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QCM sur les probabilités Identifiant : Classe de seconde Au premier tirage, on a 32 possibilités, puis au second, il reste 31 possibilités La probabilité qu' elle soit à Il faut prendre la réunion de la ligne garçon et de la colonne ES :

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de modéliser des expériences aléatoires puis de calculer les probabilités des événements en jeu Les expériences La seconde expérience offre la plus grande probabilité c Les deux 1 000 lignes Corrigés des exercices Exercices d' 

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11. Probabilités 171

11. Probabilités

Objectifs et pré-requis

Les premiers exemples de probabilité sont abordés en classe de 3 e dans des situations de lancers de dés ou de tirages dans des urnes. En classe de 2 de , il s'agit, dans des situations de problèmes,

de modéliser des expériences aléatoires puis de calculer les probabilités des événements en jeu.

Les expériences étudiées peuvent comporter plusieurs épreuves. On trouvera également dans ce

chapitre des exemples de marches aléatoires qui sont sources de démarches algorithmiques. Extrait du programme (Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009) :

Contenus Capacités attendues

Probabilité sur un ensemble fini

Probabilité d'un événement.

Réunion et intersection de deux

événements, formule :

p(A ? B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B).• Déterminer la probabilité d'événements dans des

situations d'équiprobabilité. • Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées.

• Connaître et exploiter cette formule.

Pour être équitable, le pari sur le 7 devrait rapporter 6 fois la mise (cf. TP TICE 3).

Corrigés des activités

1 Probabilité ou certitude ?

1 Le professeur animera la séance en confrontant les stratégies proposées par les élèves. Il faut veiller

à ne pas révéler le contenu du sac avant que tous soient convaincus du raisonnement proposé.

2 Classe 1 : les tirages étant avec remise, le sac pourrait contenir un seul pion noir.Classe 2 : avec ce raisonnement, on ne pourrait pas conclure si l'on tire par exemple 3 pions noirs parmi les 10 pions tirés.Classe 3 : malgré le nombre important de tirages, on peut contredire ce raisonnement en considérant que l'expérience réalisée revient à tirer 50 fois un jeton. Le bilan de ce tirage est alors de 29 pions noirs pour 21 pions blancs, ce qui tendrait à montrer que les pions noirs seraient plus nombreux.

2 Des statistiques aux probabilités

2 b. L'échantillon, s'il est suffisamment grand, permettra de voir la fluctuation des résultats mais aussi

une tendance centrale vers la probabilité théorique.

172 11. Probabilités

Exemple d'un simulation sur une classe de 35 élèves :

Nombres

de résultats supérieurs ou égaux à 5

01234567891011121314151617181920

Nombre

d"élèves

000334567511000000000

c. Avec cet échantillon, la fréquence des nombres de résultats supérieurs ou égaux à 5 pour l'en-

semble des lancers est 0,34, avec 35 × 20 = 700 lancers.

3 a. On constate que la répartition et la fréquence observée sont proches de celles de l'expérience

précédente.

b. À nombre de lancers identiques, on peut faire la moyenne des fréquences observées, on a alors

1 400 lancers, la fréquence obtenues est une bonne approximation de la probabilité que la face supé-

rieur du dé porte un chiffre supérieur ou égal à 5. c. On peut comparer ce nombre à la probabilité théorique 2 6 1 3

3 Avec ou sans remise ?

Partie A

1 Voir schéma ci-contre.

2 Il y a 9 issues équiprobables, la probabilité de chacune

d"elle est donc 1 9

3 a. La probabilité de tirer deux fois le même nombre

est 3 9 1 3 b. La probabilité que le premier nombre soit stricte- ment inférieur au second est 3 9 1 3 c. La probabilité que la somme des nombres tirés fasse 4 est 3 9 1 3

