des relationschx= 12 expx+ exp(x)etshx=12 expxexp(x). Montrer que l"on a ch

2xsh21,ch0x= shxetsh0x= chx.

On se donne un réelastrictement positif. La chaînette est la courbe d"équationy=f(x) avecf(x) =ach(x=a). On se donne un nombre réelX >0. Calculer la longueur de la chaînette entre les droites d"abscissesx= 0etx=X.

Exercice 3) Longueur d"un arc de parabole

On se donne un réelastrictement positif et on s"intéresse à la parabole d"équationy= x

2=(2a). On se donne aussi un nombre réelX >0. Exprimer sous la forme d"une intégrale

la longueurL(X)de l"arc de parabolecompris entre les abscissesx= 0etx=X. Le calcul de cette intégrale n"est pas immédiat. Pourxréel, on désigne parArgshxl"unique solutiony2IRde l"équationshy=x. CalculerArgshxà l"aide de la fonction logarithme et montrer queddxArgshx=1p1+x2: En déduire que la longueurL(X)est donnée par l"expression

L(X) =a2

ArgshX=a+Xa

q1 + X=a2

Exercice 4) Longueur de la courbe logarithme

On désigne parlogxle logarithme naturel du nombre réelxstrictement positif. On se donne un nombre réelX >0. Montrer que la longueurL(X)de l"arc de courbe d"équation y= logxcompris entre les abscissesx= 0etx=Xest donnée par l"expression

L(X) =p1 +X2p2 +

12 logp1 +X21p1 +X2+ 1 12 logp21p2 + 1 Cours 3. Normale, courbure et intégrale curviligne

Exercice 1) Cercle osculateur à la parabole

Soitaun réel strictement positif. Calculer en fonction dexle rayon de courbure au point (x; y)de la parabole d"équationy=x2=(2a). Quelle est sa valeur pourx= 0? On note y=C(x)l"équation de la branche du cercle de centre(0; a)et de rayonaqui passe par l"origine. Préciser la valeur de cette fonction et montrer qu"on a le développement suivant 2

CNAM, STN, Analyse Vectorielle, automne 2015

au voisinage dex= 0:C(x) =x2=(2a) + O(x4);oùO(x4)est une fonction qui se comporte proportionnellement àx4lorsque la variablexest voisine de zéro. Reprendre la question précédente avec un cercle de centre(0; r)et de rayonr. Que constatez-vous ?

Exercice 2) Quelques intégrales curvilignes

Soitle demi-cercle centré sur l"origine, de rayonRet satisfaisant à la conditiony0. On parcourt ce demi-cercle vers les abscisses décroissantes. Soitn(nx; ny)le vecteur normal àcompte tenu de l"orientation précédente. On notesl"abscisse curviligne le long du demi-cercle:Calculer les intégrales curvilignesR xds;R yds;R xnxds;R y nxds;R xnydsetR y nyds:

Exercice 3) D"autres intégrales curvilignes

Soitl"arc de la parabole d"équationy=x2=(2a)entre les droites d"abscissesx= 0 etx=X. On parcourt cette courbe dans le sens des abscisses croissantes. On note n(nx; ny)le vecteur normal àcompte tenu de l"orientation précédente. Rappeler l"expression du vecteurnen fonction de l"abscissex. On notesl"abscisse curviligne le long de l"arc:Que vautdsdten fonction dex? Calculer les intégrales curvilignesR xnyds;R xnxds;R yX2=(2a)nydsetR yX2=(2a)nxds: Cours 4. Dérivation des fonctions de deux variables réelles Exercice 1) Une solution de l"équation de Laplace

On poseu(x; y) = logpx

2+y2:Quel est l"ensemble de définition de la fonctionu?

Calculer les dérivées partielles

@u@x ;@u@y ;@2u@x

2et@2u@y

2:Montrer que l"on a

u(x; y)@2u@x

2+@2u@y

2= 0: Exercice 2) Explicitation d"équations aux dérivées partielles On poseu(x; y) = logex+ey:Quel est l"ensemble de définition de la fonctionu?

Montrer que

@u@x +@u@y = 1:Montrer que@2u@x

2@2u@y

2@2u@x@y

2= 0:

Exercice 3) Matrices jacobiennes

Pourr >0et2IR, on posex=rcos; y=rsin, ce qui définit une fonctionF de]0;+1[IR!IR2parF(r; ) = (x; y) = (rcos; rsin). Calculer la jacobienne J F(r; )dF(r; ):Réciproquement, pourx >0ety2IR, on définitretà l"aide des relationsr=px

2+y2; = Arctgy=x. D"où une applicationGtelle que

(r; ) =G(x; y). Calculer la jacobienneJG(x; y)dG(x; y):Montrer queJFJG= J

GJF=1 0

0 1 . Pouvait-on prévoir le résultat ?

