[PDF] Systèmes déquations différentielles linéaires et non linéaires PDF Resume2b.pdf

Nous en parlons maintenant 4 8 Définition Soit A une matrice carrée d'ordre n constante, soit F un champ de vecteurs et considérons un système d'équations

différentielles Table des matières 12 Équations différentielles, systèmes d' équations différentielles 1 12 1 Équations différentielles linéaires du premier ordre

[PDF] Solutions dun système déquations différentielles dans le - Numdam

Cette intégration des équations réduites fournit alors la solution du système (i) soit sous forme de développements en série dépen- dant d'un paramètre variable et

[PDF] Systèmes déquations différentielles linéaires et non linéaires

Nous en parlons maintenant 4 8 Définition Soit A une matrice carrée d'ordre n constante, soit F un champ de vecteurs et considérons un système d'équations

[PDF] Sommaire 1 Systèmes Différentiels Linéaires du 1er ordre

Ce chapitre étudie trois types différents d'équations et systèmes différentiels : • Les systèmes linéaires du premier ordre à coefficients constants • Les équations

[PDF] Equations et systèmes différentiels linéaires (notes de cours)

6 2 Equation différentielle d'ordre n Definition 6 2 1 Soit (a0, ,an−1) des coefficients dans K = R ou C

[PDF] Système déquations différentielles linéaires

11) y + y = cos(wx), w ∈ R Exercice 3 Résolution d'équations différentielles linéaires à coefficients non constants 1) x2y − 2xy + 2y =2+2x3 sin(

[PDF] SYSTEMES DIFFERENTIELS

6 déc 2004 · Définition 1 Un syst`eme différentiel linéaire `a coefficients constants d'ordre 1 ` a n équations prend la forme X = AX + B o`u X et B sont des

[PDF] MACS1 - S6 - Equations différentielles - TD3 Systèmes déquations

Systèmes d'équations différentielles - Résolvante - Wronskien 1 Systèmes de deux équations On considère un système d'équations différentielles linéaires,

[PDF] Introduction

La fonction x(t) = 5 + arccotg(t + C) où C est une constante, est solution de l' équation x' = cos(č – t) (à vérifier) La solution d'un système différentiel est donc une

[PDF] Systèmes Différentiels - Institut de Mathématiques de Toulouse

Exercice 3 (Équation différentielle de Van der Pol) L'équation suivante permet de décrire les phénomènes d'oscillations dans certains circuits électriques es

[PDF] systèmes d'équations différentielles exercices corrigés

[PDF] systèmes d'équations exercices

[PDF] systèmes d'équations linéaires

[PDF] systèmes d'équations linéaires exercices corrigés

[PDF] systèmes d'équations seconde

[PDF] t'es hors sujet

[PDF] table de 2 exercices ce1

[PDF] table de 2 exercices ce2

[PDF] table de 3 exercices ce1

[PDF] table de 4 exercices ce1

[PDF] table de 4 exercices ce2

[PDF] table de 5 exercices ce1

[PDF] table de 6 exercices ce2

[PDF] table de 8 exercices ce2

[PDF] table de 9 exercices ce2

30

Résumé 2 (suite et fin)

4- phase, points critiques et stabilité

4.1 Contexte et définitions

dxf x ydt dyg x ydt

est appelé autonome (la variable " t » napparaît pas à droite). Les fonctions f et g sont supposées

de classe C1 dans une certaine région R du plan des xy, appelé ici plan de phase du système. Le théorème 3.4 du résumé 1 nous assure que, étant donné un t0 et un quelconque point

00, x y R

, il y a une unique solution (on dit souvent trajectoire) x = x(t) et y = y(t) du système, solution définie sur un intervalle ouvert contenant t0 et satisfaisant

00x t x

00y t y

. Un point , xy tel que , , 0f x y g x y est dit point critique du

système. Un tel point est toujours une solution du système (dite solution stationnaire ou

). ation différentielle (appelé ici champ de direction) dy g x y dx f x y u système dÉ.D. avec des trportrait de phase.

