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19 sept 2005 · 1 1 7 Étude des filtres numériques RII en virgule fixe Les calculs d'une cellule du second ordre d'un filtre RII sont donnés par l'équation ci-dessous où les ai et bi sont des On prendra N = 7 dans la suite de l'exercice

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filtre RII 9) [ V ] Les filtres à transformée de Fourier permettent d'obtenir des réponses en fréquence de forme arbitraire 10) [ V ] La transformation bilinéaire

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Exercice 1 (56) On considère un signal temps discret non-périodique défini par xn = δn − 1 1δn−4 avec fe Exercice 5 (33) Un filtre anti-repliement de spectre est souvent placé avant l'échantillon- nage A quoi Le type de filtre (RII,RIF) 2

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1) De quel type de filtre s'agit-il (RII, RIF) et quel est On considère le filtre RII suivant : TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL - CORRIGE DU TD N°1 -

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7 2 EXEMPLE 2: FILTRE PASSE-BAS DU DEUXIÈME ORDRE On dit que c' est un filtre à réponse impulsionnelle infinie ou filtre RII (ou encore IIR) { } { }

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ÉlectroniqueetInfo rmatiqueIndustrielle2

nde année- EII2

19septembre 2005

TraitementNumériqueduSignal

Fasciculedetravaux dirigéset examens

OlivierSentieys, DanielMénard

ENSSAT-Universitéde Rennes1

sentieys@enssat.fr http://www.irisa.fr/R2D2

6Rue deKerampont -BP447

22305LANNION- France

IRISA - ENSSAT

SATENSENSSAT

Institutde RechercheenInfo rmatiqueetSystèmes Aléatoires ÉcoleNationaleS upérieured eSciencesAppliquéesetdeTechnologie

TechnopôleAnticipaLannion

Tabledesmatières

1.1Analyse desfiltresnumérique s........ .............. .......1

1.1.1Celluleélé mentairedupremierord reRII...................1

1.1.2Celluledu secondordreRIIpuremen trécur sive.............. ..1

1.1.3Analysed'un filtrenumériqueRIF.. ............ .........2

1.1.4Filtragenumérique RIF(1) ... ... ..... ... ... ... ... ... 4

1.1.5Filtragenumérique RIF(2) ... .. ...... ... ... ... ... .. .4

1.1.6Filtragenumérique RIFc ascade.. ... ...... ... .. ... ... ..4

1.1.7É tudedesfiltresnumériquesRII envirgulefixe ... ... ..... ... ..5

1.2Synthèse desfiltresRII. ... ... ...... .. ... ... ... ... ... ..9

1.2.1Filtrepasse basdu deuxièmeo rdre.. ..... ...... ...... ... 9

1.2.2Filtrepasse haut. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..10

1.3Synthèse desfiltresRIF... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .. .10

