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Calculer les dérivées partielles `a l'ordre 2 des fonctions suivantes : Corrigés Corrigé 1 1 — Il est facile de vérifier que par exemple x ↦→ ex cos tout réel t, f admet une dérivée partielle par rapport `a la seconde variable en (0, 0) qui vaut

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T D 1 : Dérivées partielles : corrigé Exercice 1 Pour les fonctions de deux variables suivantes, calculer les dérivées partielles ∂f ∂x et ∂f ∂y f(x, y) = tan(xy) 

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Exercice 1 Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de définition Df Pour chacune des fonctions, calculer ensuite les dérivées partielles  

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Exercice 1 (a) [8 points] Soit la fonction de deux variables : f(x, y) = e2x+3 sin(xy2 ) − x3y + cos(y3 − x2) Calculer les dérivées partielles ∂f ∂x et ∂2f ∂y∂x

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Marcel Délèze Edition 2017 Thème: Dérivées partielles Lien vers les énoncés des exercices : Corrigé de l'exercice 2-1 Fonction E (m, v) = 1 2 m v2

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II Dérivées partielles Exemple : Calculer les dérivées partielles secondes de la fonction Exemple : Calculer les dérivées partielles premières et secondes 

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15 sept 2011 · D'autres limites et tracer des fonctions, voir l'exercice janvier 2009, 21 c Pour les dérivées partielles secondes, Corrigé à la page 85

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Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la fin de chaque chapitre 2 Dérivées partielles, Différentielles 25 2 1 Rappel A Annales corrigées 111 Ces dérivées secondes se notent : ∂ ∂x(∂f∂x)

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Cours et exercices corrigés II Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 15 est la seconde intégrale première du système adjoint

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Exercice 3 1 Calculer pour chacune des fonctions suivantes la dérivée directionnelle dans la direction donnée : a sin x + cos y en (0, 0) dans la direction du 

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Marcel Délèze

Edition 2017

Thème: Dérivées partielles

Lien vers les énoncés des exercices :

Corrigé de l'exercice 2-1

Fonction

E m, v 1 2m v 2

Dérivées partielles

E m, v m=1 2v 2 E

2 kg, 5

m s m 1 2 5 m s 2 25
2m 2 s 2 E m, v v= m v E

2 kg, 5

m s v 2 kg 5 m s 10 kg m s

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Corrigé de l'exercice 2-2

Fonction et graphique (vue depuis dessous la surface) I U, R U R tracé de surfaces

Plot3D

u r, {u, 5, 15}, {r, 500, 1500}, titre d'axe

AxesLabel

"U", "R", " unité imaginaire I" rapports de boîte

BoxRatios

2, 3, 2

point de vue spatial

ViewPoint

2, 2, 1 taille d'image

ImageSize

500, 500

Calculs

I U, R U=1

RI (10 V, 1000 )

U=1 1000
I U, R R=-U R 2 I

10 V, 1000

R=-10 V

1000
2 10 5 V 2

2 2-derivees-partielles-cor.nb

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Interprétation géométrique (voir fig.)

* La dérivée partielle de I par rapport à U représente la pente de la droite située dans un plan vertical parallèle à l'axe U et tangente à la surface. * La dérivée partielle de I par rapport à R représente la pente de la droite située dans un plan vertical parallèle à l'axe R et tangente à la surface.

2-derivees-partielles-cor.nb 3

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Corrigé de l'exercice 2-3

Dérivées partielles

x x 2 y 2 t x t x 2 y 2 x x 2 y 2 t x

3 m, y

2 m, t

5 s 3 m 5 13m 2 s t x 2 y 2 t x 2 y 2 t 2 t x 2 y 2 t x

3 m, y

2 m, t

5 s 13m 2 25 s
2

4 2-derivees-partielles-cor.nb

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Corrigé de l'exercice 2-4

Fonction

v g, h ) =2 g h

Dérivées partielles

v g, h g= 2 h gg1 2 =2 h 1 2 g= h 2 g v 9.81 m s 2 , 2 m g 2 m 2 9.81 m s 2

0.319 s

v g, h h= 2 g hh1 2 =2 g 1 2 h= g 2 h v 9.81 m s 2 , 2 m h =9.81 m s 2 2

2 m= 1.566

1 s

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Corrigé de l'exercice 2-5

Estimation des dérivées partielles dans le graphique f x(0.5; 0.6) =z x -1.2 f y(0.5; 0.6) =z y -1

6 2-derivees-partielles-cor.nb

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