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Optimisation avec contraintes d'égalité 11 4 Optimisation avec contraintes d' inégalité 26 Chapitre 3 Programmation convexe 35 1 En guise d'introduction

3.4. OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES CHAPITRE 3. OPTIMISATION

3.4.5 Exercices (optimisation avec contraintes)

Exercice 125(Sur l"existence et l"unicité).Corrigé en page 268

Etudierl"existence et l"unicité des solutions du problème(3.48), avec les donnéessuivantes :E= IR, f: IR→IR

est définie parf(x) =x2, et pour les quatre différents ensemblesKsuivants : (iii)K={|x| ≥1}; (iv)K={|x|>1}.(3.55) Exercice 126(Aire maximale d"un rectangle à périmètre donné).Corrigé en page 268

1. On cherche à maximiser l"aire d"un rectangle de périmètredonné égal à 2. Montrer que ce problème peut se

formuler comme un problème de minimisation de la forme (3.48), oùKest de la formeK={x?IR2;g(x) =

0}.On donnerafetgde manière explicite.

2. Montrer que le problème de minimisation ainsi obtenu est équivalent au problème

?¯x= (¯x1,¯x2)t?˜K où

˜K=K∩[0,1]2,Ketfétant obtenus à la question 1. En déduire que le problème de minimisation de l"aire

admet au moins une solution.

3. CalculerDg(x)pourx?Ket en déduire que sixest solution de (3.56) alorsx= (1/2,1/2). En déduire que

le problème (3.56) admet une unique solution donnée par¯x= (1/2,1/2). Exercice 127(Fonctionnelle quadratique).Suggestions en page 244, corrigé en page 269

Soitfune fonction quadratique,i.e.f(x) =1

2Ax·x-b·x, oùA?Mn(IR)est une matrice symétrique

définie positive etb?IRn.On suppose que la contraintegest une fonction linéaire deIRndansIR, c"est-à-dire

g(x) =d·x-coùc?IRetd?IRn, et qued?= 0. On poseK={x?IRn, g(x) = 0}et on cherche à résoudre

le problème de minimisation (3.48).

1. Montrer que l"ensembleKest non vide, fermé et convexe.En déduire que le problème (3.48) admet une unique

solution.

2. Montrer que si¯xest solution de (3.48), alors il existeλ?IRtel quey= (¯x,λ)tsoit l"unique solution du

système :??A d dt0?? ?¯xλ?? =??bc?? (3.57) Exercice 128(Minimisation sans dérivabilité). SoientA?Mn(IR)une matrice s.d.p.,b?IRn,j: IRn→IRune fonction continue et convexe, à valeurs

positives ou nulles (mais non nécessairement dérivable, par exemplej(v) =?nj=1αi|vi|, avecαi≥0pour tout

i? {1,...,n}). SoitUune partie non vide, fermée convexe deIRn. Pourv?IRn, on poseJ(v) = (1/2)Av·v-

b·v+j(v).

1. Montrer qu"il existe un et un seulutel que :

2. Soitu?U, montrer queuest solution de (3.58) si et seulement si(Au-b)·(v-u) +j(v)-j(u)≥0,pour

toutv?U. Exercice 129(Utilisation du théorème de Lagrange).

1. Pour(x,y)?IR2, on pose :f(x,y) =-y,g(x,y) =x2+y2-1. Chercher le(s) point(s) oùfatteint son

maximum ou son minimum sous la contrainteg= 0.

Analyse numérique I, télé-enseignement, L3266Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 16 septembre 2016

3.4. OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES CHAPITRE 3. OPTIMISATION

2. Soita= (a1,...,an)?IRn,a?= 0. Pourx= (x1,...,xn)?IRn, on pose :f(x) =?ni=1|xi-ai|2,

g(x) =?ni=1|xi|2. Chercher le(s) point(s) oùfatteint son maximum ou son minimum sous la contrainte

g= 1.

