[PDF] Actuariat de lAssurance Non-Vie &# 1 A - arthur charpentier PDF slides-ensae-2017-1.pdf

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Actuariat de l' Assurance Introduction Générale à la tarification en assurance non-vie Werner Guven GLM Basic Modeling: Avoiding Common Pitfalls pdf Mildenhal A

Ce dernier modèle est détaillé et appliqué dans le cas de la tarification du risque incendie pour les entreprises dans PARTRAT et BESSON [2004] 1 1 Prime de

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Enfin, nous nous servirons de ces mesures de risque pour comparer les risques en présence Dans les contrats d'assurance-vie, historiquement centre de

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2001 (44,806 dinars en assurance non vie et 4,199 dinars en assurance vie) à 54,990 l'exercice suivant constitue la provision de prime afférente à ce contrat

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Cours complet, exercices d'application et bibliographie sur Marges en assurance vie et non vie (2) Variation de la provision pour primes non acquises L'actif net corrigé représente la part des actifs de la société étant réputés appartenir

Actuariat de l"Assurance Non-Vie # 1

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

ENSAE 2017/2018

credit: Arnold Odermatt Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Rapide Introduction

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

Professor Economics Department, Univ. Rennes 1

(previously Actuarial Sciences, UQàM & ENSAE Paristech actuary in Hong Kong, IT & Stats FFA) PhD in Statistics (KU Leuven), Fellow of the Institute of Actuaries MSc in Financial Mathematics (Paris Dauphine) & ENSAE

Research Chair

ACTINFO

(valo risationet nouveaux usages a ctuarielsde l"info rmation)

Editor of the

freak onometrics.hypotheses.org "s blog

Editor of

Computational A ctuarialScience

, CRC

Autor of

Mathématiques de l"Assurance Non-Vie

(2 vol.), Economica Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Quelques références

Denuit & Charpentier (2005).

Mathématiques de l" AssuranceNon-Vie

. Economica. Dhaeneet al.(2005).Mo dernA ctuarialRisk Theo ry. Springer Verlag.

Ohlsson & Johansson (2010)

No n-lifeInsurance Pricing with Gener alizedLinea rMo dels . Springer de Jong & Heller (2008).

Generalized Linea rMo delsfo rInsuran ceData

. Cambridge University Press. Denuitet al.(2007)A ctuarialMo dellingof Claims Counts . Wiley.

Cameron & Trividi (2013)

Regression Analysis of Coun tData Bo ok

. Cambridge University Press

Hilbe (2011)

Negative Binomial Regression

Camb ridgeUniversit yPress

McCullagh & Nelder (1989)

Generalized Linea rMo dels

. CRC.

Wood (2006)

Generalized A dditiveMo dels

. CRC Hastieet al.(1001)The Elements of Statistical Lea rning. Springer.

Charpentier. (2015).

Computational A ctuarialPricing, with R

. CRC.

Wüthrich & Merz. (2008).

Sto chasticClaims Reserving Metho dsin Insurance

. Wiley. Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Plan du Cours

Introduction Générale à la tarification en assurance non-vie Classification, régression logistique et arbres de classification Régression de Poisson et surdispersion (Binomiale Négative, Zero-Inflated) Tarification a posteriori, modèles de crédibilité Modélisation des coûts individuels, grands risques Modèle collectif vs. modèle individuel, régression Tweedie

Provisions pour Sinistres à Payer

CfFSA: Applications of Statistical Techniques Module@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org4

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La notion de 'prime pure"

Pour une variable de comptage

E(N) =?

n?NnP(N=n) =? n?NP(N > n)

Pour une variable continue positive

E(X) =?

x?R+xf(x)dx=? x?R+P(X > x)dx oùP(X > x) =F(x) =? x Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La notion de 'prime pure"

Plus généralement,

E(X) =?

x?RxdF(x) dF(x) =? ?F(dn)-F(d-n)six=dn f(x)sinon où

F(x) =?

Etant donné un risqueX, la prime pure estπX=E[X].@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org6

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Calcul pour des lois classiques

Pour les

lois discrètes classiques •siN≂ B(n,p),P(N=k) =?n k? p k[1-p]n-k, alorsE(X) =np, et

Var(X) =np(1-p) •siN≂ P(λ),P(N=k) =e-λλkk!, alorsE(X) =λ, et Var(X) =λ=E(X) •siN≂NB(r,p),P(N=k) =Γ(r+k)k!Γ(r)pr[1-p]k, alorsE(X) =r[1-p]p , et Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017
Calcul pour des lois classiques

Pour les
lois con tinues classiques •siN≂ N(μ,σ2),?(x) =1σ ⎷2πexp? (x-μ)22σ2? , alorsE(X) =μ, •siN≂LN(μ,σ2),f(x) =1xσ ⎷2πexp? [ln(x)-μ]22σ2? , alors
E(X) = exp?