1.3.1Méthodedufe nêtrage............. ...... ..........10

1.3.2Métho dedel'échantillonnagefréquentiel..... ... .. ... ... ... 11

1.4Trans forméedeFourierDiscrèteetRapide(T FDetTF R)..............13

1.4.1TFDbidimensionnelle.... ... ... .. ... ... ... ... ... ..13

1.4.2Transformée deFourierGlissante........... ..... .......13

1.4.3Transformée deFourierenBase4............. ..... ....13

1.4.4Optimisationdu calculdela TFRd'unesuite denombres réels. ... ... 13

1.4.5Optimisationdu calculdela TFRdedeux suitesdenomb resréels ... ..14

1.4.6ComparaisonentreTFSDetTFD ...... ... .. ... ... ... ..14

1.4.7TFDparconvo lution... ........ ..................15

1.4.8BruitsdanslaTFD. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 15

1.4.9Étude desbruitsdec alculdans latransformée deFourierRapide. .....16

1.4.10CalculsdeTFD... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 17

1.4.11Transforméee ncosinusdiscretrapide........ ...... .......17

1.5Analyse spectrale........ .......................... .19

1.5.1Questions..... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .19

1.5.2Analysespe ctraled'unsignals inusoïdal................. ...19

1.5.3Analysespe ctraled'unsignal. ........................19

1.6Convolu tion......................... ... ... .. ... ..19

1.6.1Calculd'un econvolution...... ............... ......19

1.6.2Complexitéd ecalculd'uneconvolution.... ..... ...........20

1.7Interpolationet décimation..... ... ... ... .. ... ... ... ... ..20

1.7.1Interpolationlinéaire... ...... .. ... ... ... ... ... ... .20

1.7.2Suréchantillonnage ...... ... .. ... ... ... ... ... ... .. 20

2Cor rectionsdesTravauxDirigésenTN S21

2.1Analyse desfiltresnumérique s........ .............. .......21

2.1.1Celluleél émentairedupremieror dreRII...................21

2.1.2Celluledus econdordreRIIpurement récurs ive............... .21

2.1.3Analysed'un filtrenumériqueRIF.. ............ .........21

2.1.4Filtragenumérique RIF(1) ... ... ..... ... ... ... ... ... 21

2.1.5Filtrage numériqueRIF( 2).. ... ...... .. ... ... ... ... .21

2.1.6FiltrageNumérique RIFcascade ... ... ..... ... ... ... ... 23

2.1.7Étude desbruitsdec alculdans lesfiltresnumériquesRI I..... .....23

2.2Synthèse desfiltresRII.. ... .. ...... ... ... ... ... .. ... ..23

2.2.1Filtrepasse basd udeuxième ordre. ...... ..... ...... ... .23

2.2.2Filtrepasse haut.. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .23

2.3Synthèse desfiltresRIF... ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... .23

2.3.1Méthodedu fenêtrage............ ...... ...........23

2.3.2Métho dedel'échantillonnagefréquentiel.... ... ... .. ... ... .24

2.4Transf orméedeFourierDiscrèteetRapide(TF DetTFR )..............26

2.4.1TFDbi-dimensionnelle.... ... ... .. ... ... ... ... ... ..26

2.4.2Transformée deFourierGlissante........... ..... .......26

2.4.3Transformée deFourierenBase4............. ..... ....26

2.4.4Optimisationdu calculdela TFRd'unesuite denombres réels. ... ... 26

2.4.5Optimisationdu calculdela TFRdedeux suitesdenomb resréels ... ..26

2.4.6Comparaison TFTDetTFD... ... ... .. ... ... ... ... ..27

2.4.7TFDparconvo lution... ........ ..................28

2.4.8CalculsdeTFD.. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .28

2.4.9Transformée enCosinusRapide............... ..... ....29

2.5Analyse spectrale........ .......................... .31

2.5.1Questions..... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .31

2.5.2Analysespe ctraled'unsignals inusoïdal................. ...32

2.5.3Analysespe ctraled'unsignal. ........................32

2.6Convolu tion......................... ... ... .. ... ..32

2.6.1Calculd'un econvolution...... ............... ......32

2.6.2Complexitéd ecalculd'uneconvolution.... ..... ...........32

2.7Interpolationet décimation..... ... ... ... .. ... ... ... ... ..32

2.7.1Interpolationlinéaire... ...... .. ... ... ... ... ... ... .32

2.7.2Suréchantillonnage ...... ... .. ... ... ... ... ... ... .. 32

3Exa mens33

3.1DSnovemb re2004 ...... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..33

3.2DSnovemb re2003. ...... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .37

3.3DSnovemb re2002. ...... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .41

3.4DS novembre2001 ...... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..44

2 3

4Cor rectionsdesexamens49

4.1Co rrectionduDSdedécembre 2004.. ... ... ..... ... ... ... ... 49

4.2Correction duDSdenovembre2003 ... ... .. ...... ... ... ... ..52

4.3Correction duDSdenovembre2002 ... ... .. ...... ... ... ... ..54

4.4Correction duDSdenovembre2001 ... ... .. ...... ... ... ... ..56

AAbaquesdefiltrageanalogique59

A.1Filtresde Butterworth ... ........ ... ... ... ... ... ... ... .59 A.2Filtres deB essel..... ...... ... .. ... ... ... ... ... ... .. 59 A.3Filtresd eC hebyshev.... ......... .. ... ... ... ... ... ... .62 A.4Filtrese lliptiquesde Cauer.... ..... ...... ... ... ... .. ... .63

Chapitre1

TravauxDirigésenTraitement

Numériquedu Signal

1.1Analyse desfiltresnumériques

1.1.1Celluleélémen tairedu premierordreRII

Soitlesystè mequi,à lasuitededonnéesx(n),f aitcorrespon drelasuitey(n)telleque: y(n)=x(n)+b.y(n-1) oùbestuneconstan te.

