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Travaux Dirigés de Mathématiques pour l"Assurance

Assurance-Vie

Exercice 1- On suppose que les probabilités de survie d"une tête d"âge actuel 60ans est à 63

ans

3p60= 0,932et5p60= 0,879à 65 ans.

1. Quelle est la probabilité pour qu"une tête de 63 ans survive à 65 ans?

Si une personne doit décéder entre 60 et 65 ans, quelle est la probabilité pour qu"elle meure

avant 63 ans?

2. On observe 24 personnes âgées de 60 ans. Quelle est l"espérancemathématique du nombre

de décès qui doivent intervenir entre 60 et 65 ans? Calculer les probabilités pour que dans le groupe interviennent 0, 1, 2, 3 ou 4 décès entre

60 et 65 ans? Quel est le nombre le plus vraisemblable?

Exercice 2- On suppose quetpx=eax+bxtpour touttdans[0,τ], avecaxetbxdes paramètres ne dépendant que dex.

1. Vérifier que pour avoir

0px= 1et pour vérifier l"identitét+t?px=tpxt?px+t, il faut que

a x= 0etbx=b, une constante.

2. Dans ces conditions, quelle est une forme possible de?x?

3. La distribution de la durée de vieTxest d"après ce qui précède indépendante dex.

Montrer que l"espérance mathématique deTxest égale à-1/b.

Exercice 3- Une loi de survie est caractérisée par un âge maximumωet par un taux instantané

de mortalité :μx=k/(ω-x)oùkest un réel positif.

1. Montrer qu"une forme possible des nombres probables de vivantsest :?x= (ω-x)k.

2. Quelle est, en fonction dek, dexet deω, la valeur de◦ex?

Exercice 4- On suppose que :tpx= [S(x)]t, où0< S(x)<1.

1. Vérifier que, si on veut que l"identité :

t+t?px=tpx t?px+tsoit vérifiée, il faut queS(x)soit

égal à une constanteS.

2. On suppose que si une tête décède entre les âgesx+ketx+k+ 1, son âge au décès

est en moyennex+k+ 1/2. Dans ces conditions, quelle est l"espérance mathématique approximative de la durée de vieTx?

Exercice 5- Dans certaine situation, le risque de décès est "aggravé", ce quise traduit par une

augmentation proportionnelle du taux instantané de mortalité, soit: x=μx·(1 +α)

xetant le taux instantané de mortalité à l"âgexau risque "aggravé" etμxle taux standard,

sans risque "aggravé".

1. Etablir une relation entre la probabilité de survie

tp?xrelative au risque "aggravé" et la probabilité tpxrelative à un risque normal. 1

2. Si la loi de survie ordinaire est une loi de Gompertz, de la forme?x=k·g(cx), montrer

qu"on peut représenter la loi de survie aggravé, en vieillissant simplement d"un nombre d"annéeδun individu d"âgex, c"est-à-dire en posant??x=?x+δ.

Exprimerδen fonction deαet dec.

3. Application :

(a) On considère que la table TD 88-90 est ajustable par une loi de Gompertz à partir de l"âgex= 50ans. Déterminer le coefficientcà partir de la connaissance de?50,?60et 70.
(b) Quelle est la valeur deαqui correspond à l"augmentation de 70% du taux annuel de la table TD 88-90? Compte tenu de l"hypothèse précédente et de la valeur dec, quel est le vieillissement

δà retenir?

Exercice 6- Déterminer le coefficientcde la formule de Makeham à partir des valeurs sui- vantes : x30 45 60 75 L x964820 942091 869412 611483

Exercice 7- Des individus sont soumis à 2 causes d"élimination indépendantes caractérisées

par des taux instantanés constantsμ1etμ2.

1. Calculer les expressions théoriques de :

(a) la probabilitéPde maintien dans le groupe au bout d"un an, (b) les probabilités annuelles d"élimination par les causes 1 et 2, respectivement notées Q

1etQ2.

2. L"effectif initial observé étant de 2500 personnes, on observe enun an 80 éliminations du

1er type et 24 du second.

Donner des estimations deQ1etQ2. En déduire des estimations deμ1etμ2. Calculer les probabilités indépendantesP1etP2. Exercice 8([2],p.260)- On considère les données d"expérience suivantes : Âge Nombres d"individus observé Nombre de décès

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Assurance-Vie

3p60= 0,932et5p60= 0,879à 65 ans.

1. Quelle est la probabilité pour qu"une tête de 63 ans survive à 65 ans?

2. On observe 24 personnes âgées de 60 ans. Quelle est l"espérancemathématique du nombre

60 et 65 ans? Quel est le nombre le plus vraisemblable?

1. Vérifier que pour avoir

0px= 1et pour vérifier l"identitét+t?px=tpxt?px+t, il faut que

2. Dans ces conditions, quelle est une forme possible de?x?

3. La distribution de la durée de vieTxest d"après ce qui précède indépendante dex.

1. Montrer qu"une forme possible des nombres probables de vivantsest :?x= (ω-x)k.

2. Quelle est, en fonction dek, dexet deω, la valeur de◦ex?

1. Vérifier que, si on veut que l"identité :

égal à une constanteS.

2. On suppose que si une tête décède entre les âgesx+ketx+k+ 1, son âge au décès

1. Etablir une relation entre la probabilité de survie

2. Si la loi de survie ordinaire est une loi de Gompertz, de la forme?x=k·g(cx), montrer

Exprimerδen fonction deαet dec.

3. Application :

δà retenir?

1. Calculer les expressions théoriques de :

1etQ2.

2. L"effectif initial observé étant de 2500 personnes, on observe enun an 80 éliminations du

1er type et 24 du second.

70 675,9 8

71 599,9 6

72 501 2

73 410,7 10

74 382,7 5

75 421,3 8

76 441,9 9

77 494,2 6

78 532,2 24

79 505,8 24

80 488,8 21