Un artisan fabrique entre 0 et 60 vases par jour et estime que le coût de production de x vases est modélisé par la fonction C définie sur [0; +∞[ par C(x) = x2
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Seconde2017/2018
Corrigé du contrôle 6Exercice 1:
Soitfla fonction définie surRparf(x) =-12
(x-3)2+ 2. On notePsa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. 1. Donner les réels a,αetβcorrespondant à la fonctionf. a=-12 ,α= 3etβ= 2. 2. Donner les co ordonnéesdu sommet S de Painsi que son axe de symétrie.S(3;2).Pa pour axe de symétrie la droite d"équationx= 3. (droite parallèle à l"axe des ordonnées)
3. T racerPdans le repère donné ci-dessous.Vous justifierez votre démarchePétant symétrique par rapport à l"axe des ordonnées, il suffit de calculer les images de réels
supérieurs ou égaux à 3.x33,5456 4. a) Graphiquemen t,lire les co ordonnéesdes p ointsd"in tersectionde Pet des axes du repère. Graphiquement, on lit quePcoupe l"axe des abscisses aux points de coordonnées(1,0)et (5,0)et qu"elle coupe l"axe des ordonnées au point de coordonnées(0;-52 1 b)Mon trerque p ourt outréel x, f(x) =-12 (x-1)(x-5). En déduire, algébriquement, les coordonnées des points d"intersection dePavec l"axe des abscisses.D"une part,
12 (x-1)(x-5) =-12 (x2-6x+ 5) =-12 x2+ 3x-52D"autre part,
f(x) =-12 (x-3)2+ 2 =-12 (x2-6x+ 9) + 2 =-12 x2+ 3x-92 + 2 =-12 x2+ 3x-52On conclut donc que pour tout réelx,f(x) =-12
(x-1)(x-5). Les abscisses des points d"intersection dePavec l"axe des abscisses sont les solutions de l"équationf(x) = 0. (antécédents de 0 parf) f(x) = 0?? -12 (x-1)(x-5) = 0 ??(x-1)(x-5) = 0 ??x-1 = 0oux-5 = 0 ??x= 1oux= 5 Les solutions de l"équationf(x) = 0sont 1 et 5 doncPcoupe bien l"axe des abscisses aux points de coordonnées(1;0)et(5;0). c) Dét ermineralgébriquemen tles co ordonnéesdu p ointd"in tersectionde Pavec l"axe des or- données.Il suffit de calculerf(0) =-12
(0-3)2+ 2 =-92 + 2 =-52 Pcoupe l"axe des ordonnées au point de coordonnées(0;-52 2Exercice 2:
Un artisan fabrique entre 0 et 60 vases par jour et estime que le coût de production dexvases est modélisé par la fonction C définie sur[0;+∞[par C(x) =x2-10x+ 500. On note R(x)la recette, en euros, correspondant à la vente dexvases fabriqués.Un vase est vendu50e.
1.Ca lculerle coût et la recette réalisée lor squel"artisan v end20vases. Quel est alors son bénéfice?
C(20) = 202-10×20+500 = 400-200+500 = 700. Pour20vases vendus, le coût est700euros.Chaque vase étant vendu50euros, la recette est alors R(20) = 50×20 = 1000euros et le bénéfice
est alors1000-700 = 300euros. 2.Exprime rR (x)en fonction dex.
Pourx?[0;+∞[, R(x) = 50x.
3.V érifierque le b énéfice,en euros, réalisé pa rl"artisan est donné pa rla fonction B don tl"expression
est B(x) =-x2+ 60x-500. B(x) =R(x)-C(x) = 50x-(x2-10x+ 500) =-x2+ 60x-500. 4. a)Dév elopperl"e xpression-(x-30)2+ 400.
Soitx?[0;+∞[,
-(x-30)2+ 400 =-(x2-60x+ 900) + 400 =-x2+ 60x-500 =B(x). b)En déduire le nom brede v asesà v endrep ourréaliser un b énéficemaximal. Donner ce b énéfice
maximal. B(x) =-(x-30)2+ 400est la forme canonique de la fonction B. On aa=-1,α= 30etβ= 400. On en déduit le tableau de variations suivant : (sur l"intervalle[0;60])xB03060
-500-500400400 -500-500On en déduit que le maximum de B sur[0;60]est B(30) = 400. Le bénéfice est donc maximal pour30vases vendus et ce bénéfice maximal est400euros.Exercice 3:
Le plan est muni d"un repère orthonormé(O;?ı,??)et on considère les points A(-2;-1), B(-32
,4)etC(7;12
1. F aireune figure qui sera complé téeau fur et à mesure. 3O?ı??
•A•B •C•A" •B"•C" 2.Soie ntA", B" et C" les milieux resp ectifsdes segmen ts[BC], [A C]et [AB]. Déterminer les co ordon-
nées des vecteurs--→AA",--→BB" et--→CC".A" est le milieu de [BC] donc A"?-32
+72;4+122 donc A"? 1122
;922 et donc A"?114 ;94
B" est le milieu de [AC] donc B"
-2+72 ;-1+122 donc B"? 52;-122 et donc B"?52 ;-14
C" est le milieu de [AB] donc C"
?-2-322 ;-1+42 donc C"?-722 ;32 et donc C"?-74 ;32On en déduit que :
--→AA"?114 -(-2);94 -(-1)?donc--→AA"?194 ;134 --→BB"?52 -(-32 );-14 -4?donc--→BB"?4;-174 --→CC"?-74 -7);32 -12 ?donc--→CC"?-354 ;1?. 3.Ca lculerles co ordonnéesdu v ecteur
--→AA"+--→BB"+--→CC".Quelle interprétation pouvez-vous en faire?
On en déduit que--→AA"+--→BB"+--→CC"?194 + 4-354 ;134 -174 + 1? donc --→AA"+--→BB"+--→CC"?194 +164-354 ;134 -174 +44
Finalement, on obtient--→AA"+--→BB"+--→CC"(0;0), le vecteur--→AA"+--→BB"+--→CC" est donc nul. Ceci
signifie que la translation de vecteur--→AA"+--→BB"+--→CC" ne déplace pas les points!
Si on place des masses égales aux sommets A, B et C, le point de concours obtenu est un point d"équilibre de ce système.Exercice 4:
On lance deux fois de suite un dé tétraédrique dont les quatre faces sont numérotées de 1 à 4.
On forme ainsi un nombre à deux chiffres. Par exemple, si on obtient 2 au premier lancer et 3 au second,
on forme le nombre 23. 4