1.Donn erlesréponsesimpul sionne llesetindiciellesdecesys tème.pardeuxméthodes

(suitenumérique, transforméeenZ).Que peutondir edelastabilit édufil tre.

2.Étud ierl'analogieaveclesy stèmecontinudeconstantedetemp st,échantillonnéavec

lapé riodeT.

3.Étudierla réponse fréquentielle dufiltre.

4.Donn erlastructurederéa lis ationdufiltre.

1.1.2Celluledu secondordreR II purementr écursive

Soitlesystèm equi,àl asuitededonnéesx(n),fa itcorrespond relasuitey(n)telleque : y(n)=x(n)-b 1 .y(n-1)-b 2 .y(n-2)

1.Donn erlafonctiondetran sfe rtenZdusystème.

2.Endéduire laréponse impulsionnelledufiltre numérique.

3.Étudierla réponsefréquen tielledufiltre. Onregarderaplusparticulièrementl'influence

descoe ffi cientsb 1 etb 2 surlespôl esdelaf onctiondetransf ertH(z).

4.Tracer lediagrammedespôles etzéros.

5.Don nerlesstructuresder éalis ation.

2TravauxDirigésenTrai tementNumériqueduSig nal

xy h0 h2 h3 h4 h6 T TTTTT T T T T

Fig.1.1:FiltreFIR

1.1.3Analysed'un filtrenumérique RIF

Soitunfiltre àréponse impulsionnellefiniedon tlesc hémadefonctionnementdans ledomaine temporelestdonnéfigure 1.1.

Onp oseT

e lapério ded'échantillonnagedusystèmenumérique,T e =1.

1.1.3.1E tudedelaréponse fréquentielle

1.Donn erlesexpressionsde l'équa tionauxdi

érencesfiniesainsique lafonctiondetra ns-

fertenZ.

2.Dét erminerettracerlaréponseimpuls ionnel leh(n)dufiltr e,lorsqueh

1 =h 5 =0.1, h 2 =h 4 =-0.3,h 3 =0.49.

3.Calculerla réponsef réquentielleH(e

jΩ )dufilt re.Déterminersonmod uleetsaphase.

Onnoteque :

e -jΩ 1 +e -jΩ 2 =2×e -j 1 2 2

×cos(

2 1 2

4.Don nerlesvaleursdumodul eenΩ=0,π/2,,π,2π.

5.Tra cerapproximativeme ntsonmodule.Dequeltypedefiltres'agit-il?

1.1.3.2Description lel'architectureDSPcible

Nousavonsunc alculateurdety peDSP( spécialisédansletraitementdusigna l)don tles caractéristiquessont lessuivantes: -lec ycl ed'horlogeestd e100ns -les opérat ionsd'accumulation,oudemultip lication/additionsontexécutéesenuncycle; -les calcul ssontréalisésensimpl eprécision; -les donnée senentréeetensortied umulti plieursontcodéess urbbits; -les donnée senentréeetensortied el'add itionneursontcodé essurbbits; -les donnée ssontstockéesenmémoi resurbbits; -leb itd esignered ondan tissudelamultip licationn'estpasautomatiqu ementélimin é;

1.1Analysedes filtresnumériques 3

-lalo id equant ificati onutiliséeestl'arrondi.

1.1.3.3Complexitéd el'implantation dufiltre

1.Quel leestlacomplexitéd ufiltretel quer éaliséfigure1.1ennombredemulti plica tions

etd'ad ditions.Quelestlenombredemotsmémoiresn écessairesà l'exécuti ond ucalcul. (onconsidéreraune complexitépour Npointsdusignald' entrée traités).

2.Quelleest danscecas lafréquenced'éc hantillonnagemaximale dusignal?