3. SoientA?Mn(IR)symétrique,B?Mn(IR)s.d.p.etb?IRn. Pourv?IRn, onposef(v) = (1/2)Av·v-b·v

etg(v) =Bv·v. Peut-on appliquer le théorème de Lagrange et quelle condition donne-t-il surusif(u) =

min{f(v), v?K}avecK={v?IRn;g(v) = 1}? Exercice 130(Contre exemple aux multiplicateurs de Lagrange). Soientfetg:IR2→IR, définies par :f(x,y) =y, etg(x,y) =y3-x2. On poseK={(x,y)?IR2;g(x,y) = 0}.

1. Calculer le minimum defsurKet le point(

x,y)où ce minimum est atteint.

2. Existe-t-ilλtel queDf(

x,y) =λDg(x,y)?

3. Pourquoi ne peut-on pas appliquer le théorème des multiplicateurs de Lagrange?

4. Que trouve-t-on lorsqu"on applique la méthode dite "de Lagrange" pour trouver(

x,y)? Exercice 131(Application simple du théorème de Kuhn-Tucker).Corrigé en page 269 Soitfla fonction définie deE= IR2dansIRparf(x) =x2+y2etK={(x,y)?IR2;x+y≥1}.

Justifier l"existence et l"unicité de la solution du problème (3.48) et appliquer le théorème de Kuhn-Tucker pour la

détermination de cette solution. Exercice 132(Exemple d"opérateur de projection).Correction en page 270

1. SoitK=C+={x?IRn, x= (x1,...,xk)t, xi≥0,?i= 1,...,N}.

(a) Montrer queKest un convexe fermé non vide. (b) Montrer que pour touty?IRn, on a :(pK(y))i= max(yi,0). (a) Montrer queKest un convexe fermé non vide.

(b) SoitpKl"opérateur de projection définie à la proposition 3.40 page270. Montrer que pour touty?IRn, on

a : (pK(y))i= max(αi,min(yi,βi)),?i= 1,...,n.

Analyse numérique I, télé-enseignement, L3267Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 16 septembre 2016

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3.4. OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES CHAPITRE 3. OPTIMISATION

3.4.5 Exercices (optimisation avec contraintes)

1. On cherche à maximiser l"aire d"un rectangle de périmètredonné égal à 2. Montrer que ce problème peut se

0}.On donnerafetgde manière explicite.

2. Montrer que le problème de minimisation ainsi obtenu est équivalent au problème

3. CalculerDg(x)pourx?Ket en déduire que sixest solution de (3.56) alorsx= (1/2,1/2). En déduire que

Soitfune fonction quadratique,i.e.f(x) =1

2Ax·x-b·x, oùA?Mn(IR)est une matrice symétrique

1. Montrer que l"ensembleKest non vide, fermé et convexe.En déduire que le problème (3.48) admet une unique

2. Montrer que si¯xest solution de (3.48), alors il existeλ?IRtel quey= (¯x,λ)tsoit l"unique solution du

1. Montrer qu"il existe un et un seulutel que :

2. Soitu?U, montrer queuest solution de (3.58) si et seulement si(Au-b)·(v-u) +j(v)-j(u)≥0,pour

1. Pour(x,y)?IR2, on pose :f(x,y) =-y,g(x,y) =x2+y2-1. Chercher le(s) point(s) oùfatteint son

3.4. OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES CHAPITRE 3. OPTIMISATION

2. Soita= (a1,...,an)?IRn,a?= 0. Pourx= (x1,...,xn)?IRn, on pose :f(x) =?ni=1|xi-ai|2,

3. SoientA?Mn(IR)symétrique,B?Mn(IR)s.d.p.etb?IRn. Pourv?IRn, onposef(v) = (1/2)Av·v-b·v

1. Calculer le minimum defsurKet le point(

2. Existe-t-ilλtel queDf(

3. Pourquoi ne peut-on pas appliquer le théorème des multiplicateurs de Lagrange?

4. Que trouve-t-on lorsqu"on applique la méthode dite "de Lagrange" pour trouver(

1. SoitK=C+={x?IRn, x= (x1,...,xk)t, xi≥0,?i= 1,...,N}.