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Cours d'analyse numerique de licence de

mathematiques

Roland Masson

16 novembre 2011

1IntroductionObjectifs

Plan du cours

Exemples d'applications du calcul scientique

Debouches

Calendrier du cours

Evaluation

2Quelques rappels d'algebre lineaire en dimension nieEspaces vectoriels

Applications lineaires

Matrices

Transposition de matrices et matrices symetriques

Determinants

Normes matricielles

3Methodes directesMethode d'elimination de Gauss et factorisation LU

4Methodes iteratives5Solveurs non lineaires

Analyse numerique: objectifs

Analyse numerique: concoit et analyse mathematiquement les algorithmes a la base des simulations numeriques de la physiqueObjectifs du cours Introduction a quelques algorithmes de bases en calcul scientique Fondements mathematiques (complexite, stabilite, convergence, consistance, ...)Exemples d'applications et mise en oeuvre informatique sous scilab (TDs et TPs)

Plan du cours

Resolution des systemes lineairesAx=b,A2 Mn,b;x2RnMethodes directes: methode d'elimination de Gauss, factorisation LU,

factorisation de CholeskiMethodes iteratives: methodes de Richardon, de Jacobi, de Gauss Seidel Resolution des systemes non lineairesf(x) = 0,f:Rn!RnMethodes de Newton Algorithmes d'optimisation:x= argminy2Rnf(y),f:Rn!RMethodes de descente selon le gradient Resolution des equations dierentielles ordinaires (EDO):y0=f(y;t), f:RnR!RnSchemas d'Euler explicite et implicite

References

Cours d'analyse numerique de Raphaele Herbin (Universite de Provence): Livre de Quateroni et al: \Methodes numeriques, algorithmes, analyse et applications", Springer, 2007.

Domaines d'applications du calcul scientique

EnergieNucleaire

Petrole

Fusion nucleaire

Eolien, hydrolien, solaire, ...

Transport

Aeronautique

Spatial

Automobile

Environnement

Meteorologie

Hydrologie

Geophysique

Climatologie

Finance, Biologie, Sante, Telecommunications, Chimie, materiaux, ... Exemple de la simulation des reservoirs petroliers

Petrole = huile de pierreBassin de paris

Exemple de la simulation des reservoirs petroliers

Reservoir: piege geologique rempli

d'hydrocarbures Exemple de la simulation des reservoirs petroliers

Enjeux de la simulation

Prediction de la production

Optimisation de la production (ou du rendement economique)

Integration des donnees

Evaluation des incertitudes sur la production

Debouches

Competences

Analyse numerique

Modelisation

Informatique

Metiers

Developpements de codes de calculs scientiques

Etudes en modelisation numerique

Ingenieur de recherches en calcul scientique

Chercheur academique en mathematiques appliquees

Employeurs

SSII en calcul scientique

EPIC: CEA, ONERA, IFPEN, BRGM, IFREMER, INRA, CERFACS, ... Industrie: EDF, EADS, Dassault, Michelin, Areva, Total, CGGVeritas, Thales, Safran, Veolia, Rhodia, ...Academique: Universites, CNRS, INRIA, Ecoles d'ingenieurs, ...

Calendrier du cours

Cours en amphi biologie le mercredi de 17h a 18h30: semaines

1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15TD et TP en M31/PV212-213 le jeudi de 15h a 18h15: semaines

2,3,5,7,8,10,11,12,13,14,15Un seul groupe en TD

salle M31

A priori deux groupes en TP

salles PV212 et PV213 deuxieme groupe avec AUDRIC DROGOUL

Evaluation

Un examen partiel semaine 11 en cours: notePContr^ole continu: noteC= (C1 +C2)=2une interrogation ecrite en TD semaine 7: noteC1une interrogation ecrite en TP semaine 13: noteC2Un examen nal: noteF

Note nale: 0:4F+ 0:3P+ 0:3C

Espaces vectoriels

Denition d'un e.v. surK=RouC: ensemble E muni d'une loi de composition interne notee + et d'une loi d'action deKsurEnotee:tels

que:(E;+) est un groupe commutatif1:x=x, ():x=:(:x) (associativite)(+):x=:x+:x,:(x+y) =:x+:y(distributivite)Exemple:Rne.v. surR(Cne.v. surC):x=0

B @x 1 x n1 C

A,x+y=0

B @x 1+y1 x n+yn1 C

A,:x=0

B @x1 xn1 C A

Familles libres, generatrices, base, dimension

Famille libre demvecteursv1;;vmdeE:P

m

i=1ivi= 0)i= 08i= 1;;mFamille generatrice demvecteursv1;;vmdeE:E= Vectfv1;;vmgBase: famille libre et generatrice

Dimension (supposee nie): toutes les bases ont m^eme dimension appelee

dimension de l'espace vectorielEnoteenUne famille libre denvecteurs est generatrice, c'est une baseUne famille generatrice denvecteurs est libre, c'est une base

Espaces vectoriels normes

Denition: e.v. muni d'une norme, ie une application deE!R+, notee

x! kxksatisfaisant les proprietes suivanteskxk= 0)x= 0k:xk=jjkxkkx+yk kxk+kykUne norme denit surEune topologie d'espace metrique avec

d(x;y) =kxykLimite de suite de vecteurs:limk!+1vk=v,limk!+1kvkvk= 0Exemples de normes surRnkxk1=Pn i=1jxij;kxk2=Pn

i=1jxij21=2;kxk1= maxi=1;;njxij.En dimension nie toutes les normes sont equivalentes ie il existec;C>0

telles queckxk kxk?Ckxk(attentioncetCdependent den).

