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SYMÉTRIE CENTRALE - EXERCICES AVEC DÉMONSTRATION 2.3

I)Le triangle ABC est tel que : AB = 5cm, AC = 4cm et^BAC=40∘. On appelle G le milieu de [AC] et D le

symétrique du point B par rapport à G.

1)Quelle est la mesure de l'angle

^ACD ?

2)Déterminer la longueur CD.

II)Soit (C) un cercle de centre I sur lequel on trace deux diamètres distincts [AB] et [EF].

Démontrer que les droites (AE) et (BF) sont

parallèles. III)Soit ABC un triangle, D un point de la droite (AC) et I le milieu du segment [BD]. On appelle E et F les symétriques respectifs des points A et C par rapport au point I.

1)Prouver que les droites (FA) et (CE) sont

parallèles.

2)Prouver que les longueurs FA et CE sont égales.

3)Prouver que les mesures des angles

^IAD et ^IEBsont égales.

4)Prouver que les points E, B et F sont alignés.

IV)Soit deux droites perpendiculaires (d1) et (d2). Soit I un point n'appartenant à aucune de ces deux droites, on appelle (d3) la droite symétrique de (d1) par rapport à I. Démontrer que (d3) est perpendiculaire à (d2). V)Soit un segment [AB] de médiatrice (d). On choisit sur (d) un point I, puis sur (IA) un point C. On appelle alors D le symétrique de C par rapport à (d).

1)Montrer que I, B et D sont alignés.

2)Montrer que : AC = BD.

3)Montrer que (CD) est parallèle à (AB).VI)Deux cercles (C1) et (C2) ont le même centre I mais

des rayons différents. Le segment [AB] est un diamètre du cercle (C1) et le segment [CD] est un diamètre du cercle (C2).

1)Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont

parallèles.

2)Démontrer que les longueurs AD et BC sont

égales.

3)Démontrer que les angles

^ACB et ^ADB ont la même mesure. VII)Soit ABD un triangle rectangle en A, I le milieu de [BD] et C le symétrique de A par rapport à I.

1)Montrer que l'angle

^DCB est droit.

2)Montrer que les droites (AB) et (CD) sont

parallèles.

3)Montrer que l'angle

^ADC est droit. VIII)Soit un segment [AB] et (d) sa médiatrice. On appelle I le point d'intersection de [AB] avec (d). Déterminer le symétrique de A par rapport à I. IX)Soit un quadrilatère ABCD. On appelle E et F les points tels que A soit le milieu de [BE] et aussi celui de [DF]. Puis, on défini G et H, les symétriques respectivement de B et D par rapport à C.

Montrer que : EF = GH.

X)Soit un triangle ABC tel que AB = AC = 4cm et BC =

6cm. On construit alors F le symétrique de C par

rapport à B, E le symétrique de A par rapport à B et

G le symétrique de F par rapport à E.

1)Montrer que : EF = 4cm.

2)Montrer que : EG = 4cm.

3)Montrer que (EG) est parallèle à (AC).XI)Le triangle ABC est isocèle en A et D est le

symétrique de B par rapport à A.

Montrer que le triangle ADC est isocèle.

XII)On considère un triangle ABC. On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]. Soit E le symétrique de C par rapport à I et F le symétrique de E par rapport à J.

1)Montrer que EA = BC et (EA) est parallèle à (BC).

2)Montrer que CF = BC et que B, C et F sont

alignés.

3)Montrer que F est le symétrique de B par rapport

à C.

XIII)Soit un triangle ABC, I le milieu de [BC], et (d) la médiatrice de [BC]. (d) coupe (AB) en J. On appelle D le symétrique de A par rapport à I puis E le symétrique de A par rapport à (d) et K le symétrique de J par rapport à I.

1)Démontrer que les points K, D et C sont alignés.

2)Démontrer que : AC = BE.

3)Démontrer que : AC = BD.

4)En déduire la nature du triangle BED.

XIV)(d1) et (d2) sont deux droites sécantes en un point I. Soit A un point n'appartenant à aucune de ces deux droites. On construit successivement le point B symétrique de A par rapport à (d1), puis le point C symétrique de B par rapport à (d2) et enfin le point D symétrique de C par rapport au point I.

1)Démontrer que : IA = IB = IC = ID.

2)Que peux-t-on en déduire concernant les points A,

B, C et D ?

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