Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0, l'unique solution a de l 'équation ex = m On note cette solution a = ln(m) Définition 2 On appelle
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Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations 1 1 Limite en +∞ et −∞ f(x) xn 1 xn √ x 1 √ x ln(x) ex lim x→+∞ f(x) +∞ 0 +∞ 0
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a) y = lnx avec x > 0 ⇔ x = ey b) ln1= 0 ; lne = 1 ; ln 1 e = −1 c) Pour tout x, lnex = x d) Pour tout x strictement positif, eln x = x Démonstrations : a) Par définition
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La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln : 0;+∞⎤⎦⎡⎣→ x " lnx Exemple : L'équation ex = 5 admet une unique solution Il s'agit de x
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Théorème sur les limites du logarithme népérien en 0 et +∞ ( ) x lim ln x →+∞ Comme la fonction ln est strictement croissante sur ] [ 0;+∞ et que ( ) ln 1 0
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x • ln 1 = 0 • ln e = 1 Remarque : La fonction exponentielle transformant une somme en produit, on peut penser que la fonction logarithme népérien qui est sa
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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α ln(a) e0 = 1 ex+y =
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ln(x) x = 0 • Nombre dérivé en 1 : lim h→0 ln(1 + h)
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ln(x – 10) < 0 équivaut à 0 < x – 10
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