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Avant et après la rétrécissement la vitesse est la même ← Ecoulement laminaire ← Ecoulement turbulent avant le rétrécissement, ligne de vitesse prallèle, qui 

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tourbillons, aux corps flottants, aux écoulements dans des tubes et à la gazeuse à la phase liquide peut se faire sans transition (on parle alors de continuité de l'état L'équation d'une ligne de courant (comparable à une ligne de champ en

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On appelle fluide non visqueux, ou fluide parfait, un fluide dont l'écoulement se L'équation d'une ligne de courant (comparable à une ligne de champ en 2) A partir de l'équation de continuité, établir une équation différentielle satisfaite par

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4 4 2 Cas particulier des fluides newtoniens (équation de Navier-Stokes) 57 4 5 3 Cas particulier pour un écoulement incompressible et stationnaire 61 anglos-saxons parlent de "divergence-free flow" Il est dit le bilan local de masse qui porte le nom d'équation de continuité On trouve 

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édition respecte le contenu du descriptif de la mécanique des fluides de la filière EGT accréditée L'objectif de ce cours et (Source : http://www http://avionique free fr) Les tourbillons de b) Généralisation : écoulement incompressible L' écriture de l'équation de continuité est inchangée et l'on a encore : ⃗ L'écriture 

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1 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

Mécanique des fluides (PC*)

2 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

I) Etude phénoménologique des fluides :

1 - Grandeur moyenne locale, particule fluide :

Une particule de fluide est un élément de volume de fluide de dimension mésoscopique (de l"ordre de 0,1 μm

3). Le vecteur vitesse de cette particule est la

moyenne statistique des vecteurs vitesses des molécules qui la constituent. Le mouvement du fluide dans un référentiel (R) est alors décrit par l"ensemble des vecteurs vitesses de ses particules. Du monde des particules (à gauche) au monde fluide (à droite) 3 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

2 - Contraintes dans les fluides :

On appelle fluide non visqueux, ou fluide parfait, un fluide dont l"écoulement se fait "sans frottements internes" d"aucune sorte. Le modèle du fluide parfait permet de rendre compte assez convenablement de la structure de certaines régions d"écoulements réels ou de la modéliser, mais jamais de la structure complète de ceux-ci. Une des caractéristiques principales de la mécanique des fluides apparaît ici : pour représenter des faits ou des observations, elle fait appel à des modèles, dont le degré de raffinement est variable. En raison de l"extrême complexité des phénomènes qu"elle tente de décrire, elle ne peut se passer de tests expérimentaux (réalisation de maquettes testées dans un bassin et qui serviront à la conception des navires ; essais en soufflerie pour la construction aéronautique, etc...). 4 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

II) Champ des vitesses dans un fluide :

1 - Description lagrangienne, description eulérienne :

• Description lagrangienne :

5 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

• Description eulérienne :

6 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

2 - Champ de vitesse, lignes de courant et trajectoires :

La carte du champ des vitesses donne une représentation graphique d"un

écoulement.

Cette carte est le tracé du vecteur vitesse

( , )v M t? en tout point M à un instant donné t. A titre d"exemple, on considère l"écoulement stationnaire autour d"un cylindre fixe, de rayon R, infini dans la direction (Oz) perpendiculaire au plan de la feuille, d"un fluide parfait (viscosité nulle) ayant une vitesse uniforme 0 0 x v v u loin du cylindre.

Le calcul du vecteur vitesse

x x y y v x y v u v u conduit à (voir paragraphe 7) :

2 2 22

00

2 2 22 2 2

( )1 ; 2( ) ( ) xy y x R xyR v v v v x y x y? ? 7 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

Lignes de courants :

Ces lignes sont les courbes tangentes au vecteur vitesse ( , )v M t? en chacun de leurs points M, à l"instant considéré. L"équation d"une ligne de courant (comparable à une ligne de champ en électrostatique) s"obtient en écrivant que tout vecteur déplacement élémentaire dr? le long de la ligne est colinéaire au vecteur vitesse ( , )v M t? , soit ( , ) 0v M t dr 8 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

3 - Dérivée particulaire du champ des vitesses :

( , )M t ( , )M dM t dt ( , )dr v M t dt=? ? dv v a v grad v dt t 9 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides) * En toute rigueur, v? dans le membre de gauche désigne la vitesse de la particule fluide /d dt est appelée dérivée particulaire, encore notée /D Dt * Dans les autres termes, v? désigne le champ des vitesses dans tout le fluide. * Enfin, le terme ( . )v grad v??????? ? permet de rendre compte que, même dans un écoulement stationnaire (dans le sens eulérien du terme), aux variations spatiales de la vitesse correspondent des accélérations pour les particules. 10 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

Généralisation :

" La dérivée particulaire » d"une grandeur vectorielle

G? est donnée par :

dG G v grad G dt t∂= + Cette dérivée particulaire se décompose en deux termes : ( . )v grad G?????? : la dérivée convective, qui indique un caractère non uniforme de G?. * Gt∂∂? : la dérivée locale, qui indique un caractère non permanent de G? Remarque : On peut montrer que (se placer en coordonnées cartésiennes) : 2 ( . ) ( )2vv grad v grad rot v v 11 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides) Exemple d"un solide en rotation : On considère un solide en rotation autour d"un axe fixe (Oz). Tout point M lié au solide possède un vecteur vitesse de la forme : v r u où ω est la vitesse angulaire de rotation autour de l"axe (Oz) et r la distance du point M à l"axe de rotation.