Partie B

1 Voir schéma ci-contre.

2 Il y a 6 issues équiprobables. La probabilité de chacune

d"elles est donc 1 6

3 a. La probabilité de tirer deux fois le même nombre

est 0. b. La probabilité que le premier nombre soit stricte- ment inférieur au second est 3 6 1 2 c. La probabilité que la somme des nombres tirés fasse 4 est 2 6 1 3

Issues

du tirage (1 ; 1) 2 d tirage 1 er tirage 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 (1 ; 2) (1 ; 3) (2 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 3) (3 ; 1) (3 ; 2) (3 ; 3)

Issues

du tirage (1 ; 2) 2 d tirage 1 er tirage 2 3 1 1 3 2 1 2 3 (1 ; 3) (2 ; 1) (2 ; 3) (3 ; 1) (3 ; 2)

11. Probabilités 173

Partie C

a. La première expérience offre la plus grande probabilité. b. La seconde expérience offre la plus grande probabilité. c. Les deux expériences offrent la même probabilité.

Corrigés des Travaux pratiques

TICE 1 Simuler le lancer d"une pièce à la calculatrice

Partie A

3 Une fois les 200 lancers affectés à la liste 1, on peut par exemple faire

afficher la moyenne de la série qui représente la fréquence d"apparition du 1, donc du côté " pile ».

Sur TI 83+ : voir ci-contre.

4 La fréquence d'apparition du côté " pile » est proche de 0,5 qui est la

probabilité théorique en cas d"équiprobabilité dans une expérience à deux issues.

Partie B

1 Sur Casio Graph 35+ : voir ci-contre.

Lancer trois fois une pièce ne revient pas à tripler le résultat.

2 a. Oui, la répartition semble équiprobable.

b. Il n'y a qu'une seule manière d'obtenir trois " pile », avec le triplet (P, P, P), alors qu"il y a trois manières d"obtenir deux " pile », avec les triplets (P, P, F), (P, F, P) et (F, P, P).

c. Obtenir deux " pile » devrait être trois fois plus fréquent qu'obtenir trois " pile », il ne devrait donc

pas y avoir équiprobabilité comme l"expérience le suggère d"après le 2) a.

3 a. et b. Sur TI 83 + : voir ci-contre.

c. Le nombre de " pile » ayant la plus forte probabilité est 1 ou 2. d. On peut construire l'arbre suivant : P F P F P P F P F P F P F F 3

Nombre de

" pile » 2 2 1 2 1 1 0

Ces 8 issues sont équiprobables, les probabilités selon le nombre de " pile » sont résumées dans le

tableau suivant :

Nombre de " pile »0123

Probabilité

1 8 3 8 3 8 1 8

174 11. Probabilités

TICE 2 Simuler et comprendre la loi des grands nombres

1 On saisit la formule dans A1 avant de la recopier vers la droite puis vers le bas.

2 a. Dans la feuille 2 ci-dessous, la formule saisie en B3 à recopier vers le bas, est :

" =NB.SI(Feuille1!$A$1:$J$10;B2) ». b. La fréquence s'obtient en saisis- sant dans la cellule B4 la formule " =B3/100 », formule recopiée ensuite vers la droite.

3 On ne peut pas préjuger du chiffre qui apparaît le plus fréquemment. L'amplitude maximale entre les fréquences observées peut dépasser 0,10.

4 Il faut modifier la plage de cellule en la recopiant sur 10 000 cellules. Le plus simple est de garder 10 colonnes et de prolonger la table sur 1 000 lignes.On ne peut toujours pas préjuger du chiffre qui apparaît le plus fréquem-ment, par contre l'amplitude maximale entre les fréquences observées a diminué et dépasse rare-ment 0,02.

5 Ces dernières observations laissent penser que la simulation est équiprobable, en accord avec la loi des grands nombres.

TICE 3 Somme de plusieurs dés

2 La valeur la plus fréquente de la série pourrait être le 7 mais elle est parfois dépassée par d'autres

valeurs. Sa fréquence est très variable (entre 0,10 et 0,25 le plus souvent).

