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CoursdeMécaniquedesfluides

J.ROUSSEL

www.almohandiss.com 2 c

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Tabledesmatières

1Cinématiquedesfluides5

2DynamiquedesfluidesNewtoniens15

3Fluidesenéquilibre25

5Écoulementsvisqueux43

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4Tabledesmatières

6Phénomènesdetensiondesurface49

AFormulairemathématique57

DDiagrammedeMoody69

c

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Chapitre1

Cinématiquedes¯uides

sablesdecetécoulement.

1.1L'état¯uide

1.1.1Propriétésd'un¯uide

Approximation:constante

T=1 V@V@P T=1 @@P T0Pa1 =1 V@V@T P=1 @@T P0K1 passeparunetransitiondephase).

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6Chapitre1.Cinématiquedesfluides

uncoefficientdedilatationtrèsfaible(1 parfait,ona:

Approximationdugazparfait:T=1P

c'estlecasdescristauxliquidesparexemple. desliquides.

1.1.2Lemodèlecontinu

parled'échellemésoscopique.

LamassevolumiquelocaleenM:(M;t)=m

dans,àl'instantt. dansàl'instantt. c

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1.2.Descriptiond'unfluide7

l l

Échelle microscopique

Monde fluctuant et aléatoireN molécules

Échelle mésoscopique

lissage des fluctuations par un effet de moyenne locale L >> v(M,t)M (M,t) mparticule de fluide

Fluidea >>

FIG.1.1-Modèlecontinudufluide.

cules,ions,...).

Remarques:

uidemaislamoyennede K n= L1 conceptsdephysiquestatistique.

1.2Descriptiond'un¯uide

1.2.1DescriptiondeLagrange

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8Chapitre1.Cinématiquedesfluides

xu zuyu x0y0z0 O xyz

Trajectoire

M(x,y,z) à l'instant tM( , , )

0 instant t (a)Visualisationdelatrajectoiresdespar- ticulesautourd'unobstacle 8 :x=x(x0;y0;z0;t) y=y(x0;y0;z0;t) z=z(x0;y0;z0;t)

Lavitessedelaparticules'écrit:

!v(P)=0 B @v x v y v z1 C A=0 B @@x @t@y @t @z @t1 C A avecunlongtempspose(cf.figure1.2).

1.2.2Descriptiond'Euler

c

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1.2.Descriptiond'unfluide9

équationsdifférentiellessuivantes:

dx vx=dyvy=dzvz

Descriptiond'Euler=>Lignedecourant

y xM (x , y , z , t) 111

M (x , y , z , t)

222

Lignes d'écoulement

à l'instant t

(a)Ligned'écoulement(effetMagnus). (b)Visualisationdeslignesdecourantau- tourd'undisque

FIG.1.3-Notiondelignedecourant.

1.2.3Régimesd'écoulement

@t=!0.Attention www.almohandiss.com

10Chapitre1.Cinématiquedesfluides

courantsn'évoluentpasaucoursdutemps. complexeetchaotique. defluideP:8 :x=x(x0;y0;z0;t) y=y(x0;y0;z0;t) z=z(x0;y0;z0;t) !a(P)=0 B @a x a y a z1 C A=0 B 2x @t2 2y @t2 2z @t21 C A champdesvitesses. s'écrit t=d!vdt ensuivantlaparticule=D!v Dt

Où,

D!v a x=@vx c

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1.3.Conservationdelamasse11

defaçoncompacteona

àsavariationtemporellepar:

DG

Dt=@G@t+(!v:!r)G

1.3Conservationdelamasse

1.3.1Vecteurdensitédematière

dt.Onadonc dm=dtdS!v:!n a vdt vn v dS a volume : dS.v.dt.cos( )

FIG.1.4-Calculdudébit.

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12Chapitre1.Cinématiquedesfluides

(unité:kg:s1): Q m=ZZ (S)dm dt=ZZ (S)!v:!ndS

Pourunesurfacefermée:

Q sortie m=I (S)!v:dS!n oùQsortie tique). unitédetemps(unité:m3:s1): Q V=ZZ1 dmdt=ZZ (S)!vdS!n !j=!v

Remarques:

1.3.2Équationdecontinuité.

tiondecontinuité».

