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Ann´ee 2006-2007TermSTG2
Corrig´e Devoir Maison 2
Exercice 1 :
Coˆut marginal
1)a)Le coˆut total de fabrication de 1000 objets est par d´efinitionC(1000) c"est-`a-dire , apr`es
calcul, 92000 euros. Celui de 1001 objets estC(1001) c"est-`a-dire , apr`es calcul, 92079,99 euros.b)L"augmentation du coˆut entraˆın´ee par la fabrication d"un objet suppl´ementaire apr`es en
avoir fabriqu´e 1000 est doncC(1001)-C(1000) c"est-`a-dire 79,99 euros.2)a)On a le coˆut de fabricationC(x+ 1) qui vaut 2000 + 100(x+ 1)-0,01(x+ 1)2c"est-`a-
dire 2000 + 100x+ 100-0,01(x2+ 2x+ 1) = 2100 + (100-0,02)x-0,01x2-0,01 =2099,99 + 99,98x-0,01x2.
b)On aC(x+1)-C(x) = 2099,99+99,98x-0,01x2-(2000+100x-0,01x2) = 99,99-0,02x.3) On calculeC?(x) :C?(x) = 100-0,01×2x= 100-0,02xpour toutxde [0;+∞[.
4)a)En consid´erant queC?(x) est `a peu pr`es ´egal `aC(x+ 1)-C(x) on commet l"erreur
C ?(x)-?C(x+ 1)-C(x)?c"est-`a-dire 100-0,02x-(99,99-0,02x) = 0,01. On commet donc une erreur de 1 centimes d"euro en arrondissant le coˆut marginal par C ?(x). b)On calculeC?(1000) :C?(1000) = 100-0,02×1000 = 80 et `a la question 1)b)on avait trouv´e 79,99. Il y a donc bien une erreur de 1 centimes d"euro en approximant le coˆut marginal parC?(x).Exercice 2 :Etude de fonction
1)a)On a pour toutxde [0;2]f?(x) =1
3×3x2-1 =x2-1.
b)Pour toutxon a (x+ 1)(x-1) =x2-12=x2-1 =f?(x) ce qui est la forme demand´ee. c)Le signe def?(x) est donn´ee par le produit des signes de (x+1) et de (x-1). On met ces r´esultats dans un tableau de signes : x0 1 2 (x-1)-0+ (x+ 1)++ (x-1)(x+ 1)-0+ d)A partir du signe def?(x) on peut ´etablir le tableau de variations def: x0 1 2 f?(x)-0+ 1 31f(x) -13
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Ann´ee 2006-2007TermSTG2
On compl´ete le tableau `a l"aide des images de 0; 1 et 2.On af(0) =1
3;f(1) =13-1 +13=-13etf(2) =13×8-2 +13= 1.
2) Dans l"intervalle [1;2] la fonctionfest strictement croissante et d"apr`es les calculs de la question
pr´ec´edentef(1)<0 etf(2)>0 donc, par cons´equent, il existe une seule solution `a l"´equation
f(x) = 0 sur [1;2] qu"on noteα. A l"aide de la calculatrice on calcule une valeur approch´eedeα: 1,53.