3 Avec 2 000 lancers :

L"histogramme est plus régulier et l"issue la plus fréquente est (presque) toujours le 7. Sa fréquence

varie encore toutefois entre 0,15 et 0,18.

11. Probabilités 175

4 À l'aide d'un tableau à double entrée, on peut dénombrer les 36 couples (dé 1 ; dé 2) équiprobables

puis calculer la probabilité de chaque issue. dé 2

123456

1234567

2345678

dé 1

3456789

45678910

567891011

6789101112

Issue23456789101112

Probabilité

1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36

5 a. et b. Avec 2 000 lancers, la conjecture du prince de Toscane semble vraie, mais le 9 gagne assez

souvent pour laisser un doute. c. Avec 10 000 lancers, il n'y a plus de doute, le 10 l'emporte (presque) à chaque fois.

Algorithmique 1 Lancers de dés

1 a.

Entrées :

Traitement :

Sortie :

Donner les valeurs de N.

Initialiser S à 0.

Pour I allant de 1 à N

Affecter à A un nombre aléatoire entier entre 1 et 6

Si A = 6

Alors affecter à S la valeur S + 1.

Afficher

S N b. N est le nombre total de lancers, S compte le nombre de 6 obtenus, A est la valeur du dé. c. La valeur affichée en sortie est la fréquence d'apparition du 6.

2 a. On peut ajouter l'affichage de

S N 1 6 b. Sur TI 83+ Sur Casio Graph 35+ c. On ne peut atteindre un écart inférieur à 1 % car pour N = 20, les valeurs de S N sont des multiples de 1 20 =0,05, donc la valeur la plus proche de 1 6 ≈0,1666 est 0,15, ce qui correspond à un écart de

1,66 %.

176 11. Probabilités

Algorithmique 2 Marche aléatoire

1 a. Le nombre de pas exécutés dans la fenêtre est 10.

b. La dernière valeur obtenue pour A a permis de faire un pas horizontal, ce qui a lieu si A = 1.

2 a. Voir ci-contre.

b. Ces points de coordonnées (x ; y) sont alignés car la somme des déplacements est constante : x + y = pas. Si x + y = 3, alors y = -x + 3 est une équation de droite. Si x + y = 8, alors y = -x + 8 est une équation de droite. Algorithmique 3 L"affirmation du chevalier de Méré

1 a. Dans les trois algorithmes, A prend la valeur du chiffre obtenu en lançant le dé.

Algorithme n° 1

On lance quatre fois le dé, on note le nombre de 6 obtenu dans K, on teste si K = 0 pour savoir si l'on

a perdu.

Algorithme n° 2

On lance au plus quatre fois le dé car, à chaque lancer, on teste si le dé vaut 6, auquel cas on s'ar-

rête, grâce au nombre i qui, en dépassant 4, permet de stopper le processus et d'afficher que l'on a

gagné.

Algorithme n° 3

On lance le dé tant que le nombre 6 n'est pas obtenu, on note le nombre de lancers qu'il a fallu effectuer dans i, on teste si i est inférieur à 4 pour savoir si l'on a gagné. b. L'algorithme n° 1 effectue toujours 4 boucles. L"algorithme n° 2 effectue au maximum 4 boucles, ici 3 boucles.

L"algorithme n° 3 effectue autant de boucles que nécessaire pour obtenir un 6, il peut donc effectuer

6 boucles.

c. Le deuxième algorithme semble le plus économe en nombre de boucles car il garantit de faire au

maximum 4 boucles. Le troisième algorithme peut réaliser une seule boucle (si le 6 sort immédiate-

ment), mais n"offre aucune garantie de réussite (il pourrait boucler indéfiniment si le 6 ne sort pas).

2 a. Pour réaliser N fois l'algorithme et noter chaque résultat (gagné ou perdu), il ne faut pas que

ce dernier retourne " gagné » ou " perdu » mais un nombre 1 ou 0 que l"on pourra stocker dans un

compteur C.

