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© Ministère de l"enseignement supérieur et de la recherche, 2013
Programmes des classes
préparatoires aux Grandes EcolesFilière
: économique et commercialeOption
: Scientifique (ECS)Discipline
: Mathématiques-Informatique
Première année
1 Objectifs généraux de la formation3
2 Compétences développées3
3 Architecture des programmes4
E??????? ??? ?? ???é ??????? ?? ??? ??? ?? ?????? ? ? Raisonnement et vocabulaire ensembliste6 ?? ? Nombres complexes et polynômes7 ??? ? Algèbre linéaire7 ?? ? Suites de nombres réels9? ? E??????? ?? ?????? ??????? 9
? ? Fonctions réelles d'une variable réelle101 ? Gé?é?????é? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1
?? C?? ?é?é??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16
?? C?? ?? ?? ?? ?????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 ?? C?? ??? ???? ?????? ?? ?? ??? ??????? ????é?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17? Sé???? ?? é?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18
6 ? F?? ???? ?? T? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19
7 ? Dé??????? ???? ?? ??é? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8 ? E???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? Éléments d'informatique et d'algorithmique26 ?? ? Liste de savoir?faire exigibles en première année27 ?? ??? ?è?? ?? ??? ????? ?? ?? ??è?? S?L?????? ?????? ??? ???????é? ???? ?? ???? ?? ?????é? ?? ???? ?????? ???? ?? ?????? ? ?? ???é?
E??????? ??? ?? ???é ??????? ?? ??? ??? ?? ????? ? ?Raisonnement et vocabulaire ensembliste nX k=0q k?nX k=1k 2?nX k=1k 3? P?Q? ???????nX i =1u i??X i 2 Au i??A??????? ?? ????? ?? Nombres complexes ?? Polynômes ????K? ????K?? ????? ?? ????n?E??? ???Mn;p(K)??? ??????? àn?????? ??p
T???????é? ????? ???????
tA?E??? ???Mn(K)??? ??????? ????é?? ???????
???????2? Tout développement théorique est hors programmeDé?????? ???? ? ??è ? ???é?????
S ??è ? ?? ??è??? S ??è ? ?? C?? ???
i Li+aLj????i6=j?Li aLi(a6= 0)? L j$Li?Li aLi+bLj(a6= 0;i6=j)?I ?????? ?? ? ??è ?AX=Y? Dé?????? ????? ?? ???? ?????? ????? ?? ???? ?é? ?? ?Suites de nombres réels ?? ????? ???é?????? ??A? T?é??è ? ?? ?? ????? ???é???????Ré?????? ?? ??? ?? E??????? ?? ?????? ??????? ????? ??? ??????(Re(n))??(Im(n))?I ???????n? ???? ???? ?? ?????? ??? ??????? ???? (ln( n b)?En analyse, on évitera la recherche d'hypothèses minimales, tant dans les théorèmes que dans les
exercices et problèmes, préférant des méthodes ecaces pour un ensemble assez large de fonctions
usuellesPour les résultats du cours, on se limite aux fonctions dénies sur un intervalle deR Les étudiants
doivent savoir étudier les situations qui s'y ramènent simplementL'analyse reposant largement sur la pratique des inégalités, on s'assurera que celle?ci est acquise à
l'occasion d'exercices Aucune démonstration n'est exigible des étudiants ?? ??? ???f?????`???? ?????? ??x0??? ???? ???? ??????" >0? ?? ?????? ?? ?????? >0??? ??? ???? ???? ???????x??I\[x0;x0+]? j ??f????? ??? ??????`??x0?? ??(un)??? ??? ????? ?????? ?????? ???I?? ??????? ????x0? ?????16a < b6+1? ????? ??? ??????? ??
???? ? ?????? ?? ? ?????? ?? ???? ????? ??]a;b[? a ????? ?????[ai;ai+1]? ????? ?? ????f(x) =k? 8 a;b )2I2?a6b? m ba)6f(b)f(a)6M(ba): 8 a;b )2I2;jf(b)f(a)j6kjbaj: ????? ??? ??????I ?? I??é??????? ??? ?? ??? ??? a;b ??? ?Zb a f(t)?t=F(b)F(a)?F??f???I?
a;b b a f(t)dt6Z b a j f(t)jdt: ??????C1?L'objectif de cette première approche est de mettre en place un cadre simplié mais formalisé dans
lequel on puisse mener des calculs de probabilités sans diculté théorique majeureDans la continuité du programme de terminale, l'étude préalable du cas ni permettra de consolider
les acquis et de mettre en place, dans des situations simples, les concepts probabilistes de base, en ne
faisant appel qu'aux opérations logiques et arithmétiques élémentaires C'est pourquoi, pour le premier
semestre, on se restreindra à un univers ni, muni de la tribuP(On évitera pour cette première approche un usage avancé de la combinatoire, et l'on s'attachera à
utiliser le vocabulaire général des probabilités ??? ??N? ??? ?? ??????? ??????? ?? ???? ??????Ai\Aj=;
S i 2 IA i= 1 ?????P( ;P( ??P(A1\A2\:::\An1)6= 0????? ? P nT i =1A i =P(A1)PA1(A2):::PA1\A2\:::\An1(An)?P(B) =P
i 2IP(B\Ai)?
