Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α ln(a) e0 = 1 ex+y =
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Vidéo https://youtu be/lCT-8ijhZiE Vidéo https://youtu be/_fpPphstjYw Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes : a) ln x = 2, I = 0; + ∞ ] [ b) ex+1
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2 lnx d) lnxn = nlnx avec n entier relatif Démonstrations : a) 1 1 ln ln ln ln1 0 La fonction ln est continue sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ , donc pour tout réel a > 0, on a : lim
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0 1 2 Limite en 0 f(x) 1 xn 1 √ x ln(x) lim x→0 x>0 f(x) +∞ +∞ −∞ lim x→0 x
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On a donc ln a < ln b On en déduit que la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [ Page 2 - Logarithme népérien - 2 / 4 Conséquences Pour tous réels
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Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0, l'unique solution a de l 'équation ex = m On note cette solution a = ln(m) Définition 2 On appelle
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II ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME a) Variations La fonction logarithme est dérivable sur ] 0 ; + [ Sa dérivée est : ( ) ln(x) ' = 1 x Démonstration : ( ) e
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2 3 X s = ln(X) y = 1/x La fonction logarithme est l'unique fonction f, définie et dérivable sur ]0, +∞[ et vérifiant f(1) = 0 et pour tout réel x>0, f′(x) = 1 x ln est la
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ln(x) ln(10) (avec ln(10) = 2,3 ) La fonction x ↦→ log(x) s'appelle la fonction x>0 log(x)=−∞ lim x→+∞ log(x)=+∞ Propriétés algébriques log(1) = 0 log(10)
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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α ln(a) e0 = 1 ex+y =
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ln 1 0 = alors ( ) ln 2 est un réel strictement positif Par conséquent, le quotient ( ) M 0 x 2 = à partir duquel ( ) ln x M ≥ C'est la définition d'une limite +∞
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