la Terre est associée avec le cube : ces petits solides font on utilise généralement la perspective cavalière : technique de dessin per- DÉFINITION : Patron
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8 fév 2012 · Perspectives cavalières, parallèles et créations graphiques Thème Découvrir cube ABCDEFGH en traçant en pointillé les faces cachées Puis, dans un son nom de l'art militaire (la vue du cavalier) sous la forme de plans au sol faire aboutir à une définition ou une description de l'icosaèdre On peut
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la Terre est associée avec le cube : ces petits solides font on utilise généralement la perspective cavalière : technique de dessin per- DÉFINITION : Patron
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20 sept 2006 · M Elle coupe le plan P en m qui est par définition le transformé du point Cas particuliers : perspective cavali`ere du cube de référence
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La perspective cavali`ere permet de représenter en deux dimensions (sur une feuille de papier, un tableau) des objets en trois dimensions (un cube, un tétra` edre, etc ) D'apr`es la définition 1, la droite passant par A parall`ele `a
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1) Représenter en perspective cavalière un cube ABCDEFGH d'arête 6 cm avec un angle de fuite α = 45° et un coefficient de réduction k = 0,7 2) a Construire le
Les représentations planes comme fil conducteur pour l
parallélipip`edes, cubes et assemblages de cubes, Certaines nous aurions nous-même dessiné, en fait en perspective cavali`ere Mais nous On aboutit `a la définition suivante de projection parall`ele, pour un plan π et une droite d
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10 nov 2020 · Définition 17 7 La perspective cavali`ere donne une meilleure idée de la forme réelle du cube dans l'espace Remarque 17 8 2 2 R`egles de
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démontrer que pour la duplication du cube, la construction `a la r`egle est au compas Il est délicat de schématiser cette définition de la perspective cavali` ere
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voyait un cavalier arrivant en vue des fortifications D'autres, enfin On peut ainsi dessiner un cube d'arête donnée en perspective cavalière Si une petite boîte Nous avons pris en compte , pour cette définition générale de la PC (r, a)
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UE 22B3Géométriedans l"espace
Les solides de Platon, Harmonices Mundi, 1619 - Johannes KeplerUn peu d"histoire
Les solides de l"espace figurent dans les livres 11 à 13 desélémentsd"Euclide.
Parmi les solides de l"espace, il en est une sorte qui a été étu- diée (entre autre) par le philosophe grecPlaton(´425;´348 av. J.-C.) : les polyèdres réguliers et convexes. Dans leTimée, l"un des derniers dialogues de Platon, ce dernier décrit la ge- nèse du monde physique et de l"homme. Il associe chacun des quatre éléments physiques avec un solide régulier : §la Terre est associée avec lecube: ces petits solides font de la poussière lorsqu"ils sont émiettés et se cassent lors-qu"on s"en saisit; §l"air avec l"octaèdre: ses composants minuscules sont sidoux qu"on peut à peine les sentir;§l"Eau avec l"icosaèdre: elle s"échappe de la main lorsqu"on
la saisit comme si elle était constituée de petites boules mi- nuscules;§le feu avec letétraèdre: la chaleur du feu est pointue. Pour le cinquième solide, ledodécaèdre, Platon le met en cor- respondance avec le tout, parce que c"est le solide qui res- semble le plus à la sphère. 57Ce qu"il faut savoir
1.Polyèdres
DÉFINITION :Polyèdre
Unpolyèdreest un solide de l"espace délimité par un nombre fini de polygones, appelés les
faces du polyèdre.Pour représenter un solide de l"espace, on utilise généralement laperspective cavalière: technique de dessin per-
mettant de représenter un solide sur une surface à deux dimensions en respectant le parallélisme.
Exemple
Représentation d"un parallélépipède
rectangle en perspective cavalière.1)on trace en vraie grandeur la face dedevant;
2)on trace les arêtes visibles des faceslatérales parallèles et de même lon-gueur : ce sont les fuyantes, pluscourtes que leur mesure réelle;
3)on trace les arêtes cachées en poin-tillés.
Correction
A BC DE F G H Ce parallélépipède rectangle possède : "8sommets:A,B,C,D,E,F,GetH; rGHsapparentes, etrADs,rDCsetrDHscachées; "6faces:ABFEest la face de devant,CDHGcelle de der- rière,ABCDla face du dessous,EFGHcelle du dessus,BCGFla face de droite, etADHEcelle de gauche.
2.Patron
DÉFINITION :Patron
Lepatrond"un solide est une surface plane d"un seul tenant qui, par pliage, permet de re- constituer le solide sans recouvrement de ses faces. On "déplie » le parallélépipède rectangle pour en obtenir unde ses patrons :Exemple
Correction
x xx x x xx x o o o o o Le patron d"un polyèdre n"est pas unique, il dépend de la manière dont on le déplie.!On ne parle de patron que pour un polyèdre. On parle de développement pour un cylindre ou un cône.