M(t)=ZZZ

(V)(x;y;z;t)dxdydz dM(t) dt=ZZZ (V)@@tdxdydz=ZZ (S)!vdS!n c

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1.3.Conservationdelamasse13

Lignes de courant

v (S) n dS

FIG.1.5-Conservationdelamasse.

ZZZ (V)(div(!v)+@ @t)dxdydz=08V d'oùl'équationdecontinuité:

Équationdecontinuité:div(!v)+@@t=0

1.3.3Casdes¯uidesincompressibles

cegaz. div !v=0)I (S)!vdS!n=0 lavitesseestàfluxconservatif.

Conséquences:

Q ventrant=Qvsortant www.almohandiss.com

14Chapitre1.Cinématiquedesfluides

Débit massique entrant = débit massique sortant2 uu1 (S )Tube de courant 1 (S ) 2 v=1

SZZ!v:!udS

Onobtient

v1S1=v2S2 delavitessemoyenne. c

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Chapitre2

Dynamiquedes¯uidesNewtoniens

2.1Bilandesforces

Ondistinguedeuxtypesdeforces:

forcesdesurface.

2.1.1Forcesdepression

dSdésignelacontrainte.

Onadmettraque:

d !Fn=P(M):dS:!n où

15www.almohandiss.com

www.almohandiss.com dF dF dF aire dS 1 22
3 aire dS

3aire dS1

pressionprendlamêmevaleur. valeur.

Pascal(pa).

1Pa=1N:m2

UnitéÉquivalenceenpascal

Bar1bar=105Pa

atmosphère(atm)1atm=1;013105Pa torr(mmHg)1torr=1mmHg=133;3Pa

TAB.2.1-Unitésdepression.

voisinesdelasurface.

ApproximationdesGazParfaits:PnRTV

c

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2.1.Bilandesforces17

1300atm!

yz x

P(x,y+dy/2,z)P(x,y-dy/2,z)P(x,y,z+dz/2)

P(x,y,z-dz/2)M(x,y,z)

Parallèlépipède de volume dxdydz

quedelacoordonnéey. cettecomposante: F y=dxdz[P(x;ydy

2;z)P(x;y+dy2;z)]

F y=dxdz[P(x;y;z)dy !F=Fx!ux+Fy!uy+Fz!uz=!rPd miquedepression

Forcevolumiquedepression:!fp=!rP

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V!fpd.

2.1.3Notiondeviscosité

wFil de torsion

Fluide visqueux

a

FIG.2.3-ExpériencedeCouette.

Ontrouve

/v e c

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2.1.Bilandesforces19

surunélémentdesurfacedSs'écrit: y xvitesses profil des

écoulement laminaire

dv dyt = hyxt = -yyP contrainte normalecontrainte tangentielle

Fluide(20C,1atm)Viscosité(Pa.s.)

Eau(liq)1;006103

Huilemoteur(liq)0;3

Glycérinepure(liq)0,8

Mercure(liq)1;56:103

vapeurd'eau(gaz)9;7:106

Airsec(gaz)18;2:106

TAB.2.2-Quelquesvaleursdeviscosités.

/p www.almohandiss.com cisaillement. généraliseronslerésultat. y xvitesses profil des

M(x,y,z)

(y+dy)t t(y) !dF=@v @y(y+dy)@v@y(y) dxdz!ux=@2v@y2d!ux cetteformulesegénéralise: !4A=4Ax!ux+4Ay!uy+4Az!uz pluscomplexe. c

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2.2.L'équationdeNavier-Stokes.21

2.1.5Forcesextérieures

!dF=!fextd ^!v)

2.2L'équationdeNavier-Stokes.

2.2.1L'équationdeNavier-Stokes.

Dynamique:

dm D!v

Dt=!rPd+!fextd+!4vd

D!v

Dt=!rP+!fext+!4v

Distinguonsdeuxcas:

lefluideestincompressible(constante): www.almohandiss.com continuitédiv(!v)+@ grosordinateurs...

2.2.3Approximations

(!v!r)!v !v v2 d v=vd=Re typesd'écoulements:quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44