Exercice 4) Distance d"un point à une droite

SoitMun point du plan de coordonnées(X; Y)etDla droite du plan d"équation x+2y2 = 0:Calculer la distanced(X; Y)du pointMà la droiteD. Avec les notations 3

François Dubois

introduites à la question précédente, exprimer la quantitégd(X; Y)2+OM2à l"aide def(X; Y):En déduire la valeur minimale prise parglorsque le pointMparcourt le plan.

Exercice 5) Equation fonctionnelle

On cherche à déterminer une fonctionfdeIRdansIRdérivable telle que f(x+y) =f(x)f(y)pour tout(x; y)appartenant àIR2. Montrer que sifest constante alorsf(x) = 08x2IRou bienf(x) = 18x2IR. En déduire que sifn"estpasune fonction constante, alorsf(0) = 1. En déduire qu"il existe

2IRde sorte quef0(x) =f(x)8x2IR. Expliciter alors toutes les fonctionsfqui

sont solution de ce problème. Exercice 6) Calcul différentiel en grande dimension On se donne un entiern1;une matriceAsymétrique réelle ànlignes etncolonnes etbun vecteur deIRn. On note(x; y)Pn j=1xjyjle produit scalaire de deux vecteurs deIRn. On poseJ(x) =12 (Ax; x)(b; x):C"est une fonction deIRndansIR. a) Montrer que la fonctionJest différentiable en tout pointxdeIRnet calculer l"action dJ(x)hde la différentielledJ(x)sur un vecteurh2IRnarbitraire. b) Comment s"exprime la conditiondJ(x) = 0? c) On suppose maintenant que la matriceAest positive :(h; Ah)0;pour tout h2IRn. Montrer que la fonctionJadmet un unique point de minimumxqui vérifie

J(x)J(x)pour toutx2IRn.

d) Préciser la valeur dexlorsquen= 2,A=31 1 1 etb=4 2

Exercice 7) Laplacien radial

Pour un point(x; y)arbitraire du plan, on introduit le rayonr >0défini par la relation r

2=x2+y2:Soit'une fonction régulière d"une variable réelle. On introduit une

fonction de deux variablesf(x; y)grâce à l"expressionf(x; y) ='(r):Calculerf 2f@x

2+@2f@y

2en fonction de la variableret des dérivées de la fonction':En déduire

l"expression d"une solution radialef(x; y) ='(r)de l"équation de Laplacef= 0.

Exercice 8) Points critiques [hors programme]

On considère la fonction de deux variablesf(x; y) = 44x8y+ 6x2+ 4xy+ 9y2: Calculer les dérivées partielles du premier ordre def(x; y):En déduire que la fonctionf admet un unique point critique(x0; y0)qu"on déterminera. Calculer les dérivées partielles du deuxième ordre de la fonctionfen ce point. En déduire sa nature : minimum, maximum ou point selle. On admettra que ce point(x0; y0)est un minimumabsolude la fonctionf. 4

CNAM, STN, Analyse Vectorielle, automne 2015

Cours 5. Introduction à l"intégrale doubleFigure 1.

Exercice 1) Quelques intégrales.

CalculerRR

[0;1][0;2]xy2dxdyetRR [0;][0;]xsin(x+y)dxdy :SoitTle triangle décrit géométriquement à la Figure 1 et algébriquement à l"aide de la relationT=f(x; y)2 IR

2;0yx1g:Calculer les cinq intégrales doubles suivantes :RR

Tdxdy,RR

Txdxdy,RR

Tydxdy,RR

Tx2dxdyetRR

Txydxdy.

Exercice 2) Savoir utiliser Fubini

On se donne une fonctionfdéfinie pourxetyréels. Ecrire l"expression de l"intégrale doubleR1

0dyRpy

ydx f(x; y)obtenue après échange de l"ordre des intégrales.

Exercice 3) Encadrement

On considère le domaineDdéfini parD=f(x; y)2IR2;0x2;0y2g: A l"aide d"inégalités fondamentales valables sur le domaineD, proposer un minorant et un majorant de l"intégraleRR

D(x+ 1)ydxdy:

Exercice 4) Calcul d"aire

Soita < bethtrois nombres réels strictement positifs. On noteAetBles points de coordonnées(0;a)et(h; b):On appellePle parallélogramme bordé par l"axe des abscisses, les droitesx=a; x=bet la droiteAB:A l"aide d"un calcul intégral classique, rappeler la valeur de l"aire deP. Par un calcul d"intégrale double, retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Fubini et une intégration d"abord selonypuis ensuite selonx. Exercice 5) Calcul d"une aire et d"un centre de gravité On appelleDle domaine défini parD=f(x; y)2IR2; x2ypxg:Après l"avoir représenté graphiquement, calculer la surfacejDjdu domaineD. On rappelle que le centre de gravité deDest l"unique pointGdu plan de coordonnés(X; Y)tel queRR