3.Donnerun schéma deprincipe deréalisationdufiltredansledomainefréquen tiel.Quelle

estlacomp lex itéalgorithmiquedecettenouvel lesolution(opérationsetmotsmémoire)? Comparerlesdeux approches, laméthode fréquentielleest-elleexacte?

4.Donn erlecodeCdel'appli cat ionutilisant l'a rithm étiquevirguleflottante.

1.1.3.4Étude del'implantationdufiltreen virgulefixe

Lesdonnéesd'en tréeetde sortiesonts tock éesen mémoire.Nousconsidéronsquel'entrée du

filtreestcomprise dansl'interv alle]-1,1[.

1.Dét erminerladynamiquedelasortiedu filtrey(n)àpa rtirdelanormedeChe bychev .

Endéduirele codagede lasortie.

2.Déterminerla positionde lavirguledes variablesintermédiairesetdes coe

ffi cients.

3.Déterminerle codagedes variablesin termédiairesetdescoe

ffi cients.

4.Ide ntifierlessourcesdebruitslié esàlaqua ntificationd'unsignal ausein dufiltre.

Rappelerbrièvementle modèledequantificationd'unsignaln umérique.

5.Lebr uiteng endréparlesign alenentréedufiltreestnég ligé.Donn erlapui ssancede

bruitσ 2 f ensortiedu filtre.

6.Main tenant,lesignald'entréeestbruitép arl 'opérationdequant ification(onnotela

puissancedece bruitσ 2 e ).Quelleest danscecas lapuissancedu bruitensortie ?Que conclure?

7.Lesignal d'entréeest unesignalsin usoïdalde1Vcrête.Quelestlapuis sancedece

signal?Déterminerlerapport signalà bruitenen tréeetensortie dufiltre.

8.Quelserait lenombre debitsp ourobtenirun RSBensortiesupérieure à40dB?

Onrapp ellequelerapportsignalàb ruitestdo nné parlarelation: RSB=

Puissancedusignal

Puissancedubruit

2 x 2 b RSB dB =10log 2 x 2 b

4TravauxDirigésenTrai tementNumériqueduSig nal

1.1.4Filtragen umériqueRIF(1)

Soitlefiltre numériques uivant :H(z)=0,1.(z

-1 +z -3 )+0,2.z -2

Onpo seraT

1.Donnezet tracezsa réponseimpulsionnelle h(n).Quellessontsescaractéristiques.

2.Calc ulezlaréponsefréquentie lledus ystème.Tracezsonmodul eetsaphase.Onmontrera

quelaphase dufi ltreestlinéair e.Donn ezlafréquencede coupureà- 3dB.

3.Quel typedefiltrees tréalisé ?

4.Donnezl'expression delasortie y(n)dufiltreen fonctionde l'entréex(n).Calculezet

dessinezlesignaldesortie du filtrey(n)pourn=0...7lorsquel'entrée est: x(n)=

1n=0,1

0ailleurs

1.1.5Filtrage numériqueRIF (2)

Soitle filtrederép onseimpulsionnellesuiv ante: h(n)=a 0

δ(n)+a

δ(n-1)+a

δ(n-2)+a

δ(n-3)+ a

δ(n-4)

1.Donnerl'expression del'équation auxdi

érencesfiniesde cesfiltreset desa fonction de

transfertenZ

2.Endéduire laréponse fréquentielle H(e

jΩ ),p uisl'express iondesonmoduleetdesa phase.

3.Calculerles valeursdu modulep ourΩ=0,π,2π,

4.Déte rmineroùsetrouveleminimumetlem aximum decem odule.Endéduireque lt ype

defiltrep eutêtreréalisé parh(n).

5.Trou verlesvaleursdescoe

ffi cientsa i telsque|H(e jΩ )|soitégal à1,0.5,0en,respecti- vement,Ω=0, 2

π,aveca

i ≥0?i

6.Chercher F

c lafréquencede coupureà-3dBdufiltresi lafréquenced'éc hantillonnage F e =40 kHz

1.1.6Filtragen umériqueRIFcascade

Soitlesfiltres dusecondordre suivant :

H i (z)=b i 0 +b i 1quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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