Entrée :

Traitement :

Sortie :

Demander la valeur de N.

C prend la valeur 0.

Pour j allant de 1 à N

i = 0

Tant que i est inférieur à 4

A est un entier aléatoire entre 1 et 6

Si A = 6

i prend la valeur i + 4

C prend la valeur C + 1

Sinon i prend la valeur i + 1. Afficher " Fréquence des parties gagnées : », C N 1 2 3 4 5 6 en 8 pas en 3 pas 7 8 y

O12345678x

11. Probabilités 177

b. Pour N très grand, (supérieur à 3 000), il semble que l'affirmation du chevalier de Méré soit vraie.

En Python, il faut d"abord lancer le module random (avec la commande : from random import*), et penser à noter C comme un nombre décimal

0.0 pour que le calcul de fréquence ne soit pas

arrondi à l"entier inférieur, c"est-à-dire 0. Répéter un million de fois l"expérience dure moins de 15 secondes (voir ci-contre).

Avec Algobox, il faut affecter

N

à C pour affi-

cher la fréquence car le logiciel ne peut pas afficher le résultat d"un calcul mais seulement la valeur d"une variable. Répéter 100 000 fois l"expérience dure environ

30 secondes.

Avec Xcas :

3 a. On peut construire un arbre pondéré. Les issues " 6 » étant pondérées de la probabilité

1 6 et les issues " Pas 6 » de la probabilité 5 6 b. p(perdre) = 5 6 5 6 5 6 5 6 625
1296
donc p(gagner) = 1 - p(perdre) =1- 625
1296
671
1296
≈0,518.

c. Comme p(gagner) ≈ 0,518, proche de 0,5, la fluctuation d'échantillonnage permet difficilement

de trancher sur cette question sans un grand nombre de lancers.

L"intervalle de fluctuation au seuil de 95 % contient des fréquences observées inférieures à 0,5 (ce

qui signifie perdre) dès que 1 N > 1,8 %, ce qui revient à N < 3 086.

Il est donc difficile d"avoir un résultat expérimental probant sans avoir effectué un grand nombre

de lancers. Problème ouvert 1 Embouteillage sur le parking On peut raisonner de façon chronologique. La première voiture a quatre choix pour se garer, la seconde voiture n"a plus que trois choix et la dernière seulement deux choix. voiture 1 voiture 2 voiture 3 4

× 3

× 2

= 24 Il y a donc 24 façons de choisir l"emplacement de 3 voitures dans quatre places de parking.

178 11. Probabilités

Problème ouvert 2 L"injuste arrondi

1 L'intervalle [1 ; 6] est de longueur 5.

Pour obtenir 6, il faut se situer dans l"intervalle ]5,5 ; 6], d"amplitude 0,5.

Donc la probabilité d"obtenir 6 est

0,5 5 1 10

2 On peut établir ainsi la probabilité de toutes les issues :

Nombre obtenu123456

Probabilité

1 10 2 10 2 10 2 10 2 10 1 10

La probabilité d"obtenir un nombre pair est

2 10 2 10 1 10 5 10 1 2

Problème ouvert 3 Improbable

1 Il y a 9 possibilités pour choisir la première étoile puis 8 possibilités pour la seconde étoile. On peut

donc comptabiliser 9 × 8 = 72 couples ordonnées (étoile1 ; étoile2), donc tous les couples non

ordonnés sont compté deux fois. Il y a donc 72
2 =36 couples non ordonnées différents. Ces couples sont équiprobables, la probabilité de choisir le bon couple est donc 1 36

2 On peut raisonner sur un arbre pondéré. Pour obtenir 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles, il faut

faire le produit des probabilités de la branche gagnante : 1 36
1

2118760

1

76275360

, il y a donc une chance sur 76 275 360 de gagner le grand prix.

Corrigés des exercices

Exercices dapplication

1 a. Ω ={3 rouges ; 1 noire et 2 rouges ; 2 noires

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