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BACS

ORAL DE RATTRAPAGE DE MATHÉMATIQUES

13 sujets corrigés pour préparer efficacement l"oral de maths

Réussir son oral de rattrapage de

mathématiques au bac S

Corinne Huet

www.bossetesmaths.com

Avant de commencer :

Ce livret PDF comporte 13 sujets de préparation à l"oral de rattrapage de mathématiques du bac S. Ces sujets sont numérotés par des lettres alphabétiques (dusujetAau sujetM) et chacun de ces 13 sujets sont entièrement corrigés. Chaque sujet comporte 2 exercices (sauf le sujetGqui n"en comporte qu"un) et doit être traité en 20 minutes. Certains sujets peuvent paraître longs pour 20 minutes de recherche mais cela est destiné à couvrir le maximum de notions et le candidat devra au moins avoir une idée de la méthode pour

y répondre sans qu"elle soit totalement détaillée. En effet, le jury sera sensible aux connais-

sances du candidat sur des sujets un peu étoffés. L"ensemble du programme est couvert par les exercices proposés. Il faudra revoir le chapitre concerné au besoin.

Certains exercices sont des exercices de spécialité mathématiques; ils sont alors précisés sur

les sujets concernés.

Attention :

Les exercices proposés dans ce livret PDF sont destinés à préparer le candidat à l"oral.

Il ne s"agit pas d"exercices officiels; chaque jury proposera ses propres exercices. Néanmoins ces 13 sujets constituent un excellent entraînement pour se préparer à l"oral.

Bon courage!

CONSIGNES POUR LE CANDIDAT

?L"épreuve orale est constituée d"une préparation de

20 minutes suivie d"un entretien oral de même durée.

?Vous pouvez utiliser votre calculatrice. ?Le brouillon vous est normalement fourni. ?Les exercices constituent une base d"argumentation pour l"entretien : ils doivent être tous abordés, si pos- sible. ?Vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (il est inutile de les rédiger com- plètement par écrit). ?Des questions complémentaires pourront vous être posées au cours du dialogue.

SUJETA

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)=(1+x)e-x, de courbe représentativeCf.

1)Déterminer les limites defen-∞et en+∞et en déduire d"éventuelles asymptotes à la

courbe représentative def.

2)Étudier les variations defet dresser son tableau de variations.

3)Déterminer une équation de la tangente à la courbeCfau point d"abscisse 1.

SoitP1etP2les plans d"équations respectives : 5x+7y-z+2=0 et-4x+3y+z-7=0.

1)Montrer queP1etP2sont perpendiculaires.

On note (d) leur droite d"intersection.

2)Montrer que le pointA(5 ;0 ; 27) appartient à (d).

Oral Baccalauréat S

CORRECTIONSUJETA

fdéfinie surRparf(x)=(1+x)e-x.

1)En-∞

lim x→-∞(1+x)=-∞; lim x→-∞-x=+∞donc limx→-∞e-x=limX→+∞eX=+∞.

Par produit des limites : lim

x→-∞f(x)=-∞

En+∞

f(x)=(1+x)e-x=1+x ex=1ex+xex. lim x→+∞ex=+∞donc, en inversant, limx→+∞1 ex=0;

Par croissance comparée, lim

x→+∞e x x=+∞donc, en inversant, limx→+∞xex=0.

Par somme des limites : lim

x→+∞f(x)=0 On en déduit que la droite d"équationy=0 est une asymptote horizontale àCfen+∞

2)f=uvavecu(x)=1+xetv(x)=e-x. On au?(x)=1 etv?(x)=-e-x.

f ?=u?v+uv?donc, pour tout réelx,f?(x) =1e-x+(1+x)×(-e-x)=(?1-?1-x)e-x= -xe-x. ?f(0)=(1+0)e0=1.

3)La tangenteTà la courbeCfau point d"abscisse 1 a pour équation :y=f?(1)(x-1)+f(1).

f(1)=(1+1)e-1=2e-1=2 e. f ?(1)=-1e-1=-1 e.

DoncT:y=-1

e(x-1)+2e??y=-1ex+1e+2e??y=-1ex+3e. P1etP2les plans d"équations respectives : 5x+7y-z+2=0 et-4x+3y+z-7=0.

1)P1:5x+7y-z+2=0 donc# »n1((

5 7 -1)) est un vecteur normal àP1. P

2:-4x+3y+z-7=0 donc# »n2((

-4 3 1)) est un vecteur normal àP2.