D(xX)dxdy=RR

D(yY)dxdy= 0:

Calculer les coordonnées du centre de gravitéGdu domaineD. 5

François Dubois

Cours 6. Changements de variables lors du calcul d"intégrales doubles

Exercice 1) Domaine circulaire

SoitDle cercle de centre l"origine et de rayonR:D=f(x; y)2IR2; x2+y2R2g:

Calculer l"intégrale doubleRR

D(x2+y2)dxdyd"abord directement grâce au théorème de Fubini puis en effectuant un changement de variables en coordonnées polaires. Mêmes questions pourRR Dx3y2dxdy:Mêmes questions avec l"intégrale qui s"écrit avec la même expression algébrique mais dans le domaineD1=f(x; y)2IR2;x0; x2+y2R2g:

Exercice 2) Domaine elliptique

Soita >0etb >0deux longueurs fixées. On noteDl"intersection de l"intérieur de l"ellipse d"équation x2a 2+y2b

2= 1avec le premier quadrantx0; y0:Effectuer un

changement de variables non banal pour transformer l"intégrale doubleRR

Dxydxdy:

Achever le calcul de cette intégrale. Avec le changement de variablesx=arcos y=brsin;calculer la surface de l"ellipse de demi-grand axeaet demi-petit axeb. Exercice 3) Un changement de variable non classique Soit0< a < bdeux longueurs fixées et0< < deux autres nombres. On appelle Dle domaine du quadrantx0; y0entre les deux arcs d"hyperbolesxy=aet xy=bd"une part et les droites passant par l"origine et de pentesetd"autre part. Dessiner le domaineD. Calculer l"aire de ce domaine, après avoir effectué un changement de variables adapté au problème.

Exercice 4) Calcul d"une intégrale Gaussienne

SoitRun réel strictement positif,CRle carré[0; R][0; R]etDRle quart de disque centé à l"origine et de rayonR:DR=f(x; y)2IR2; x0; y0; x

2+y2R2g. On introduit la fonction de deux variables

f(x; y) = exp(x2+y2): Montrer qu"on a les inégalités suivantes :RR D

Rf(x; y)dxdyRR

C

Rf(x; y)dxdyRR

D Rp2 f(x; y)dxdy:Montrer à l"aide du théorème de Fubini que l"intégraleRR C Rf(x; y)dxdyfait apparaître le carré d"une intégrale simple. Montrer à l"aide d"un changement de variable classique que siRtend vers l"infini, l"intégrale doubleRR D

Rf(x; y)dxdy

converge vers une valeur numérique précise que l"on explicitera. Montrer que si elles exis- tent, les limites pourRtendant vers l"infini deRR C

Rf(x; y)dxdyetRR

D

Rf(x; y)dxdy

sont égales. En déduire l"expression, avec une formule algébrique "exacte" de l"intégrale

de GaussR1

0et2dt:

Exercice 5) Changement de variable hyperbolique

Soit'0>0un nombre réel strictement positif etDle domainef(x; y)2IR2; x0; y0; x2y21; yxtanh'0g:Dessiner le domaineD. Calculer l"aire de ce domaine,

après avoir effectué un changement de variables adapté au problème. Calculer l"intégrale

doubleRR

Dx2y2dxdy:

6

CNAM, STN, Analyse Vectorielle, automne 2015

Cours 7. Intégration par parties des intégrales doubles

Exercice 1) Calcul d"aire

En choisissant de façon appropriée la fonctionf, montrer que la relationR @f@x dxdy=R f nxd permet de calculer une surface. Même question avec la relation d"intégration par partiesR @g@y dxdy=R g nyd Expérimenter l"une des deux relations pour calculer la surface d"un domaine simple par une intégrale sur le bord@

Exercice 2) Divergence d"un champ de vecteurs

Soit un ouvert borné deIR2. On note@ sa frontière, que l"on suppose être une courbe régulière fermée. On notensa normale extérieure etd l"élément de longueur le long de cette courbe. Soit'un champ de vecteurs sur , c"est à dire une fonction !IR2. On note'xet'yses composantes. Ce sont deux champs scalaires !IR. On pose div'@'x@x +@'y@y

Démontrer que l"on aR

div'dxdy=R 'nd . Réciproquement, démontrer que si la relation précédente est vraie pour tout champ de vecteurs, alors les deux relations fondamentales rappelées à l"exercice précédent sont satisfaites.