Espaces vectoriels euclidiens

e.v. muni d'un produit scalaire ie une forme bilineaire symetrique denie positive noteeh:;:iSurRnle produit scalaire canonique esthx;yi=Pn i=1xiyikxk=hx;xi1=2est une norme appelee norme euclidienne

Applications lineaires

f:E!F,f(:x) =:f(x),f(x+y) =f(x) +f(y)L(E;F) espace vectoriel des applications lineaires deEdansFL(E) espace vectoriel des applications lineaires deEdansEou

endomorphismes deE

L(E);+;:;

anneau unitaire non commutatif munie de la loi de

composition des applicationsfg(x) =f(g(x))Noyau def, Ker(f) =fx2Etels quef(x) = 0g(sous e.v. deE)Image def, Im(f) =ff(x);x2Eg(sous e.v. deF)Endomorphismes deEinversibles:Application bijective ssi il existef12 L(E) telle queff1=f1f=Idfbijective,finjective: Ker(f) =f0gfbijective,fsurjective: Im(f) =E

Matrice d'une application lineaire

Bases e j;j= 1;;n deEet f i;i= 1;;m deFf2 L(E;F) telle quef(ej) =Pm i=1Ai;jfix=Pn j=1xjej2Ey=f(x) =Pm i=1 Pn j=1Ai;jxj f iX=0 B @x 1... x n1 C

A2Rn,Y=0

B @y 1... y m1 C

A2Rm,Y=AXRetenir que lesncolonnesjdeAsont donnees par les imagesf(ej)Espace vectoriel des matrices de dimensionm;n:Mm;n(a coecients dans

K=RouC)Matrices remarquables: diagonale, symetrique, triangulaires inferieure ou superieure

Exercice: produit de matrices versus composition

d'applications lineairesSoientE;F;Gdes e.v de dimensions resp.n,m,p,f2 L(E;F) et g2 L(F;G)Des bases etant donnees,fa pour matriceA2 Mm;netga pour matrice

B2 Mp;mgfa pour matrice le produitBA2 Mp;ntel que

(BA)i;j=mX k=1B

i;kAk;jProduit de matrices:Mp;m Mm;n! Mp;nproduit matrice vecteur:Mm;n Mn;1! Mm;1produit scalaire de deux vecteurs: ligne . colonneM1;n Mn;1! M1;1produit tensoriel de deux vecteurs: colonne. ligneMn;1 M1;n! Mn;n

Exercice: changements de base pour les vecteurs et les matricesP: matrice de passage d'une base dans une autre ~ej=Pn k=1Pk;jek

(colonnes de la nouvelle base dans l'ancienne)Changement de base pour les coordonnees des vecteurs:X=P~X.Changement de base pour les matrices des applications lineaires:X=P~X,

Y=Q~Yet~Y=~A~X,Y=AXimplique que

A=Q1AP:

Matrices carres inversibles

A2 Mn;n=Mnest inversible ssi l'une des proprietes suivantes est verieeIl existeA12 Mn;ntel queAA1=A1A=IAest injective ieAX= 0)X= 0Aest surjective ie Im(A) =fAX;X2Rng=RnA;B2 Mninversibles

(AB)1=B1A1

Transposition de matrices

A2 Mm;n, on denitAt2 Mn;mpar

(At)i;j=Aj;ipour tousi= 1;;n;j= 1;;mProduit scalaire canonique de deux vecteurs (colonnes)X;Y2Rn: X tY=nX i=1X iYiMatrice carreeA2 Mnest symetrique ssi A t=A

Diagonalisation d'une matrice carree symetriqueA2 MnLes valeurs propres surCd'une matrice reelle symetriqueAsont reelles et il

existe une base orthonormee de vecteurs propresFi2Rn,i= 1;;ntelle que AF

i=iFiet (Fi)tFj=i;jpour tousi;j= 1;;nSiPest la matrice de passage de la base canonique dans la baseFi,

i= 1;:::;n, alors on a P 1=Pt et P tAP=0 B 10 0n1 C A Determinants denvecteurs dans un e.v.Ede dimensionn pour une base donneeUnique forme n-lineaire alternee surEvalant 1 sur la baseDet v

1;;v;;v;;vn

= 0 (alternee)Antisymetrie: Det v

1;;vi;;vj;;vn

=Det v

1;;vj;;vi;;vnOn a donc aussi pour toute permutationdef1;;ng,

Det v 1;;vn = sign()Det v (1);;v(n)Determinant d'une matrice carreeA= determinant des vecteurs colonnes Det A = Det A :;1;;A:;n =X 2nn Y i=1sign()A(i);i

Proprietes du determinant

Les vecteurs colonnes deAsont libres ssi Det(A)6= 0DoncAest inversible ssi Det(A)6= 0Det(AB) = Det(A)Det(B) = Det(BA)Det(At) = Det(A)Developpement par rapport aux lignes ou aux colonnes

Det(A) =nX

i=1(1)i+jDet(A(i;j)) =nX j=1(1)i+jDet(A(i;j))

Normes matricielles

Une norme matricielle sur l'e.v.Mnest une norme telle que kABk kAkkBkUne norme matricielle induite par une normek:ksurRnest la norme matricielle denie par kAk= sup X6=0kAXkkXkOn a pour une norme matricielle induite:kAXk kAkkXkpour tout X2Rn

Exercice: exemples de normes induites

kAk1= SupX6=0kAXk1kXk1= maxi=1;;nPn j=1jAi;jjkAk1= SupX6=0kAXk1kXk1= maxj=1;;nPn i=1jAi;jjkAk2= SupX6=0kAXk2kXk2=(tAA)1=2 Convergence de la suiteAkpourA2 MnRayon spectral(A),A2 Mnest le module de la valeur propre maximale deAdansC.On admettra le lemme suivant:quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28