Oral Baccalauréat S

# »n1.# »n2=5×(-4)+7×3-1×1=-20+21-1=0 donc# »n1?# »n2et P

1etP2sont perpendiculaires

2)A(5 ;0 ; 27)

Montrons queA?P1. 5xA+7yA-zA+2=5×5+7×0-27+2=25-27+2=0 doncA?P1 Montrons queA?P2.-4xA+3yA+zA-7=-4×5+3×0+27-7=-20+27-7=0 donc A?P2

DoncA?P1∩P2. OrP1∩P2=(d) doncA?(d)

Oral Baccalauréat S

SUJETB

SoitXune variable aléatoire suivant la loi binomialeB(81 ;0,2).

1)Que valent l"espéranceE(X) et l"écart-typeσ(X)?

2)CalculerP(15?X?21) (arrondir à 10-2près).

3)Justifier l"approximation suivante : pour tous réelsaetbaveca P? aσ(X) ≈P(a4)Utiliser l"approximation précédente pour calculerP(14,4 près). On considère les pointsA,B,CetDdu plan complexe d"affixes respectives :zA=-3-i, z

B=-2+4i,zC=3-ietzD=-2.

1)Montrer que le pointJd"affixeiest le centre du cercle circonscrit au triangleABC.

2)Calculer sous forme algébrique le nombre complexezB-zC

zD-zA. Que peut-on en déduire sur les droites (AD) et (BC)?

Oral Baccalauréat S

CORRECTIONSUJETB

X≂B(81 ;0,2)doncn=81 etp=0,2.

1)E(X)

=np=81×0,2=16,2.

σ(X)

2)P(15?X?21)

=P(X?21)-P(X?14)≈0,6 en tapant "binomFRép(81,0.2,21)-binomFRép(81,0.2,14)"sur calculatrice TI ou "BinomialCD(21,81,0.2)-BinomialCD(14,81,0.2)" sur calculatrice Casio.

3)*n=81 doncn?30

*np=16,2 doncnp?5 *n(1-p)=81×0,8=64,8 doncn(1-p)?5 Les conditions du théorème Moivre-Laplace sont donc validées et on peut effectuer l"approximation suivante : pour tous réelsaetbavecaσ(X) ≈P(a4)P(14,4 =P(14,4-16,23,6 =P? -0,53,6<1,5?

=P(-0,51)zJ=i *JA=|zA-zJ|=|-3-i-i|=|-3-2i|=? (-3)2+(-2)2=?9+4=?13. *JB=|zB-zJ|=|-2+4i-i|=|-2+3i|=? (-2)2+32=?4+9=?13. *JC=|zC-zJ|=|3-i-i|=|3-2i|=?

32+(-2)2=?9+4=?13.

AinsiJA=JB=JCet

J(i) est le centre du cercle circonscrit au triangleABC, de rayon? 13. 2) zB-zC -5+10i-5×(-1)

2=??-5+10i+?52=10i2=5i.

Oral Baccalauréat S

Ainsi, en prenant les arguments : arg?zB-zCzD-zA?

=arg(5i)???# »AD;# »CB? =π2[2π]. Donc les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires

Oral Baccalauréat S

SUJETC

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)=x+1+xe-x.

1)Soitgla fonction définie surRparg(x)=1-x+ex.

a)Dresser le tableau de variations de la fonctiongsurR(les limites degaux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). b)En déduire le signe deg(x).

2) a)Déterminer la limite defen-∞puis la limite defen+∞.

b)Démontrer que, pour tout réelx,f?(x)=e-xg(x). c)En déduire le tableau de variations de la fonctionfsurR. Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. L"entreprise affirme que 98% de ses ballons de taille standard sont conformes à la règlementation.

1)Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des

ballons de taille standard dans un échantillon de taille 250. (On arrondira les bornes de l"intervalle à0,001près).

2)Un contrôle est réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté

que 233 d"entre eux sont conformes à la règlementation. Le résultat de ce contrôle remet-il en question l"affirmation de l"entreprise? Justifier la réponse.

Oral Baccalauréat S

CORRECTIONSUJETC

fdéfinie surRparf(x)=x+1+xe-x.

1)gdéfinie surRparg(x)=1-x+ex

a)Pour toutx?R,g?(x)=-1+ex=ex-1. g ?(x)>0??ex-1>0??ex>1??x>ln1??x>0. ?g(0)=1-0+e0=1+1=2. b)Le minimum degsurRest 2, donc, pour tout réelx,g(x)?2. En particulier,g(x)>0

2) a)En-∞

lim x→-∞x+1=-∞. lim x→-∞x=-∞; lim x→-∞-x=+∞donc limx→-∞e-x=limX→+∞eX=+∞.

Par produit des limites : lim

x→-∞xe-x=-∞.

Et par somme des limites : lim

x→-∞f(x)=-∞

En+∞

:f(x)=x+1+xe-x=x+1+xex. lim x→+∞x+1=+∞.

Par croissance comparée : lim

x→+∞e x x=+∞et, en inversant, limx→+∞xex=0.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11