4.1.1 Cas particulier Soit A une matrice constante, 2 2, inversible et considérons le système

linéaire d dt yAy où y yy T 12 et où

ALNMOQP

aa aa 1112
2122
Remarquez quil sagit dun cas particulier du système dxf x ydt dyg x ydt

En effet,

d dt yAy prend alors la forme suivante : 31

111 1 12 2

221 1 22 2

dya y a ydt dya y a ydt

avec x remplacé par y1 et y remplacé par y2. Puisque A est supposée inversible, alors le seul point

critique du système d dt yAy est (0, 0) et = 0 ne peut pas être une valeur propre de A. Ainsi,

A sont

12Tr Tr 4Det , 2 r

où

Tr Det aa1122,

det(A) = 12 . Il y a donc 5 cas à considérer. On peut avoir 2 valeurs

propres réelles distinctes (même signe ou signe opposé), 2 valeurs propres réelles égales (valeur

propre double) et deux valeurs propres complexes conjuguées (partie réelle nulle ou non). Et la

solution du système d dt yAy a la forme suivante : Si A possède 2 valeurs propres réelles distinctes 12, avec v1, v2 des vecteurs propres correspondants respectifs, alors

121 1 2 2y v vttc e c e

où c1 et c2 sont des constantes arbitraires. Les exemples 4.2.1 et 4.2.2 traitent ce cas. Supposons que A possède une valeur propre double . Si A nest pas déjà diagonale, elle nest pas diagonalisable (revoir lexemple 2.6 pour un tel cas). Alors on a une première solution

11yvte

où v1 est le seul vecteur propre (à multiple près) quon a pu trouver. On trouve un vecteur propre généralisé v2 et la seconde solution sera (revoir lexemple

3.14.1)

2 1 2y v vtet

. Lexemple 4.2.3 dans sa seconde partie traite ce cas. Si par contre A est déjà diagonale, alors cest un cas facile et les courbes solutions sont une famille de droite comme lexemple 4.2.3 le début de lexemple 4.2.3 le montrera.

Si A possède des valeurs propres complexes

a bi , elle nest pas diagonalisable (dans les réels : revoir lexemple 2.6, matrice B) On sait quon trouve un vecteur propre complexe w = u + i v associé à la valeur propre a + b i et les parties réelle et imaginaire de la solution complexe ()()uva bi tei sont deux solutions indépendantes. Les exemples

4.2.4 et 4.2.5 vont dans ce sens.

Allons-y donc avec de exemples pour illustrer chacun des cas précédents. Le solveur numérique

RK de Nspire a été utilisé pour tracer le plan de phase qui consiste en le graphique du champ de

pentes obtenu en calculant dy1/dy2 à partir de

1211 1 12 2 21 1 22 2etdy dya y a y a y a ydt dt

et de quelques trajectoires. Notez que nous avons choisi le paramètre t entre et 10 et des conditions

initiales quelconques. Une résolution symbolique était évidemment possible par exponentiation

de la matrice A et un tracé en mode paramétrique aurait pu être ensuite fait mais la précision du

solveur RK et la fenêtre 2D en mode entrée É.D. est fort intéressante dans Nspire. De toutes

façons, nos exemples donnent la solution symbolique par calcul des valeurs propres. Autre

remarque : à lexception de certains cas, il nest pas très utile de résoudre lÉ.D.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

dy a y a y dy a y a y puisque sa solution est très souvent une expression implicite qui ne nous renseigne pratiquement pas sur lallure du graphique.

4.2 Exemples traitant toutes les possibilités

4.2.1 Soit

LNMOQP

31
13 On trouverait 2 et 4 comme valeurs propres et la solution générale suivante : yLNMOQPLNMOQP cecett 1 2 2 41
1 1 1 . En dautres termes, pour bien comprendre la notation, nous avons ici

1 2 21y y ycc

où 24

[PDF] [PDF] Systèmes déquations différentielles linéaires et non linéaires

[PDF] Équations différentielles, systèmes déquations différentielles