58Chapitre B3.Géométrie dans l"espaceN.DAVAL
Ce qu"il faut savoir
3.Solides particuliers
nomreprésentationpropriétés cubeun cube est un polyèdre possédant 6 faces qui sontdes carrés.pavéun pavé, ou parallélépipède rectangle est un poly-èdre possédant 6 faces qui sont des rectangles.
prisme un prisme est un polyèdre possédant deux faces polygonales parallèles et isométriques, les autresétant des rectangles.
pyramide une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone et dont toutesles autres faces sont des tri- angles ayant un sommet commun appelé sommet de la pyramide. cylindre un cylindre (de révolution) est un solide à deux faces parallèles en forme de disque de même rayon et dont la surface latérale est engendrée par le dé- placement d"une droite orthogonale au disque et suivant le contour de ce disque. cône un cône (de révolution) est un solide à une face en forme de disque et dont la surface latérale est en- gendrée par le déplacement d"une droite qui décrit la circonférence du disque autour d"un point fixe appelé le sommet du cône. sphèreO ?une sphère de centre O et de rayonrest l"ensemble des pointsMde l"espace tels queOM"r. N.DAVALChapitre B3.Géométrie dans l"espace59Ce qu"il faut savoir
4.Orthogonalité et parallélisme dans l"espace
PROPRIÉTÉ :Droite, plan
Par deux points distincts A et B de l"espace passe une seule droite, notée (AB). Par trois points non alignés A, B et C de l"espace passe un seulplan, noté (ABC). Si un plan contient deux points A et B, il contient toute la droite (AB). Dans tout plan de l"espace, tout résultat de géométrie planes"applique. REMARQUE:un plan est une surface plane illimitée. Il est entièrement déterminé par trois points non alignés. Cette surface est représentée en perspective par un parallélogramme. PDÉFINITION :Orthogonalité
Deux droites de l"espace sontorthogonalessi leurs parallèles menées par un point sont perpendiculaires. Une droite estorthogonaleà un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan.PROPRIÉTÉ
Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes du plan, alors elle est orthogonale au plan (donc à toute droite du plan).!Dans l"espace, des droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et n"ont donc pas nécessai-
rement de point d"intersection. Il faut bien faire la distinction entre des droites orthogonales et des droites perpen-
diculaires (qui ont, elles, un point d"intersection).Exemple
ABCDEFGH est un pavé, I est le milieu
de [HG]. ABI F E D CG HCorrection
"La face EFGH du dessus est contenue dans le plan (EHG),ou (EFG), ou (EIF)... il suffit de choisir trois points non ali-
gnés de la face."Les droites (EA) et (FG) sont orthogonales car (EA) est per-pendiculaire à (AD), elle même parallèle à (FG).
"La droite (CB) est orthogonale au plan (ABF) puisque (CB)est perpendiculaire à (BA) et à (BF) qui sont deux droitessécantes du plan (ABF).
60Chapitre B3.Géométrie dans l"espaceN.DAVAL
Ce qu"il faut savoir
5.Positions relatives
Position relative de deux droites.
Droites coplanaires sécantes :
un point d"intersection d1 d2+ADroites coplanaires parallèles :
aucun ou une infinité de points d"intersectiond1"d3 d2Droites non coplanaires :
aucun point d"intersection d1 d2Position relative de deux plans.
Plans sécants :
une droite d"intersection P1 P2 dPlans parallèles strictement : aucun point d"intersection P1 P2Plans parallèles confondus :
un plan d"intersection P1"P2Position relative d"une droite et d"un plan.
Droite et plan sécants :
un point d"intersection P1 +A dDroite et plan parallèles :
droite incluse dans le plan P1 dDroite et plan parallèles :
aucun point d"intersection P1 dExemple
ABCDEFGH est un pavé, I est le milieu
de [HG]. ABI FE D CG HCorrection
"Les droites (IF) et (EG) sont coplanaires et sécantes, ellesdéfinissent le plan (HEF). "Les droites (HF) et (DB) sont parallèles, elles définissent le plan (DBF). "Les droites (HE) et (IC) sont non coplanaires. "Les plans (IFB) et (AEF) sont sécants suivant la droite (FB). "Les plans (DHC) et (FBA) sont parallèles. "Les droites (HF) et (AC) sont dans des plans parallèles,mais elles ne sont pas parallèles.N.DAVAL
Chapitre B3.Géométrie dans l"espace61
Ce qu"il faut savoir
6.Règles d"incidence et de parallélisme
PROPRIÉTÉ :Droites et plans parallèles
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sécantes d"un planPsont respectivement parallèles à deux droites sé- cantes d"un planQalors les plansPetQsont parallèles. Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles. Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l"un coupe l"autre et les droites d"intersection sont parallèles. d1 δ1 d2 δ2 P Q P Q R P Q R d62Chapitre B3.Géométrie dans l"espaceN.DAVAL
Pour s"entraîner
M`a°î°tr°i¯sfi`erffl ˜l´es ˜bˆa¯sfi`es `a'vfle´c C˜l´a¯sfi¯sfi`eN°T"h`è'm`eD`a'n¯s ˜l´e `c´ou°r¯s6eG4Esfi¯p`a`c´e1. `et 2.
5eG5P°r°i¯sfi'm`es `et `c'y¨li'n`d°r`es 3.
4eG5P"yr`a'm°i`d`e `et `c´ô"n`es 3.
3eG3G´é´o"m`étr°i`e `d`a'n¯s ˜l"`esfi¯p`a`c´e 1. `àffl 5.
2ndeG1Esfi¯p`a`c´e1. `àffl 5.
1Des triangles dans un cube
La figureci-dessous représente un cube. Compléter le tableau. Pour la dernière ligne, on nommeraun triangle autre
que ceux déjà cités. ?J A B C DE F G H DJH ACG AFC EHG oui non nonquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22