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Exercices fiabilité

Exercice 1

On a mesuré la durée de vie en heures de 60 appareils avant la première défaillance :Intervalle de temps (h)Nombre d"appareils défaillants dans l"intervalle

[0; 200[8 [200; 400[5 [400; 500[3 [500; 600[2 [600; 800[1

CalculerR(200)etR(500).

Exercice 2

La durée de vie d"un équipement suit la loi exponentielle définie par :R(t) =e0;00025t, (ten

jours).

1. Déterminer la probabilité que cet équipement ait une durée de vie supérieure à 2500 jours.

2. Calculer la durée de vie moyenne.

Exercice 3

La durée de vieTd"un composant suit une loi exponentielle. Calculer la probabilité queTdé- passe le double de son espérance.

Exercice 4

La variable aléatoireTqui associe à un composant tiré au hasard sa durée de vie exprimée en

heures suit une loi exponentielle.

1. Calculer le taux d"avarie sachant queP(T >450) = 0;80.

2. Calculer la MTBF de ce composant.

3. Calculer la valeurt0pour laquelleP(Tt0) = 0;5.

Exercice 5

La durée de vie d"une ampoule suit la loi exponentielle définie parR(t) =e0;0008t,ten heures.

1. CalculerP(T >1000).

2. Calculer la MTBF.

3. Déterminer la valeur det0pour laquelleP(Tt0) = 0;5.

Problème

Un technicien en maintenance est chargé d"étudier le cas d"une pièce. L"historique permet de

connaître la durée de vie des pièces de ce type déjà utilisées. Elles sont consignées dans le tableau

suivant :N° d"ordre1234567891011 Durée de vie (heures)1302034810014212645013522467

1. On noteR(t)la probabilité de survie du matériel à la datet. Dresser un tableau faisant

apparaître les temps de bon fonctionnement classés dans l"ordre croissant, les valeurs de F(t)par la méthode des rangs moyens, et les valeurs deR(t).

2. On posey(t) = ln(R(t)), avecR(t)en pourcentage. Placer les points de coordonnées

(t;y(t))dans un repère dont les unités sont en abscisses : 1 cm représente 25 heures; en ordonnées : 10 cm représenteln10.

3. Justifier l"approche deR(t)par une loi exponentielle.

4. Déterminer graphiquement la MTBF de la pièce. Montrer que l"on peut prendre pour valeur

approchée du paramètrede la loi exponentielle la valeur0;007.

5. On envisage de placer deux pièces en parallèle, c"est-à-dire de telle sorte que le système

fonctionne tant que l"une des deux pièces fonctionne. Etant donné qu"à l"instantt0la fiabi-

lité d"une pièce est de 80 %, déterminer à cet instant celle du système ainsi formé si l"on

admet que les deux pièces fonctionnent de manière indépendante.

6. Quelle aurait été la fiabilité à l"instantt0si, au lieu de placer les deux pièces en parallèle,

on les avait placées en série, c"est-à-dire de telle sorte que le système soit défaillant dès que

l"une des deux pièces casse? (On admettra encore l"indépendance des deux pièces) 2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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