On calcule

rot v???? en utilisant un formulaire d"analyse vectorielle : 2 1 ( ) ( ) 2 2 z z drot v r u ur dr On définit alors, pour un fluide, le vecteur tourbillon par : 1

2rot v

12 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides) Ce vecteur représente le vecteur rotation (locale) d"une particule de fluide. Localement, le champ des vitesses d"un fluide renseigne sur l"existence de tourbillons dans ce fluide par l"intermédiaire de son rotationnel. Translation simple à gauche, rotation à droite menant à du tourbillon Un écoulement est dit non tourbillonnaire (ou irrotationnel) si le vecteur tourbillon est nul en tout point. Dans le cas contraire, l"écoulement est dit tourbillonnaire. 13 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

Structure tourbillonnaire (exemple de la tornade) : Cette structure correspond à une situation bidimensionnelle où le fluide tourne

autour de l"axe des z avec une vitesse orthoradiale v v r u

On suppose le fluide incompressible.

0 0 0 pour r apour r a On peut déterminer le vecteur vitesse à partir de : 1 1 1 2 2 z d rot v rv r u r drΩ = = * Pour r < a : 2 0 0

2 ( ) 2 ( )

rv r r soit v r rπ ω π ω * Pour r > a : 2 20 0

2 ( ) 2 ( )

a rv r a soit v r rωπ ω π 14 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

Champ des vitesses d"une tornade.

15 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

4 - Equation locale de conservation de la masse et conséquences :

a) Débit volumique, débit massique :

On appelle débit volumique D

v à travers une surface (S) orientée, le volume de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire.

Ce débit vaut :

vSD v n dS

Le débit massique D

m correspond à la masse de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire : mS SD v n dS j n dS avec j v ? (vecteur densité de courant ou vecteur densité de flux de masse de l"écoulement). 16 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides) b) Equation locale de conservation de la masse : On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d"étude). n? j? dS

VVolume

0

M tdivjtμ∂

C"est l"équation locale de conservation de la masse. Conséquences pour les écoulements stationnaires : le flux de j? est conservatif : 0 divj 17 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

1 1 2 2v S v S

Ainsi, lorsque les lignes de champ d"un écoulement se resserrent, la norme du vecteur vitesse augmente. 18 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

5 - Ecoulements non tourbillonnaires, potentiel des vitesses :

Un écoulement non tourbillonnaire est tel qu"en tout point de l"espace : ( ) 0 rot v On peut alors définir (à une constante près) un potentiel des vitesses, noté Φ, par : v grad= Φ??????

Si l"écoulement est de plus incompressible :

( ) 0 ( ) 0 div v donc div grad Le potentiel des vitesses vérifie l"équation de Laplace. 19 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides) III) Equations dynamiques locales des fluides parfaits :

1 - Forces volumiques, forces massiques :

Dans l"hypothèse du fluide parfait, on néglige les forces de viscosité. Un élément de fluide de volume dτ et de masse dm est soumis à des forces de représentation massique ou volumique selon l"expression : m v v m df f dm f d avec f f

Exemples :

• Forces de pesanteur :

m vf g f g

• Forces de pression :

1; ; v m df gradP d f gradP f gradP 20 O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

2 - Equation d"Euler, applications :

Dans un référentiel galiléen (R), la relation fondamentale de la dynamique appliquée à une particule de fluide de masse dm dont on suit le mouvement et soumise aux forces dF? s"écrit : Dv dm dF Dt=? Or : 2 ( . ) ( )2Dv v v vv grad v grad rot v v

Dt t t( )

v dF gradP d f d dm d 21
O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

D"où l"équation d"Euler :

v v v grad v gradP f t

Ou encore :

2 ( )2 v v v grad rot v v gradP f t 22
O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

• Oscillations d"un fluide dans un tube en U :

On souhaite étudier les oscillations d"un fluide incompressible dans un tube en U de faible section en intégrant l"équation d"Euler le long d"une ligne de courant. On suppose que les surfaces libres restent dans les parties rectilignes et verticales du tube. 23
O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides)

3 - Relations de Bernoulli, applications :

On suppose dans la suite que la seule force volumique (autre que les forces de pression) est le poids. Cas d"un écoulement parfait, stationnaire, irrotationnel, incompressible et homogène : 2 12 v gz P Cμ μ (Théorème de Bernoulli)

On remarque que

2 12 vμ et gzμ désignent les énergies volumiques cinétique et potentielle (de pesanteur), homogènes à une pression. 24
O Granier, PC* J Decour (Mécanique des fluides) • Cas d"un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène : On renonce à l"hypothèse " irrotationnel ». Alors : 2 ( )2vrot v v grad gz P

Ligne de courant B z

zB O z A A 2 2

1 12 2

A A A B B Bv gz P v gz Pμ μ μ μ

Ainsi, l"abandon de l"hypothèse " irrotationnel » restreint le théorème dequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35