μ+σ22
•siN≂ G(α,β),f(x) =xα-1βαe-β xΓ(α), alorsE(X) =αβ Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Espérance mathématique d"une loi composée Dans un modèle collectif, on s"intéresse àS=N? n=1X isiN≥1,0sinon.
Si lesXisont i.i.d., indépendants deN, alors

E[S] =E[E(S|N)] =+∞?
k=1P[N=k]·E? k? i=1X i? k=1P[N=k]·k?
E[X1] =E[N]·E[X1].
où •E[N]est lafr équence •E[X1]est lec oûtmo yen@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org9 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017
Espérance, Fair Price et Prime Pure
Pascal, Fermat ou Condorcet (XVIIIème siècle) proposaient d"évaluer le "produit scalaire des probabilités et des gains", =n? i=1p ixi=EP(X), selon la "règle des parties"=?garantie un équilibre du système, en moyenne. L"espérance mathématique est un prix "juste"Feller (1968), •moindres carrés,E(X)= argmin{?X-c??2,c?R} •loi des grands nombres,X1+...+Xnn
P→E(X),
•théorème central limite,X1+...+Xnn
L≂ N?

E(X),V ar(X)⎷n
•probabilité de ruine,limn→∞P?X1+...+Xnn = 1pourπ Prime Pure Sans Segmentation

?E(Y) =argmin m?R{?Y-m??2}=argmin m?R{E?[Y-m]2?}

Var(Y) =minm?R{E?[Y-m]2?}=E?[Y-E(Y)]2?

???y=argmin m?R{n? i=11n [yi-m]2} s

2=minm?R{n?

i=11n [yi-m]2}=n? i=11n Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Éxcédant Moyen de Sinistre

L" excédant moyen de sinistre (encore app elédurée de vie mo yennere stanteen assurance sur la vie) est défini par e

X(x) =E[X-x|X > x]

1F X(x)? x (s-x)dFX(s), x≥0.@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org12 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Éxcédant Moyen de Sinistre

Loi de probabilitée

X(x)E(λ)1

G(α,β)α

1-Γ(α+ 1,βx)1-Γ(α,βx)-xLN(μ,σ2)exp(μ+σ22

?ln(x)-μ-σ2σ ?ln(x)-μσ -xPareto(α,x0)x Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Primes Stop-Loss ou Contrat avec Franchise

Etant donné un risqueX, lapri mestop-loss p ourune franc hised≥0est définie par

X(d) =E[(X-d)+] =eX(d)F(d).

Un traité de réassurance stop-loss (ou excédent de perte) consiste à faire prendre en charge par le réassureur la partie de la charge totaleSdes sinistres qui dépasse une certaine sommed. La portion réassurée, notéeSR, est donc définie par S

R= (S-d)+=?

S-d,siS > d.

La prime pure que la cédante devra verser au réassureur pour un tel contrat, appelée prime stop-loss, est donnée par E[SR] =E[(S-d)+].@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org14 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Etant donné un risqueX, la prime stop-loss pour une rétentiont≥0est définie par

X(t) =E[(X-t)+].

La fonctionπXest encore appelée la transformée stop-loss de la variable aléatoirequotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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Actuariat de l"Assurance Non-Vie # 1

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

ENSAE 2017/2018

Rapide Introduction

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

Professor Economics Department, Univ. Rennes 1

Research Chair

ACTINFO

Editor of the

Editor of

Computational A ctuarialScience

Autor of

Mathématiques de l"Assurance Non-Vie

Quelques références

Denuit & Charpentier (2005).

Mathématiques de l" AssuranceNon-Vie

Ohlsson & Johansson (2010)

Generalized Linea rMo delsfo rInsuran ceData

Cameron & Trividi (2013)

Regression Analysis of Coun tData Bo ok

Hilbe (2011)

Negative Binomial Regression

Camb ridgeUniversit yPress

McCullagh & Nelder (1989)

Generalized Linea rMo dels

Wood (2006)

Generalized A dditiveMo dels

Charpentier. (2015).

Computational A ctuarialPricing, with R

Wüthrich & Merz. (2008).

Sto chasticClaims Reserving Metho dsin Insurance

Plan du Cours

Provisions pour Sinistres à Payer

La notion de 'prime pure"

Pour une variable de comptage

E(N) =?

Pour une variable continue positive

E(X) =?

La notion de 'prime pure"

Plus généralement,

E(X) =?

F(x) =?

Calcul pour des lois classiques

Pour les

Calcul pour des lois classiques

Pour les

E(X) = exp?

μ+σ22

Si lesXisont i.i.d., indépendants deN, alors

E[S] =E[E(S|N)] =+∞?

E[X1] =E[N]·E[X1].

Espérance, Fair Price et Prime Pure

P→E(X),

L≂ N?

E(X),V ar(X)⎷n

Var(Y) =minm?R{E?[Y-m]2?}=E?[Y-E(Y)]2?

2=minm?R{n?

Éxcédant Moyen de Sinistre

X(x) =E[X-x|X > x]

Éxcédant Moyen de Sinistre

Loi de probabilitée

X(x)E(λ)1

G(α,β)α

1-Γ(α+ 1,βx)1-Γ(α,βx)-xLN(μ,σ2)exp(μ+σ22

Primes Stop-Loss ou Contrat avec Franchise

X(d) =E[(X-d)+] =eX(d)F(d).

R= (S-d)+=?

S-d,siS > d.

X(t) =E[(X-t)+].