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Chapitre4

Compacit´e

4.1Lapropri´et´edeBorel-Lebesgue

r´eunioncontientA. sous-recouvrementfini. compacteets´epar´ee. 16 l"intersectionnerencontrepasA. lespartiesferm´ees. K?Xestcompactesietseulementsi elleestferm´ee(dansX). suiteconvergente. admetunesous-suiteconvergentedansA.

Onred´emontre:

partiesferm´ees. Corollaire4.2.3.Tout espacem´etriquecompactestcomplet. 17

4.3Compacit´e etcontinuit´e

estunepartiequasi-compacte. Corollaire4.3.3.Soitfuneapplicationcontinued"unespace compactdansunespace estunhom´eomorphisme. Corollaire4.3.5.Soitfuneapplicationcontinued"unespace compactdansR,alors rielsnorm´es hom´eomorphisme.

´equivalentes.

finier´eeloucomplexeestcontinue. compactesestcompacte. fini.

VetWtelsque:

A?Vetx?W.

existedesouvertsdisjointsVetWtelsque:

A?VetB?W.

18 SurunmˆemeensembleX,larelationd"inclusioninduitunerelation d"ordresurles topologies. queT?sietseulementsiT??T. moinsfineestlatopologiegrossi`ere. lesprojectionspi:Y→Xi,i?{1,2}.Cettetopologiea pourbaselesproduitsd"ouverts. (a,x2)estcontinue. f(0,0)=0,etpour (x,y)?=(0,0),f(x,y)=xy x2+y2.

Etudierlesapplicationspartielles.

4.6Espacelocalementcompact

estdedimensionfinie. 19 X. compacteK?. (c)D´emontrerqu"ilexisteunvoisinage compactdeacontenudansV. 20quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35