Exercice 3) Intégrale du Laplacien

Dans les mêmes conditions qu"à l"exercice précédent, on se donne une fonction régulière

u: !IR. On note u@2u@x

2+@2u@y

2 le Laplacien de la fonctionu. Démontrer queudiv(ru). On introduit également la dérivée normale @u@n rundeusur le bord@ . Déduire de l"exercice précédent queR udxdy=R @u@n d Exercice 4) Une autre formule d"intégration par parties Sivetwsont deux fonctions régulières de l"ouvert

à valeurs dansIRetnla normale

extérieure à@ , on rappelle que@v@n rvnP j@v@x jnjdésigne la dérivée normale.

Montrer que

R v wdxdy=R rvrwdxdyR @v@n wd 7

François Dubois

Cours 8. Intégrales de surface

Exercice 1) Demi-sphère

Soitla demi-sphère de centre l"origine, de rayonR >0et qui satisfait à l"inégalité z0. Calculer l"intégrale de surfaceR zd.

Exercice 2) Une autre demi-sphère

Soitla demi-sphère de centre l"origine, de rayonR >0et qui satisfait à l"inégalité x0. En utilisant les coordonnées polaireset'définies par x=Rsincos'; y=Rsinsin'; z=Rcos; préciser pour quelles valeurs du paramètre(; ')le pointM(; ')appartient à. En déduire la veleur de l"intégrale de surfaceI=R xd.

Exercice 3) Rotationnel

Soitun vecteur donné deIR3rxi+yj+zkun point courant deIR3et'(r) r. Calculer le vecteurrot'en fonction de. Exercice 4) Un cas particulier du théorème de Stokes Soitla demi-sphère de centre l"origine, de rayonR >0et qui satisfait à l"inégalité z0. On notenla normale àqui pointe vers la direction opposée à l"origine. Montrer ques"appuie sur le cercledans le planx0yde centre l"origine et de rayonRet de vecteur tangent. On suppose que l"orientation du vecteur tangentest compatible avec celle de la normalenà. Pourrxi+yj+zk, on pose'(r) yi+xj. Calculer d"une part le fluxR rot'ndet d"autre part la circulationR 'd . Constater que l"on a l"égalitéR rot'nd=R 'd

Exercice 5) Double produit vectoriel

On rappelle que le produit vectorieluvde deux veteursu=uxi+uyj+uzket v=vxi+vyj+vzkdeIR3est donné par l"expression uv= (uyvzuzvy)i+ (uzvxuxvz)j+ (uxvyuyvx)k: Etablir la relation dite du "double produit vectoriel" : (uv)w=(vw)u+ (uw)v : 8

CNAM, STN, Analyse Vectorielle, automne 2015

Cours 9. Calcul des intégrales triplesFigure 2. Figure 3.

Exercice 1) Volume d"une pyramide

Calculer le volume de la pyramide représentée à la figure 2. On pourra posera=BCet h=OA.

Exercice 2) Calcul d"un jacobien

En utilisant les coordonnées polairesr,et'définies par x=rsincos'; y=rsinsin'; z=rcos; montrer que le jacobienJ= dF(r;; ')de la transformationFqui au triplet(r; ; ') associe le pointMde coordonnées(x; y; z)a un déterminant jacobien donné par la relationdetJ=r2sin.

Exercice 3) Volume d"un ellipsoïde

On se donne trois nombres strictement positifsa,betc. SoitEl"ellipsoïde deIR3défini comme ensemble des pointsMde coordonnées(x; y; z)satisfaisant à la relation x 2a 2+y2b 2+z2c 21.

Calculer le volumejEjde l"ellipsoïdeE.

Exercice 4) Volume d"un tore

Soit T le tore de "grand rayon"Ret de "petit rayon"rillustré à la figure 3. On peut l"obtenir en faisant tourner un petit disque de rayonrle long d"un grand cercle de rayon R. Montrer que l"on peut paramétrer ce tore par les relations x= (R+urcos) cos'; y= (R+urcos) sin'; z=ursin'; avec les inégalités

0u1;02 ;0'2 :

Calculer ensuite le volume de ce tore.

9

François Dubois

Cours 10. Intégration par parties des intégrales triples

Exercice 1) Volume d"une boule

Pourrxi+yj+zkun point courant deIR3, on pose'(r)r. A l"aide de la relationR div'dxdydz=R 'nd appliquée à ce champ de vecteurs, montrer que le volumeVde la boule de centre l"origine et de rayonRest donné par la relation V=43 R3:Figure 4. Exercice 2) Volume d"un tronc de cône sphérique SoitVle volume de l"espaceIR3défini en coordonnées sphériques(r; ; ')par les con- ditionsrRet, ainsi qu"illustré à la figure 4. Avec l"aide du champ de vecteurs '(r)r, montrer que le volume du tronc de cône sphériqueVest donné par la relation jVj=43 R3sin22quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40