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Travauxdirig´esdem´ ecaniquequantique
Approximations:m´ethodevariationnelle
1.Electrons⇡danslesy st`eme allyle
Lesfonct ionsd'ondemono´electroni quesd´ecrivantl es´electrons⇡danslesyst `emeall ylesontapproxim´ees
danscetexe rciceparde scombinaisonslin´eairesd'orb itales atomiquesnor m´eesp z i (r)(n ot´eesp i (r)dan s lasuit e)quisontcentr´ees surlesatome sdecarboneC i (voirfigureci-d essous). C C C HH H H H 1 2 3 Unefonct iond'onded'essaipeut ainsis'´ecriresou slaforme (r)=p 1 (r)+µp 2 (r)+⌫p 3 (r),o`u,µet⌫sontdesco ecientsr´eels.Lesapp roximationsetnotationssui vantess erontutilis´eespour
´etablirl'´equations´ec ulaire:
•lesint´e gralesderecouvrementhp i |p j i= Z drp i (r).p j (r)son t´egales`a ij •les´energi esH ii =hp i H|p i i(associ´eesauxorbitalesatomiquesp i ),o `uHestunhamil tonien
mono´electroniqued´ecrivantlamol´ecule,sonttoutes´ egales`aunnombrer´eel↵, •lesint´e gralesditesdecouplageH ij =hp i H|p j isonttoutes´ egales`aunnombrer ´eellorsqueC i etC j sontdesatome sdecarbonead jacents.Elle ssontsu ppos´eesnulless iC i etC j nesontp as adjacents(approximationde H¨uckel), •↵etsontn´egatif s. 1.Ecrireled´etermin ants´ec ulaireenfonctionde↵,etl'´e nergiemono´electroniqueE,pu isenfonction
delavar iablex= ↵E2.R´esoudrel'´equations´ecul aireenx.
3.D´eduiredelaquestion2.les niveaux d'´ene rgiedes´electrons⇡danslesyst `emeall yle.Dessinerle
diagrammed'´energiecor respondant.4.Enutil isantdesfl`echespourles´et atsdespin( "ou#),repr ´esentersurtroisdiagrammesd'´energie
di↵´erentslesconfigurationsfon damentales des´electrons⇡dans(a)lerad icalally le(3´ electrons),(b)le
cationallyleet (c)l'anionallyle.5.Donnerlestroisfonc tionsd'ond e
1 2 et 3 (appel´eesorbitalesmol´eculaire s)associ´eesauxtrois niveauxd'´energieobte nus`alaquestion3.6.Normercestroisor bitalesmol ´eculaires.
16Travauxdirig´esdem´ ecaniquequantique
2.L'oscillateurha rmonique1D
Onconsi d`ereunoscillateurharmonique1Dd ontl'ham iltoniens'´ecrit H= ˆp x 2 2m 1 2 m! 2 ˆx 2 Cethamilton ienestpair(c'est-`a-direinvar iantparr´e flexionx!x),cequ iimpl iquequeson ´etat fondamentalestaussipair.Iles tdoncd´ec ritparunefonct iond'ondepaire .Afinded ´etermine rune approximationdelafonctiond'ondefondam entale exacte, onconsid`eredanslasu iteunefonctiond'e ssai pairequid´epe ndd'unse ulparam`etre↵: (x)=e ↵x 2 (↵>0).Enutil isantlam´ethodevariationnel le,calc ulerl'´energiefondamentaled el'oscillateurharmonique1D
ainsiquelafonc tiond'onde associ´ ee.Pourcefaireproc´ edercommesuit: a)Calculerlavaleurmoyenn eE del'´e nergiesurlafonctiond'onded'es sai (utiliserl'int´egrationpar parties). b)MinimiserE parrappor t`a↵. c)Commenterler´esultat.