?????Bi? ????Bi=Ai??A i? ;P(X2I]?[X=x]?[X6x]? ????
X?FX(x) =P(X6x)?
???X( x 2 X( )xP(X=x)? x 2 X(E(aX+b) =aE(X) +b?
V(X) =E(X2)(E(X))2?
p ??????n p n p =n!p!(np)!? n p =n np ??n p =np n1 p1 ?????? ????? ?? ???? ???? ?? ???B(n;aa+b ?I a;b dim(F) = dim(E)? ?????F=E?
dim(F) + dim(G) = dim(E)?
??C?? ?é?é??? 2=p? ??C?? ?? ?? ?? ?????? ???? Im( f)? ??E????F? dimE= dim(Keru) + dim(Imu)? B E?BG;BE(gf) = MatBG;BF(g)MatBF;BE(f)?
??C?? ??? ???? ?????? ?? ?? ??? ??????? ????é?? ?? ?Compléments d'analyse? u nvn()un=vn+o(vn)? fx0g()f=g+o(g)? ?? Sé???? ?? é?????? ????? ?? ????? ???????un? ?????un+1un???? ??????? ?? ?? ?????(un)?I v k=0x ??? ? ?????? ?? ?? ??????? ?? ???????I ??? ???[a;b[?1< a < b6+1???? ???? ??? Z b a lim x bZ x a f(t) dt?????? ?? ??? ????? Z b a f(t)dt= limx7!bZ x a f(t)dt? b a x7!Z x a f(t)dt??? ??????? ???[a;b[? 1 1dtt Z b adt(ta)??Z 1 0 etdt? ?? ????n??? ?????? ?? F?? ???? ?? T? ??? ?? Dé??????? ???? ?? ??é? x ????o(xn)? ?? E???? ? 8 x1;x2)2I2;8(t1;t2)2[0;1]2???? ???t1+t2=
1 f(t1x1+t2x2)6t1f(x1) +t2f(x2)? CDans ce second temps de l'étude des probabilités, le vocabulaire général est adopté et complété (en par?
ticulier le vocabulaire espace probabilisé et la notation( ;A;P)), mais aucune diculté théoriquene sera soulevée sur ce cadre L'étude des variables aléatoires et notamment celles des lois usuelles se
fera en lien étroit avec la partie informatique du programme I A=+1\ n =0A n??A=+1[ n =0A n? f 1 ;2;3;4;5;6g?? ??????? ??? ?? ????? ?? ?? ???P( ) = 1? ;A;P)? P 1[ n =0A n! = lim n1P(An)?
P 1\ n =0A n! = lim n1P(An)??
P 1[ n =0A n! = lim n 1P n[ k=0A k! P 1\ n =0A n! = lim n 1P n\ k=0A k! ;A;PA)??? ?? ;A)??? ??? ????R????? ???? ???? ???? ????x?f!2 jX(!)6xg??? ???? ?? ?????A?X=x]?[X6x]? ????
X6x]? F ??????lim1FX= 0?lim+1FX= 1?On commencera cette section en expliquant comment les résultats vus précédemment se prolongent
dans le cadre général et l'on insistera sur les problèmes de convergence de séries que l'on rencontre lors
de l'étude de variables aléatoires innies ????x2X( x x 2 X( x 2 X( )xP(X=x)??? )??? ??????g(X)????? ???X x 2 X( )g(x)P(X=x)??? ??????? x 2 X(E(aX+b) =aE(X) +b?
V(X) =E(X2)(E(X))2?
??X ,! G(p)? ???? ???? ?????? ?????? ??????? ??? ???k?P(X=k) =p(1p)k1?
??? ?? ??????? ??? ??? ??????? ??X????? ????x??R?FX(x) =Z x 1 fX(t)dt??
? ??????? ??? ?? ?????? ????? ???????fX? ????? ???Z 1 1 f(t)dt= 1??? ?? ??????? ????? ?????Z 1 1 xf ?????? ???? ?? ????E(X)??? ????? ? ????? ???E(aX+b) =aE(X) +b?
X ,! U[0;1]()Y=a+ (ba)X ,! U[a;b]?
X ,! E(1)()Y=1
X ,! E() ( >0)?
X ,! N(;2),X=X
,! N(0;1)???? >0?P(X>)6E(X)
P(jXE(X)j>")6V(X)"
2?? ;A;P)? X ???Xn,! B(n;p)? ?????(1n X ??? ?? ???Xn??X???? ? ??????? ????N? XL'objectif est d'initier les étudiants à l'algorithmique et à l'utilisation de l'informatique en mathéma?
tiques au travers de thèmes empruntés au programme pour comprendre, illustrer et éclairer les notions
introduites Dès qu'un calcul numérique est envisagé, dès qu'un problème incite à tester expérimenta?
lement un résultat, dès qu'une situation aléatoire peut être modélisée avec des outils informatiques, le
recours à des algorithmes et des logiciels devra devenir naturelLe logiciel retenu pour la programmation dans ce programme des classes économiques et commerciales
est ScilabL'utilisation du logiciel se fait en continuité avec le cours de mathématiques et sera suivi d'une mise
en ÷uvre sur ordinateur Seules les notions de Scilab indiquées dans le programme sont exigibles